習題靈活變式　實現(xiàn)融會貫通

高海軍

摘 要：解題教學不能就題講題，泛泛而談，應努力挖掘題目背景所承載的知識，思想、經(jīng)驗，以及數(shù)學核心素養(yǎng)。教師可借助對一道練習題的解答情況進行分析和變式拓展，形成平時教學中一題多變、多解歸一、建構模型、思想內(nèi)化等策略，促進學生深度思考，提升學生核心素養(yǎng)，培養(yǎng)學生分析問題和解決問題的綜合能力。

關鍵詞：等邊三角形;共頂點;變式

中圖分類號：G63? ? ? ? ? 文獻標識碼：A? ? ? ? ? 文章編號：1673-9132（2021）31-0127-02

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2021.31.063

數(shù)學教育家G·波利亞說過：“掌握數(shù)學意味著什么？那就是解題?！苯忸}是數(shù)學學習的一個核心內(nèi)容和一種最基本的思維活動形式，是貫穿于整個學習數(shù)學的始終。本文借助教材課后習題解答的深度分析，挖掘內(nèi)在本質，靈活變式條件，激發(fā)學生解題數(shù)學思維，提升學生的數(shù)學素養(yǎng)。

一、題目呈現(xiàn)

“已知如圖1，△ABD，△AEC都是等邊三角形，求證DC=BE?！北绢}是新人教版八年級下冊數(shù)學第十三章平行四邊形復習題鞏固綜合運用第12題，是學生學習了全等三角形、軸對稱、等腰三角形、等邊三角形知識后的一道綜合運用題，需要學生靈活運用等邊三角形的性質和全等三角形的判定來解決，中等難度。

（一）解決策略

思考：如何證明DC=BE，圖形結構上有什么特點？

基本思路：利用學生已掌握的等邊三角形性質，以及圖形特點共頂點等線段，容易得到三角形全等的條件，再證明△ADC，△ABE全等即可。

規(guī)范解答：

證明： ∵△ABD，△AEC都是等邊三角形

∴AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠CAE=60°

∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC

即∠DAC=∠BAE

在△ADC和△ABE中AD=AB ∠DAC=∠BAE AC=AE

∴△ADC ≌ △ABE （SAS）

∴DC=BE

（二）拓展問題

結合圖形進一步思考，挖掘新問題讓學生計算∠BPC的度數(shù)，培養(yǎng)學生解決問題的基本能力。分析：計算∠BPC的度數(shù)，可以轉化為計算∠DPB的度數(shù)，由三角形全等可獲得∠ADC=∠ABE，又有對頂角相等，結合三角形內(nèi)角和定理可以推出∠DPB=∠DAB=60°，從而算出∠BPC=120°。

二、共線共頂點變式

如圖2，點C是線段AB上除點A，B外的任意一點，分別以AC，BC為邊在線段AB的同旁作等邊△ACD和△BCE，連接AE交DC于點M，連接BD交CE于點N，連接MN。求證：1.AE=BD;2.MN∥AB;3.計算：∠AFB。

證明：1.∵△ACD和△BCE是等邊三角形

∴AC=CD，BC=EC? ∠ACD=∠BCE=∠DCE=60°

∴∠ACE=∠DCB=120°

∵AC=CD，BC=EC ∠ACE=∠DCB

∴△ACE≌△DCB（SAS）

∴AE=BD

2.∵△ACE≌△DCB（SAS）

∴∠CDB=∠CAE? 即∠CDN=∠CAM

∵∠ACM=∠DCN=60° ∠CDN=∠CAM? ?AC=CD

∴△ACM≌△DCN（ASA）

∴CM=CN

∵∠MCN=∠DCE=60° CM=CN

∴△CMN是等邊三角形

∴∠CMN=∠ACD=60°

∴MN∥AB

3.∵∠CDB=∠CAE

即∠MDF=∠CAM ∠AMC=∠DMF

∴∠DFM=180°-∠MDF-∠DMF

∠ACM=180°-∠CAM-∠AMC=60°

∴∠DFM=60°

∴∠AFB=180°-∠DFM=180°-60°=120°

反思：此環(huán)節(jié)是學生在已掌握基本思維和方法的基礎上，通過三個問題的設計，進一步鞏固加強學生對圖形變換后解決問題和分析問題的能力培養(yǎng)，有助于學生內(nèi)化為自己的邏輯思維.

三、能力提升變式

如圖3 ，若BD與AE相較于點P，連接CP，判斷下列結論正確與否，對的噠“√”，錯的打“×”。

1.∠APD=60° （? ? ）

2.△ACM≌△DCN （? ? ）

3.CM=CN （? ? ）

4.△CMN是等邊三角形 （? ? ）

5.ME=BE （? ? ）

6.CP平分∠APB （? ? ）

此環(huán)節(jié)設計的意圖是對基本圖形的簡單變換，挖掘更深層次的問題，可以很大提高學生分析問題、解決問題的能力，激發(fā)學生創(chuàng)造性思維和好奇心。通過前面的講解，學生容易把前五個問題判斷出來， 問題6重點考查學生的綜合能力，通過三角形全等可推理得到面積相等，由AE=BD可得這兩條邊上的高相等，再結合角平分線的判定定理，可以證明出CP平分∠APB 。

四、共點等腰三角形變式

如圖4，CA=CB ，CD=CE ，∠ACB=∠DCE=α，AD，BE相交于點H，連接CH。求證：1.AD=BE;2.HC平分∠AHE;3.求∠AHE的度數(shù)（用含α的式子表示）。