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    巧解圓錐曲線的離心率問題的策略

    2021-10-21 00:26:10
    數理化解題研究 2021年28期
    關鍵詞:銳角三角等值等式

    李 霞

    (黑龍江省大慶中學 163000)

    一、直求a、c法

    例1現有長、短軸分別為6和4的橢圓,求其離心率.

    二、一體思路法

    三、定義解題法

    定義解題法是巧用離心率與圓錐曲線相關定義的一種解題技巧.若題中已有相關的線段長度等,便可將已知的數據與可用的定義相結合,進而解出離心率.

    例4F1、F2為橢圓的兩焦點,過F2的一條垂線與橢圓較長的那一軸交于P點,且△F1PF2是兩腰等值的直角三角形,求橢圓離心率.

    圖1

    四、公式解題法

    若上述方法均行不通,則可以巧妙運用等式或不等式的解題策略.具體步驟為:首先根據題目的已知點,列出符合題意的不等式或等式,然后將其全部轉換為只有a、c的式子,再將a、c消去,轉為只剩e的等式或不等式,最后解出離心率.

    圖2

    ∵△ABF2兩腰等值,當其為銳角三角形時,則△AF2B為銳角,∴∠ΔAF2F1<45°,即AF1

    ∴16a2b2=3c4,∴16a2(c2-a2)=3c4,

    ∴16a2-16a2c2+3c4=0,

    ∴(4a2-c2)(4a2-3c2)=0,

    ∴4a2-c2=0,或4a2-3c2=0,

    解∵F2(c,0)為右焦點,∴l(xiāng):y=k(x-c).當x=0時,y=-ck,∴P(0,-ck),∵B是F2P的中點,

    此外,圓錐曲線中的離心率問題也亦有其它可行的策略,高中數學老師在加以運用的時候不僅要關注給定材料的特點,還要注意分析學生對離心率知識已有的認知,在其思維水平內選擇解決圓錐曲線離心率問題的最佳策略.

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