具有有限個子代數(shù)的李代數(shù)

王健戍，胡志廣

（天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津300387）

在李代數(shù)研究領(lǐng)域中，分類問題是一個基本問題.著名的Levi定理說明任意復(fù)李代數(shù)可分解為可解理想與半單子代數(shù)的線性空間直和.因此，研究復(fù)李代數(shù)的分類可歸結(jié)為分別探究可解李代數(shù)和半單李代數(shù)的分類.半單李代數(shù)的分類已完全解決[1-2]，而可解李代數(shù)的分類極其復(fù)雜，是李代數(shù)中未完全解決的一個基本問題.文獻(xiàn)[3]給出了4維可解李代數(shù)的分類，文獻(xiàn)[4]給出了6維可解李代數(shù)的分類情況.另外，相關(guān)學(xué)者考慮一些滿足特殊條件的李代數(shù)，對其結(jié)構(gòu)和分類進(jìn)行了研究[5-16].文獻(xiàn)[5]給出了具有有限多個理想的李代數(shù)分類；文獻(xiàn)[9]給出了子空間均為子代數(shù)的李代數(shù)的結(jié)構(gòu)；文獻(xiàn)[11]研究了一類實可解李代數(shù)的分類；文獻(xiàn)[12]研究了幾類低維冪零李代數(shù)的結(jié)構(gòu)；文獻(xiàn)[13]對導(dǎo)代數(shù)維數(shù)小于4時的非交換n-李代數(shù)進(jìn)行了分類；文獻(xiàn)[16]研究了8維冪零李代數(shù)的分類.本文考慮具有有限多個維數(shù)大于1的子代數(shù)的李代數(shù)，證明了此類李代數(shù)的維數(shù)小于3.

1 預(yù)備知識

本文約定所討論的李代數(shù)都是復(fù)數(shù)域上的.

定義1設(shè)L為李代數(shù)，L中的理想序列L(0)=L，…，L(i)=[L(i-1)，L(i-1)]，…稱為L的導(dǎo)代數(shù)序列.若存在自然數(shù)N，使得L(N)=0，則稱L為可解李代數(shù).

引理1[4]設(shè)L為3維復(fù)可解李代數(shù)，X、Y、Z是L的一組基，則在同構(gòu)意義下L可分為以下5類：

在引理1中，L1為交換李代數(shù)，L2為冪零李代數(shù)，L3為1維子代數(shù)和非交換2維子代數(shù)的直和，L4θ和L5為非可分可解李代數(shù).

定義2設(shè)L為李代數(shù)，L中的理想序列

稱為L的降中心序列.若存在自然數(shù)N，使得LN=0，則稱L為冪零李代數(shù).

引理2[17]設(shè)L為冪零李代數(shù)，則ei，i=1，2，…，s是L的生成元的充分必要條件是ei+L1，i=1，2，…，s為L/L1的一組基.

2 主要結(jié)果

命題1特殊線性李代數(shù)sl（2，C）={A∈gl（2，C）|trA=0}有無窮多個2維子代數(shù)，其中g(shù)l（2，C）為域C上2階矩陣的全體，其括積為

證明取sl（2，C）中的一組標(biāo)準(zhǔn)基

則其李括號運算為[h，x]=2x，[h，y]=-2y，[x，y]=h.

顯然Lθ是sl（2，C）的2維子代數(shù).

注意到，Lθ中的冪零元為其中a∈C，因此，若則存在k∈C，滿足，即

由方程組

可得k=1，且tan2θ1=tan2θ2，θ1=θ2.因此Lθ，θ∈為sl（2，C）的互不相同的子代數(shù).命題證畢.

命題2設(shè)L為可解李代數(shù)，且L具有有限多個維數(shù)大于1的子代數(shù)，則L是維數(shù)小于3的交換李代數(shù)，或者L=L1+Cα（直和），其中α?L1.

證明當(dāng)L=0時，命題顯然成立.

當(dāng)L≠0時，因為L為可解李代數(shù)，故L真包含L1.于是dimL/L1>0.

若dimL/L1≥3，因為L/L1可交換，則L/L1有無窮多個2維的子代數(shù)Kθ，θ∈Λ（指標(biāo)集）.令π：L→L/L1為自然同態(tài)，于是π-1（Kθ），θ∈Λ為L的維數(shù)不小于2的子代數(shù)，此時不滿足條件.

若dimL/L1=2，則L/L1的非平凡子代數(shù)都是1維的，且有無窮多個.考慮這些1維子代數(shù)在L中的原像.若dimL1≠0，則由維數(shù)公式可知，這些原像均為維數(shù)大于1的子代數(shù)，與條件矛盾，從而dimL1=0，因而L是2維交換李代數(shù).

若dimL/L1=1，則存在α∈L-L1，滿足L=L1+Cα.當(dāng)L1=0時，L為1維李代數(shù)；當(dāng)L1≠0時，L的形式為L1+Cα，其中α?L1.

綜上可知，L是維數(shù)小于3的交換李代數(shù)或者L=L1+Cα，α?L1.命題證畢.

推論設(shè)L為冪零李代數(shù)，且L具有有限多個維數(shù)大于1的子代數(shù)，則L是維數(shù)小于3的交換李代數(shù).

證明因為L為冪零李代數(shù)，所以L可解.若L1=0，則由命題2可知結(jié)論成立.若L1≠0，則L=L1+Cα（直和），其中α?L1，于是α+L1為L/L1的基，由引理2可知，α為L的生成元，故dimL=1，與L1≠0矛盾.證畢.

定理設(shè)L為復(fù)李代數(shù)，則L只有有限多個維數(shù)大于1的子代數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)L是維數(shù)小于3的李代數(shù).

證明充分性顯然成立.下證必要性.

根據(jù)Levi定理，L中存在半單子代數(shù)C，使得L=C+R為空間直和，其中R為L的根基.

假設(shè)C≠0，則C中一定存在同構(gòu)于sl（2，C）的3維子代數(shù)，由命題1可得，sl（2，C）有無窮多個2維子代數(shù)，所以L中也有無窮多個2維子代數(shù)，與條件矛盾.因此C=0，所以L為可解李代數(shù).

由命題2可得，L是維數(shù)小于3的交換李代數(shù)，或者L=L1+Cα（直和），α?L1.

假設(shè)dimL≥3，此時L的形式是L=L1+Cα（直和），其中α?L1，注意到L1是冪零李代數(shù)，且只有有限多個維數(shù)大于1的子代數(shù)，則根據(jù)推論1可知，L1為2維交換李代數(shù).因而dimL=3，此時L為3維可解李代數(shù)，且其導(dǎo)代數(shù)是2維交換子代數(shù).由引理1中3維復(fù)可解李代數(shù)的分類，易知L1、L2和L3均不滿足條件.對于任意的k1∈C，注意到K1=span{X，k1Y+Z}?L4θ為L4θ的2維子代數(shù)，故L4θ不滿足條件.對于任意的k2∈C，由K2=span{X，k2Y-Z}?L5為L5的2維子代數(shù)，可知L5也不滿足條件.綜上可知3維可解李代數(shù)中不存在滿足條件的李代數(shù)，因此L是維數(shù)小于3的李代數(shù).定理證畢.