幾何非線性效應(yīng)對(duì)受迫振動(dòng)索理論解的影響評(píng)估

梁浩博，劉小會(huì)，2，楊曙光，閔光云，伍 川

（1.重慶交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，重慶400074；2.重慶交通大學(xué) 省部共建山區(qū)橋梁及隧道工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶400074；3.國網(wǎng)河南省電力公司 電力科學(xué)研究院，鄭州450052)

基于經(jīng)濟(jì)發(fā)展的需求，國內(nèi)外很多工程領(lǐng)域都廣泛使用大跨度的索結(jié)構(gòu)，例如橋梁工程領(lǐng)域的斜拉橋和懸索橋、電氣工程領(lǐng)域的高壓輸電線路等。然而索結(jié)構(gòu)因其自身重量輕、柔度大以及低阻尼的特點(diǎn)，很容易在外力荷載作用下出現(xiàn)大幅度的振動(dòng)，呈現(xiàn)出非常明顯的非線性現(xiàn)象。索的這種大幅振動(dòng)極易導(dǎo)致整個(gè)工程結(jié)構(gòu)出現(xiàn)損壞。因此，關(guān)于索結(jié)構(gòu)的非線性動(dòng)力學(xué)研究是個(gè)很重要的課題。

關(guān)于索的非線性動(dòng)力學(xué)研究早在18 世紀(jì)就開展了。隨后，Routh[1]推導(dǎo)出懸索的運(yùn)動(dòng)方程并得到懸索固有頻率。Irvine 等[2]在1974年推導(dǎo)出水平索固有振動(dòng)方程式，并對(duì)拉索的模態(tài)、頻率等參數(shù)進(jìn)行系統(tǒng)的分析研究。文獻(xiàn)[3]基于哈密頓變分原理并采用Galerkin 離散法推導(dǎo)出單檔覆冰懸索運(yùn)動(dòng)方程。文獻(xiàn)[4]引入無量綱參數(shù)推導(dǎo)出受溫度變化影響的懸索面內(nèi)非線性偏微分方程，利用Galerkin 法得到離散后的微分方程。文獻(xiàn)[5]同樣采用Galerkin法，建立一個(gè)兩自由度懸索離散模型，對(duì)懸索的1:2內(nèi)共振進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[6]采用Galerkin方法得到懸索的時(shí)滯微分方程，以對(duì)其主共振進(jìn)行分析。

由于大跨度輸電線路實(shí)質(zhì)上也屬于索結(jié)構(gòu)，因此關(guān)于輸電線路的學(xué)術(shù)研究同樣可以為拉索研究帶來指導(dǎo)性意見。Rega等[7]引入無量綱參數(shù)并基于哈密頓變分原理推導(dǎo)出輸電線面內(nèi)非線性偏微分方程，接著應(yīng)用Galerkin 法和多尺度法求解該方程。汪峰等[8]基于Galerkin 模態(tài)截?cái)喾ê投喑叨确ㄍ茖?dǎo)出斜拉索面內(nèi)振動(dòng)方程并得到幅頻響應(yīng)方程，分析了梯度溫度場等因素對(duì)振動(dòng)的影響。文獻(xiàn)[9]基于懸鏈法和熱應(yīng)力理論推導(dǎo)出考慮溫度效應(yīng)的覆冰導(dǎo)線偏微分方程，接著采用Galerkin 法和多尺度法將其離散和求解。受限于非線性理論的發(fā)展，上述眾多學(xué)者關(guān)于理論方程的求解都是基于模態(tài)疊加法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行了線性化處理，最終得到結(jié)構(gòu)的近似分析解。該處理方法雖然在一定程度上簡化了計(jì)算，但對(duì)于這些具有幾何非線性的結(jié)構(gòu)是否可以直接使用，會(huì)不會(huì)對(duì)結(jié)果造成誤差等等，這些問題仍有待商榷。

國內(nèi)學(xué)者趙躍宇等[10]以懸索為例，并引入新的無量綱參數(shù)得到無量綱懸索面內(nèi)運(yùn)動(dòng)方程，對(duì)結(jié)構(gòu)非線性動(dòng)力學(xué)中常用的Galerkin法和直接法進(jìn)行了對(duì)比，發(fā)現(xiàn)離散法并不適用于所有結(jié)構(gòu)非線性動(dòng)力學(xué)的求解。文獻(xiàn)[11]中，作者采用小參數(shù)法得到久期項(xiàng)導(dǎo)致的懸索振動(dòng)形態(tài)，并與Galerkin 離散法得到的相應(yīng)振動(dòng)形態(tài)進(jìn)行對(duì)比，最終驗(yàn)證了小參數(shù)法的可行性。然而上述文章均是以兩種算法的對(duì)比為主要目的，針對(duì)Galerkin 離散法本身的適用性并未作出詳細(xì)區(qū)分。

另外，Rega 等[7]和趙躍宇等[10]分別引入了不同的無量綱參數(shù)將運(yùn)動(dòng)方程無量綱化，但卻并未有學(xué)者對(duì)這兩種無量綱參數(shù)對(duì)系統(tǒng)非線性的影響以及兩種無量綱方法是否適用于所有結(jié)構(gòu)非線性系統(tǒng)做詳細(xì)的研究。

因此，本文基于簡單的單跨拉索力學(xué)模型以及振動(dòng)理論，針對(duì)Galerkin 離散法和兩種無量綱方法的適用性進(jìn)行詳細(xì)討論。

1 基于Galerkin方法的水平拉索受迫振動(dòng)數(shù)值解

1.1 力學(xué)模型及兩種無量綱方法

設(shè)單跨拉索兩端處于同一水平高度，在自重作用下位于如圖1所示的XOY平面內(nèi)，X軸沿拉索弦向方向，Y軸沿拉索豎向垂度方向。拉索跨徑為l，其變形可以分為兩部分：

圖1 單跨水平拉索力學(xué)模型

(1) 拉索在自重作用下處于靜平衡狀態(tài)，垂度為d；

(2)拉索在面內(nèi)外部荷載作用下產(chǎn)生處于XOY平面內(nèi)的位移。

考慮到拉索在受到幾何非線性和三向耦合時(shí)所引發(fā)的動(dòng)力學(xué)問題很復(fù)雜，本文將模型簡化，做出如下假定：

(2)本構(gòu)關(guān)系符合胡克定律；

(3) 不考慮彎曲、扭轉(zhuǎn)以及剪切，忽略其軸向運(yùn)動(dòng)；

(4)不考慮張力沿拉索軸向的變化。

圖1所示理論模型中，考慮沿拉索Y向施加均布簡諧激勵(lì)荷載Pcos(Ωt)，P為激勵(lì)幅值，Ω為簡諧激勵(lì)的頻率。取圖1中拉索處于靜平衡狀態(tài)下的微段ds進(jìn)行研究，可以得到單跨拉索的面內(nèi)運(yùn)動(dòng)方程：

式中：H為拉索在自重作用下達(dá)到靜平衡狀態(tài)時(shí)的水平張力，v為沿拉索面內(nèi)Y向的位移，E為拉索彈性模量，A為拉索橫截面積，m為拉索單位長度質(zhì)量，μ為黏性阻尼系數(shù)。

引入無量綱參數(shù)：

將上述參數(shù)代入式(1)，得到拉索面內(nèi)無量綱運(yùn)動(dòng)方程：

為了方便后文書寫，式(3)中各無量綱參數(shù)的上劃線“-”均已省略（后文同）。式(3)中“v′”表示對(duì)無量綱時(shí)間t求1 階導(dǎo)，“v″”表示對(duì)無量綱位移x求2階導(dǎo)。

由于v是關(guān)于時(shí)間t和位移x的參數(shù)，根據(jù)Galerkin理論，可將其分離變量為：

其中：φ(x)為模態(tài)函數(shù)，q(t)為時(shí)間函數(shù)。

將式(4)代入式(3)中，并在方程兩端乘以模態(tài)函數(shù)φ(x)，接著在x∈[0，1]內(nèi)進(jìn)行積分，可得到：

式中：

其中：λ2為Irvine 參數(shù)，見式(7)。該參數(shù)可以反映拉索的垂度效應(yīng)。λ的值越大，拉索的垂度越大。ωn即為無量綱化后的頻率，ω表示面內(nèi)自振等效圓頻率，f為拉索自振頻率。式(5)中q上方的點(diǎn)“˙”和“˙˙”，分別表示對(duì)無量綱時(shí)間t求1階導(dǎo)和2階導(dǎo)。

g是重力加速度。

引入另一種無量綱參數(shù)：

式中：δ為垂跨比，張力H可表示為：

取其無量綱靜態(tài)垂度曲線為：

將上述無量綱參數(shù)代入式(1)，可得拉索面內(nèi)無量綱運(yùn)動(dòng)方程：

式中：

同樣，該式通過模態(tài)疊加法可得到：

式中：

由于兩種無量綱方法主要區(qū)別在于豎向位移v所除是d還是l，故下文均以無量綱d″和無量綱l″來分別表示兩種不同的無量綱方法。

1.2 單跨水平拉索面內(nèi)頻率及模態(tài)

研究拉索在外激勵(lì)作用下產(chǎn)生受迫振動(dòng)的現(xiàn)象，首先要研究其頻率和對(duì)應(yīng)模態(tài)。其中模態(tài)分為兩種形式，對(duì)稱模態(tài)與反對(duì)稱模態(tài)。本文主要研究對(duì)稱模態(tài)。

取方程(3)的線性部分（忽略阻尼項(xiàng)）及邊界條件：

令v=φ(x)eiωt并將其代入式(15)中，結(jié)合邊界條件可得拉索面內(nèi)模態(tài)函數(shù)：

取正交模態(tài)：

ωn可由超越方程式(19)求得：

1.3 兩種無量綱方法的數(shù)值解對(duì)比

觀察式(1)的拉索面內(nèi)運(yùn)動(dòng)方程發(fā)現(xiàn)，方程的形式較為復(fù)雜，且變量較多，不利于進(jìn)行數(shù)值求解。而引入無量綱參數(shù)就可以減少變量數(shù)目，便于后續(xù)求解。同時(shí)，由于對(duì)參數(shù)進(jìn)行了無量綱化，更方便做不同工況下的參數(shù)對(duì)比。

但是可以注意到兩種方法關(guān)于面內(nèi)豎向位移v的處理方法是不同的，這是否會(huì)導(dǎo)致兩種方法所得結(jié)果出現(xiàn)一定的差異，本文考慮將這兩種方法做對(duì)比（拉索物理參數(shù)均取自文獻(xiàn)[12]，詳見表1）。

表1 拉索物理參數(shù)

文中系統(tǒng)的黏性阻尼系數(shù)μ均采用瑞利阻尼，具體計(jì)算方法如下：

取α為0.02，β為0，將其代入公式中，即可得到阻尼比ξ。而阻尼μ則可由公式μ=2ξωm得到。

由式(7)可知：受到張力和垂度的影響，不同參數(shù)對(duì)應(yīng)的拉索非線性強(qiáng)度各不相同，故本文選取λ為等于1π、3π、7π、9π等4種工況進(jìn)行研究。4種工況下的具體參數(shù)見表2。

表2 不同Irvine參數(shù)對(duì)應(yīng)的物理參數(shù)

將表1 和表2 具體參數(shù)導(dǎo)入MATLAB 程序中，即可運(yùn)行得到系統(tǒng)時(shí)間歷程曲線，如圖2所示。

2018年1—8月，全國國有及國有控股企業(yè)（本月報(bào)所稱全國國有及國有控股企業(yè)，包括中央管理企業(yè)、中央部門和單位所屬企業(yè)以及36個(gè)省、自治區(qū)、直轄市、計(jì)劃單列市的地方國有及國有控股企業(yè)，不含國有金融類企業(yè)。以下簡稱國有企業(yè)）經(jīng)濟(jì)運(yùn)行態(tài)勢(shì)良好。償債能力和盈利能力比上年同期均有所提升，利潤增幅高于收入10.4個(gè)百分點(diǎn)，鋼鐵等行業(yè)利潤增幅較高。

通過觀察圖2可知：無量綱d方法相較于無量綱l方法所得幅值略大，尤其在λ=1π 時(shí)，差距較為明顯，但隨著λ值的增大，這種差距逐漸縮小，直至忽略不計(jì)；同時(shí)由表3可知：兩種無量綱方法均會(huì)使系統(tǒng)非線性系數(shù)增大，尤其以無量綱l方法增加最大。

圖2 兩種無量綱方法時(shí)間歷程曲線

表3 不同Irvine參數(shù)對(duì)應(yīng)的非線性項(xiàng)

2 基于多尺度法的受迫振動(dòng)理論解

由于拉索運(yùn)動(dòng)方程比較復(fù)雜，一般難以求得其精確解，且拉索振動(dòng)屬于弱非線性問題，因此可采取近似的解析方法求解。傳統(tǒng)的解析方法主要包括：漸進(jìn)法、多尺度法、平均法等，而多尺度法是其中應(yīng)用得最廣泛的方法。本文亦采用多尺度法來分析系統(tǒng)響應(yīng)。

為了滿足多尺度法的求解條件，首先對(duì)式(1)直接采用模態(tài)疊加法進(jìn)行離散。接著，為了使非線性項(xiàng)，外部激勵(lì)和阻尼出現(xiàn)在同階中，引入無量綱小量ε，經(jīng)過化簡后，式(1)即可轉(zhuǎn)化為：

式中：

上式(21)中的等效圓頻率、平方和立方非線性項(xiàng)系數(shù)以及外激勵(lì)中所包含的I的取值可表示為：

為了方便書寫，后文已將式(20)和式(21)中的“*”忽略。

引入以下參數(shù)：

其中：σ為調(diào)諧參數(shù)。

將式(23)代入式(20)中，并比較ε同次冪項(xiàng)的系數(shù)，可得：

式(24)的解可用指數(shù)形式表示為：

此時(shí)，A可寫成極坐標(biāo)形式：

式中：a表示振幅，β表示相位。

將其代入式(25)中，即可得到：

消除式(28)中的久期項(xiàng)，可得：

將上式進(jìn)行化簡可得：

并將A代入式(30)可得到：

分離實(shí)部和虛部可得：

引入：

方程即可轉(zhuǎn)化為：

令D1a=0，D1γ=0可得出以下方程：

上述方程兩端各自平方并相加即可得幅頻響應(yīng)方程：

由式(39)并結(jié)合表1中的拉索物理參數(shù)，即可得出拉索的幅頻響應(yīng)曲線，見圖3。

圖3 幅頻響應(yīng)曲線

如圖3 所示：橫坐標(biāo)σ表示調(diào)諧參數(shù)（無量綱），縱坐標(biāo)a表示幅值（單位為m）。實(shí)線表示穩(wěn)定值，虛線表示不穩(wěn)定值。

結(jié)合曲線和式(23)所引入的小量可知：當(dāng)調(diào)諧參數(shù)σ=0時(shí)，外激勵(lì)頻率與系統(tǒng)固有圓頻率相等，此時(shí)拉索產(chǎn)生主共振。同時(shí)，隨著λ增大，系統(tǒng)非線性不斷增強(qiáng)，曲線出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象，幅值也出現(xiàn)明顯的衰減。

當(dāng)σ=0時(shí)，將參數(shù)代入式(39)中可得到系統(tǒng)穩(wěn)定后的理論幅值為：(1π)0.589 27 m；(3π)0.210 062 m；(7π)0.062 395 m；(9π)0.051 052 m。

將該理論幅值與1.3 節(jié)中兩種無量綱方法穩(wěn)定后的幅值對(duì)比后發(fā)現(xiàn)：無量綱d方法與理論解的誤差依次為：22 %(1π)，3.797 %(3π)、2.124 %(7π)、0.878%(9π)；無量綱l方法與理論解的誤差依次為:4.323 %(1π)、3.688 %(3π)、2.624 %(7π)、3.005 %(9π)，總體來看無量綱l方法所得結(jié)果更接近理論解。

3 不同方法結(jié)果的對(duì)比

3.1 單跨水平拉索有限元模型

由于拉索在受到覆冰、外部激勵(lì)等因素的影響時(shí)，易產(chǎn)生較大的振動(dòng)幅度。因此不易通過實(shí)驗(yàn)來獲取數(shù)據(jù)，以驗(yàn)證理論，而這時(shí)采用有限元方法數(shù)值模擬拉索的振動(dòng)便成為了研究拉索受迫振動(dòng)的重要手段[13-14]。

然而在實(shí)際工程中，拉索振動(dòng)時(shí)具有明顯的幾何非線性效應(yīng)，通過有限元模擬所得的結(jié)果是否會(huì)考慮到這種非線性效應(yīng)的影響?是否會(huì)產(chǎn)生誤差?因此，本文通過建立有限元模型，來模擬拉索的受迫振動(dòng)，并將結(jié)果與數(shù)值解作對(duì)比。

采用桿單元模擬單跨拉索，網(wǎng)格數(shù)量為100。由于本文僅討論研究拉索在垂直方向上的運(yùn)動(dòng)，故在拉索兩端施加邊界條件，將其完全固定。

采用參數(shù)化建模后，第一步：在拉索上施加重力荷載，以對(duì)其進(jìn)行非線性靜力變形分析。第二步：頻率分析，提取拉索的前30 階固有頻率及模態(tài)，并與基于理論所得的固有頻率作對(duì)比,見表4。第三步，沿拉索豎向施加均勻外力激勵(lì)，以使其產(chǎn)生面內(nèi)的豎向振動(dòng)，力的大小設(shè)置為0.7 N(相當(dāng)于施加大小為5.6 m/s風(fēng)速的風(fēng)荷載)。阻尼項(xiàng)選取瑞利阻尼。

表4 不同垂度下拉索第一階面內(nèi)對(duì)稱模態(tài)自振頻率對(duì)比

3.2 共振時(shí)的數(shù)值解與理論解對(duì)比

重點(diǎn)考慮最危險(xiǎn)的情形，即拉索產(chǎn)生主共振。將表1和表2的拉索物理參數(shù)分別輸入ABAQUS軟件和MATLAB程序中，即可運(yùn)行得到系統(tǒng)時(shí)間歷程曲線。由第2節(jié)在本文方法基礎(chǔ)上分別使用兩種無量綱參數(shù)所得數(shù)值解與理論解相比的誤差可知：無量綱l方法所得結(jié)果與理論解吻合良好。限于篇幅，本文僅給出使用無量綱l方法時(shí)本文方法所得數(shù)值解與有限元解的對(duì)比結(jié)果，如圖4至圖7所示。

圖4 (λ=1π)拉索面內(nèi)對(duì)稱模態(tài)共振時(shí)間歷程曲線

圖5 (λ=3π)拉索面內(nèi)對(duì)稱模態(tài)共振時(shí)間歷程曲線

圖6 (λ=7π)拉索面內(nèi)對(duì)稱模態(tài)共振時(shí)間歷程曲線

圖7 (λ=9π)拉索面內(nèi)對(duì)稱模態(tài)共振時(shí)間歷程曲線

如圖4、圖5所示：當(dāng)λ取1π、3π時(shí)，有限元解出現(xiàn)往幅值為0的水平線上方偏移的現(xiàn)象，而本文方法的計(jì)算結(jié)果則出現(xiàn)向下偏離的現(xiàn)象（偏移量見表5）。造成該現(xiàn)象的主要原因是由于系統(tǒng)中平方非線性項(xiàng)的存在，如：式(5)中的c2、式(13)中的γn以及式(20)中的εc2項(xiàng)，具體數(shù)值見表3；該項(xiàng)越大，偏上或偏下的程度也就越大。同時(shí)，由于λ取1π、3π 時(shí)系統(tǒng)的振動(dòng)幅值較大，其偏移也就相對(duì)更加明顯。當(dāng)λ=7π和9π時(shí)，由于本身幅值很小，加之平方非線性項(xiàng)在7π 和9π 時(shí)逐步減小，故其偏移程度也相對(duì)很小。

表5 共振時(shí)拉索的時(shí)間歷程曲線偏移量

如圖4至圖7所示并結(jié)合表6、表7可以發(fā)現(xiàn)：本文方法所得數(shù)值解與上節(jié)幅頻響應(yīng)函數(shù)計(jì)算得出的理論解吻合良好，而有限元解與本文方法所得數(shù)值解相比則出現(xiàn)了不同程度的幅值差距。這種差距呈現(xiàn)出隨著λ增大而增大的趨勢(shì)。

表6 無量綱l方法所得數(shù)值解與理論解對(duì)比

表7 有限元解與理論解對(duì)比

如圖6、圖7 所示：本文方法所得數(shù)值解較之有限元解更大，其原因在于當(dāng)使用有限元軟件進(jìn)行模擬時(shí)，能夠真實(shí)的體現(xiàn)非線性動(dòng)力響應(yīng)，而本文方法得到的數(shù)值解是采用了Galerkin離散法近似化的運(yùn)動(dòng)方程，這種近似化的方法弱化了非線性。綜合上述系統(tǒng)非線性越強(qiáng)，幅值就越小的結(jié)論，最終出現(xiàn)了圖6、圖7所示結(jié)果。

3.3 非共振時(shí)的幅值比較

就實(shí)際情況而言，拉索因發(fā)生共振而造成破壞的情況極少，大多是在覆冰和風(fēng)載兩種主要影響因素下所造成的非共振區(qū)的大幅度振動(dòng)。因此本節(jié)通過將施加在拉索上的外激勵(lì)頻率（ω=4 rad/s）偏離其固有圓頻率并采取與上一節(jié)相同的模式來進(jìn)行對(duì)比。其中，λ=1π、3π、7π、9π 時(shí)頻率偏離大小分別為：0.501 9 rad/s、-0.591 6 rad/s、0.137 7 rad/s、0.433 0 rad/s（外激勵(lì)頻率減去固有圓頻率）。

如圖9 至圖12 所示：其部分現(xiàn)象與共振區(qū)現(xiàn)象一致。而圖9所示結(jié)果出現(xiàn)了有限元解與本文方法所得數(shù)值解差距較大的現(xiàn)象。初步結(jié)合表2 判斷，造成該現(xiàn)象的原因是所施加的外荷載激勵(lì)頻率小于λ=3π時(shí)的固有圓頻率（ω=4.59 rad/s）。為驗(yàn)證該判斷，本文取ω=4.8 rad/s 時(shí)，采用無量綱l方法進(jìn)行再次對(duì)比，結(jié)果如圖12所示，表明判斷正確。

圖8 (λ=1π)拉索面內(nèi)對(duì)稱模態(tài)非共振時(shí)間歷程曲線

圖9 (λ=3π)拉索面內(nèi)對(duì)稱模態(tài)非共振時(shí)間歷程曲線

圖10 (λ=7π)拉索面內(nèi)對(duì)稱模態(tài)非共振時(shí)間歷程曲線

圖11 (λ=9π)拉索面內(nèi)對(duì)稱模態(tài)非共振時(shí)間歷程曲線

圖12 (λ=3π)拉索面內(nèi)對(duì)稱模態(tài)非共振(ω=4.8 rad/s)時(shí)間歷程曲線

由圖（12）可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)所施加外部激勵(lì)頻率為4 rad/s 時(shí)，圖中所呈現(xiàn)出的現(xiàn)象并無明顯規(guī)律。分析可知：在非共振區(qū)，本文方法所得數(shù)值解與有限元解的差距，主要取決于外激勵(lì)頻率的大小與其圓頻率的差距。外激勵(lì)頻率與圓頻率的差距越大，本文方法所得數(shù)值解與有限元解的差距也就越大。同時(shí)，隨著λ值的變大，其時(shí)間歷程曲線就相對(duì)不規(guī)則，甚至出現(xiàn)相位差，如圖11所示。

4 結(jié)語

本文通過應(yīng)用Galerkin離散法得出拉索無量綱面內(nèi)振動(dòng)方程，并運(yùn)用多尺度法得到系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線，最后分別通過ABAQUS 和MATLAB 進(jìn)行了4 種工況的數(shù)值模擬和有限元分析對(duì)比，主要得出以下結(jié)論：

（1）隨著系統(tǒng)非線性的增強(qiáng)，幅值逐漸減小，而有限元解與理論解的差距則逐漸增大，說明Galerkin離散法對(duì)于弱非線性系統(tǒng)適用性更高，系統(tǒng)非線性越強(qiáng)，誤差就越大。

（2）系統(tǒng)的平方非線性項(xiàng)會(huì)造成有限元解和本文方法所得結(jié)果分別產(chǎn)生向上和向下的偏移。

（3）隨著λ值的增大，兩種無量綱方法差距微小，總體而言經(jīng)過無量綱l方法得到的運(yùn)動(dòng)方程所得的系統(tǒng)時(shí)間歷程曲線更接近理論解；為了使結(jié)果更精確，當(dāng)系統(tǒng)非線性強(qiáng)時(shí)可采用無量綱d方法，系統(tǒng)非線性弱時(shí)則采用無量綱l方法較好。