基于初始孔隙率的千枚巖損傷模型分析

王允偲， 鄧祥輝， 王 睿， 趙志清

(西安工業(yè)大學(xué)建筑工程學(xué)院， 西安 710021)

當隧道在千枚巖地層中修建時，由于千枚巖節(jié)理裂隙發(fā)育，強度低，容易導(dǎo)致隧道變形過大、襯砌開裂甚至局部坍塌等工程問題[1-2]。因此，需對千枚巖的工程性質(zhì)進行研究。千枚巖由于成巖歷史和賦存環(huán)境等因素的影響，導(dǎo)致初始孔隙率差異很大，因而造成不同環(huán)境下千枚巖的工程性質(zhì)相差很大[3]。若不能準確地掌握千枚巖的工程性質(zhì)，將造成重大工程事故，因此，需對不同初始孔隙率下千枚巖的工程性質(zhì)進行研究[4]。

為了防止或減少在軟巖中施工發(fā)生的工程事故，中外學(xué)者就此對軟巖的性質(zhì)開展了一系列研究。齊萬鵬等[5]對IV、V級千枚巖進行了細致分級，建立了千枚巖圍巖施工階段的亞級分級方法。王睿等[6]利用聲波-回彈聯(lián)合測試法，建立了施工現(xiàn)場圍巖快速分級的方法，所建立的圍巖快速分級方法與傳統(tǒng)的分級方法相比，更加準確快速。周翠英等[7]通過掃描電鏡、X射線衍射及物理力學(xué)試驗等方式測定了泥巖、炭質(zhì)泥巖等軟巖的微觀結(jié)構(gòu)、礦物成分、物理力學(xué)性質(zhì)及其隨時間的變化特點，揭示了軟巖軟化的變化規(guī)律。杜宇翔等[8]通過X射線衍射、電鏡掃描和三軸壓縮試驗等方式，分析了昔格達組半成巖的微觀結(jié)構(gòu)與強度特性，提出了一種新的巖土體的工程分級方式。車平等[9]從物理力學(xué)性質(zhì)、礦物與化學(xué)成分、微觀結(jié)構(gòu)等方面對巢湖地區(qū)墳頭組泥巖進行試驗研究，發(fā)現(xiàn)水沿微裂隙進入巖石內(nèi)部，溶解可溶鹽膠結(jié)，使裂隙向縱深發(fā)展是導(dǎo)致巖石軟化的根本原因。蔣毅等[10]結(jié)合巖石的單軸壓縮與三軸壓縮試驗，探究了軟硬巖交互地層的力學(xué)性質(zhì)。研究發(fā)現(xiàn)復(fù)合底層的變形主要發(fā)生在軟巖部分，因此提出軟巖的性質(zhì)對于工程施工具有重要意義。Yang等[11]對泥質(zhì)板巖進行了水理性試驗和單軸壓縮試驗，發(fā)現(xiàn)隨著飽水時間的延長，泥質(zhì)板巖的峰值強度逐漸下降，泊松比逐漸增大，其破壞形式主要是沿著層理面發(fā)生張拉破壞和局部剪切破壞。

在研究軟巖的力學(xué)性質(zhì)的過程中，很多學(xué)者認為建立力學(xué)模型進行分析是比較有效的方法，并對一些軟巖如泥巖、板巖等進行了損傷模型分析。如張明等[12]和張慧梅等[13]利用三軸壓縮試驗并結(jié)合巖石損傷理論進行研究，得出了應(yīng)用于廣義巖石的損傷本構(gòu)模型。田忠喜等[14]根據(jù)微元統(tǒng)計理論建立了損傷變量，并引入修正系數(shù)調(diào)整巖體結(jié)構(gòu)面對圍巖的影響，推導(dǎo)出了考慮結(jié)構(gòu)面對巖體影響的損傷本構(gòu)方程。袁小清等[15]修正了非貫通裂隙巖體的本構(gòu)模型。溫韜等[16]建立能夠體現(xiàn)巖石的初始損傷以及損傷部分仍能承受一定應(yīng)力的新型巖石損傷模型，并建立了相關(guān)修正影響因子來修正損傷本構(gòu)模型。宿輝等[17]基于片麻花崗巖的室內(nèi)物理試驗，探究了不同溫度下片麻巖的熱損傷規(guī)律，建立了考慮溫度變化的損傷模型。王偉等[18]和陳俊樺等[19]分別修正了考慮孔隙水壓力及考慮巖石完整性系數(shù)的巖石損傷本構(gòu)模型。邵志鑫等[20]利用電子計算機斷層掃描(computed tomography，CT)掃描技術(shù)，總結(jié)了不同凍融循環(huán)下矽卡巖的凍融損傷特征，建立了凍融損傷下圍巖的損傷規(guī)律。對于巖石損傷本構(gòu)模型的修正，雖然中外學(xué)者已經(jīng)進行了大量的研究[21-22]，但對于巖石的初始孔隙率并未考慮。初始孔隙率是巖石形成過程中產(chǎn)生的原生孔隙，對于初始孔隙率較大的軟巖，在力學(xué)性質(zhì)分析中必須考慮初始孔隙率的影響。

在考慮了千枚巖初始孔隙率的條件下，結(jié)合巖石損傷力學(xué)，在巖石破壞變形的基礎(chǔ)上，利用巖石損傷隨機分布原理，建立了考慮千枚巖初始孔隙率損傷的本構(gòu)模型。

1 考慮初始孔隙率的千枚巖損傷模型

1.1 基本假設(shè)

當千枚巖受到壓力作用時，其應(yīng)力應(yīng)變曲線與大部分巖石相同，可以分為四個階段：壓密階段，彈性階段，彈塑性階段，軟化階段。千枚巖在成巖歷史過程中，受賦存環(huán)境的影響，如地下水、風(fēng)化、地應(yīng)力、構(gòu)造運動等因素的影響，會產(chǎn)生較多影響巖石性質(zhì)的原生孔隙，將巖石成巖過程中產(chǎn)生的這些原生孔隙定義為初始孔隙。初始孔隙體積與巖石總體積之比即為初始孔隙率。在建立千枚巖損傷本構(gòu)模型時，既要充分考慮千枚巖四個階段的變形特性，又要考慮千枚巖內(nèi)部初始孔隙率對于巖石強度的影響。因此做出如下假設(shè)。

假設(shè)千枚巖在受到軸向力時可簡化為：天然孔隙部分的面積A0、未損傷部分的面積A1和損傷部分的面積A2，如圖1所示。

圖1 損傷模型受力示意圖Fig.1 Schematic diagram of the damage model

孔隙部分無法承受任何荷載，損傷部分承受損傷應(yīng)力σr，未損傷部分承受有效應(yīng)力σ1，σ為巖石承受的全部荷載，則其關(guān)系式為

σA=σ1A1+σrA2

(1)

式(1)中：A為巖石的面積；A1為未損傷部分的面積；A2為損傷部分的面積。

假設(shè)千枚巖受壓后，內(nèi)部損傷僅發(fā)生在主應(yīng)力方向，其他方向不發(fā)生損傷，即千枚巖所受荷載僅由未損傷部分與損傷部分共同承擔(dān)，因此定義損傷變量D為

(2)

假設(shè)千枚巖作為一個整體，當受到軸向壓力作用時，軸向應(yīng)變相同，同時，內(nèi)部微元滿足如下條件。

(1)微元在彈性變形階段滿足廣義胡克定律:假設(shè)內(nèi)部未損傷的微元在彈性變形階段滿足廣義胡克定律，根據(jù)廣義胡克定律，引入有效應(yīng)力E可得

Eε1=(1+μ)σ1-μ(σ1+σ2+σ3)

(3)

式(3)中：E為千枚巖的彈性模量；μ為千枚巖的泊松比；σ1為千枚巖所受的最大主應(yīng)力；σ2為千枚巖的中間主應(yīng)力；σ3為千枚巖所受的最小主應(yīng)力；ε1為千枚巖的最大主應(yīng)變。

在單軸壓縮條件下，圍壓為零，即σ2=σ3=0，因此前后方向上的徑向應(yīng)變ε2與左右方向上的徑向應(yīng)變相同，即ε2=ε3，可得

σ1=Eε1

(4)

(2)微元的屈服條件滿足Drucker-Prager(D-P)屈服準則。根據(jù)Drucker-Prager屈服準則，有

(5)

式(5)中：f為D-P強度準則的表達式；I1為有效應(yīng)力張量的第一主不變量；α為巖石與內(nèi)摩擦角φ有關(guān)的材料參數(shù)；k為巖石與黏聚力c和內(nèi)摩擦角φ有關(guān)的材料參數(shù)；J2為有效應(yīng)力偏張量的第二主不變量，其計算公式分別為

(σ1-σ2)2]

(6)

I1=σ1+σ2+σ3

(7)

(8)

(9)

將式(6)～式(9)代入式(4)，便可得D-P強度準則在三軸壓縮條件下的表達式，對于單軸壓縮試驗，σ2=σ3=0，其計算公式為

(10)

(3)微元的強度滿足Weibull分布。千枚巖內(nèi)部微元的損傷概率與屈服強度有關(guān)，巖體內(nèi)部的隨機微元為損傷微元的概率為p。在達到峰值應(yīng)變時，內(nèi)部的損傷微元的數(shù)量等于巖石的損傷變量。可知千枚巖內(nèi)部的損傷變量與微元強度之間的關(guān)系為

(11)

式(11)中：p為巖體內(nèi)部的隨機微元為損傷微元的概率；p(f)為達到D-P強度準則的巖石內(nèi)部微元為損傷微元的概率。

Weibull隨機分布是可靠性分析的理論基礎(chǔ)，可用來表示內(nèi)部微元的強度可靠性，并計算微元為損傷微元的概率，因此千枚巖內(nèi)部損傷的密度函數(shù)可表示為

(12)

式(12)中：m和f0為統(tǒng)計參數(shù)，是定值，可通過邊界條件利用半逆解法求得。

由此，將式(11)代入式(10)并進行積分，可以求出損傷變量為

(13)

1.2 千枚巖損傷本構(gòu)模型的建立

假設(shè)千枚巖的初始孔隙率為w，則有

A0=Aw

(14)

結(jié)合式(1)、式(2)和式(14)，可以得出考慮損傷變量的應(yīng)力表達式為

σ[σ1(1-D)+σrD](1-w)

(15)

將式(13)代入式(15)，可將損傷變量替換，得到與屈服強度有關(guān)的應(yīng)力表達式為

(16)

(17)

(18)

(19)

將式(18)、式(19)代入式(16)，得到考慮初始孔隙率的千枚巖損傷模型為

(20)

2 室內(nèi)試驗

2.1 試樣制備

四川鎮(zhèn)江關(guān)—松潘的某鐵路隧道穿越的富水千枚巖地帶，分別從該隧道的DK232+620、DK520+535、DK807+120、D1K106+370、D1K450+805區(qū)段隨機選取千枚巖巖樣若干，進行室內(nèi)試驗。根據(jù)《工程巖體試驗方法標準》(GB/T 50266—2013)的規(guī)定，將巖樣制作成直徑為50 mm，高為100 mm圓柱體試塊。將采集到的各個區(qū)段的巖樣按照上述要求制成試塊，試塊實拍圖如圖2所示。

圖2 圓柱體試件Fig.2 Cylindrical specimen

2.2 孔隙率測試

2.2.1 孔隙率測試原理

千枚巖的孔隙率是采用MesoMR23-060H-I型中尺寸核磁共振成像分析儀測得。在進行核磁共振之前，需對千枚巖運用真空飽水儀進行真空抽氣法強制性飽水。

核磁共振是質(zhì)子在磁場作用下進行弛豫，質(zhì)子在磁場作用下運動的時間稱為弛豫時間，弛豫時間用T2表示，是核磁共振測試的重要參數(shù)。由弛豫時間T2可知，核磁共振總的橫向弛豫速率為1/T2，1/T2的變現(xiàn)形式為

(21)

根據(jù)式(21)，結(jié)合核磁共振的原理可知：千枚巖在強制飽水后，其孔隙內(nèi)有且僅有一種液體，因此，質(zhì)子自由弛豫時間T2自由會較長，1/T2自由會較小，可以忽略不計；千枚巖在進行核磁共振試驗時，儀器參數(shù)合理的調(diào)試使得千枚巖處于均勻磁場中，磁場梯度G較小，可以忽略不計，因此核磁共振總的橫向弛豫速率的計算式(21)可以簡化為

(22)

對于千枚巖核磁共振的試驗結(jié)果，可根據(jù)式(22)推算出孔隙率。

2.2.2 孔隙率分析

核磁共振試驗測得同一區(qū)段的千枚巖孔隙率相似，為了便于進行后續(xù)研究，選取不同孔隙率的千枚巖巖樣各一組，孔隙率如表1所示。

表1 巖樣孔隙率

根據(jù)式(22)以及核磁共振試驗所測得的不同區(qū)段千枚巖的T2譜，得出了不同區(qū)段千枚巖的孔隙半徑分布情況，繪制出千枚巖孔隙半徑與孔隙率分量曲線，由于孔隙率相似，其孔隙半徑與孔隙率分量曲線圖基本一致，為方便觀察，從每一區(qū)段中取一條曲線進行展示分析，如圖3所示。

圖3 試件孔隙率分布Fig.3 The porosity distribution of the test piece

對圖3分析可知：千枚巖內(nèi)部的孔隙半徑為 0～100 μm，其中絕大部分孔隙半徑分布在0.01～40 μm。千枚巖孔隙率分布共有2個波峰，分別集中在孔隙半徑為0.01、10 μm左右，表明這兩種半徑的孔隙相比于其他半徑的孔隙在千枚巖內(nèi)部分布較多。結(jié)合表1、圖3分析可知：當千枚巖內(nèi)部的孔隙率小于0.5%時，其內(nèi)部半徑為0.01 μm的孔隙數(shù)量多于孔隙半徑為10 μm的孔隙；當千枚巖內(nèi)部的孔隙率大于0.5%且小于1%時，其內(nèi)部半徑為0.01 μm的孔隙數(shù)量多于孔隙半徑為10 μm的孔隙；當千枚巖內(nèi)部孔隙率大于1%時，其內(nèi)部各種半徑的孔隙數(shù)量均明顯增多，且高于其他孔隙率的千枚巖。

2.3 應(yīng)力應(yīng)變測試

2.3.1 應(yīng)力應(yīng)變分析

根據(jù)單軸壓縮試驗所測得的橫向峰值應(yīng)變、縱向峰值應(yīng)變以及單軸抗壓強度，可求得千枚巖的彈性模量與比泊松比。結(jié)合表2可以看出，千枚巖孔隙率較小時，其單軸抗壓強度的峰值應(yīng)力較大，峰值應(yīng)變較小，隨著孔隙率的增大，峰值應(yīng)力在逐漸的減小，峰值應(yīng)變在逐漸地增大。當千枚巖的孔隙率小于1%時，千枚巖的峰值應(yīng)力與峰值應(yīng)變變化不大，當孔隙率大于1%時，千枚巖的峰值應(yīng)力急劇的下降，峰值應(yīng)變急劇的上升。

表2 試件的峰值應(yīng)變和單軸極限抗壓強度

將千枚巖的彈性模量與其相應(yīng)的孔隙率進行擬合，擬合曲線如圖4所示。由圖4可見，千枚巖彈性模量與其孔隙率的擬合基本吻合，擬合的相關(guān)系數(shù)R2=0.981 3，擬合關(guān)系式為二次多項式，可表示為

圖4 試件彈性模量與其孔隙率擬合曲線Fig.4 Fitting curve of elastic modulus of rock sample and its porosity

E=110.3w2-306.53w+225.28

(23)

由式(23)可知，千枚巖的彈性模量與孔隙率有關(guān)，且孔隙率越大彈性模量越小。

2.3.2 應(yīng)力-應(yīng)變曲線

對不同區(qū)段的千枚巖分別進行單軸壓縮試驗，得到的數(shù)據(jù)經(jīng)過處理，繪制成應(yīng)力-應(yīng)變曲線，由于同一區(qū)段的孔隙率相近，其應(yīng)力應(yīng)變曲線相近，故每一區(qū)段取出一條曲線進行展示分析，如圖5所示。

圖5 不同區(qū)段試件的應(yīng)力-應(yīng)變曲線Fig.5 Stress-strain curves of specimens in different sections

從圖5可見，5個斷面的試件應(yīng)力-應(yīng)變曲線表現(xiàn)出類似的規(guī)律性，即千枚巖單軸壓縮應(yīng)力-應(yīng)變?nèi)^程曲線的變化規(guī)律大致上均可劃分為4個階段。具體分析如下。

(1)第Ⅰ階段：壓密階段，此階段應(yīng)力較小但應(yīng)變較大，主要原因為千枚巖在豎向荷載的作用下，內(nèi)部的孔隙逐漸閉合。壓密階段雖有應(yīng)變，但千枚巖內(nèi)部微元未發(fā)生任何變形。

(2)第Ⅱ階段：彈性階段，此階段應(yīng)力與應(yīng)變呈線性相關(guān)，主要原因為千枚巖在豎向荷載的作用下，內(nèi)部微元發(fā)生彈性變形。彈性階段的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系滿足胡克定律，可通過擬合獲得彈性模量。

(3)第Ⅲ階段：彈塑性階段，此階段應(yīng)力與應(yīng)變不再滿足線性關(guān)系，應(yīng)力的加載速度減小，應(yīng)變的變化速度增大。主要原因是應(yīng)力達到了塑性閾值，千枚巖開始發(fā)生彈塑性變形。

(4)第Ⅳ階段：軟化階段，此階段的應(yīng)力不再增加，應(yīng)變急劇的增加。千枚巖達到峰值應(yīng)力后，其承載力逐漸地下降至殘余應(yīng)力。

分析圖5可知，不同區(qū)段的千枚巖經(jīng)過單軸壓縮破壞后，隨孔隙率增大，其第Ⅰ階段曲線所占比例越大，主要原因是千枚巖內(nèi)部的孔隙數(shù)量與孔隙體積不斷累積與增大導(dǎo)致的；第Ⅱ階段曲線所占的比例逐漸減小，而第Ⅲ階段曲線將變得平緩，這表明千枚巖隨著孔隙率的增大，其彈性階段逐漸的減小，彈塑性階段逐漸增大；第Ⅳ階段的曲線幾乎平行，說明千枚巖的軟化階段與孔隙率無關(guān)，但殘余強度及峰值應(yīng)力強度與孔隙率相關(guān)，且孔隙率越大，殘余強度與峰值應(yīng)力強度越低。

3 本構(gòu)模型驗證

將表2所求得的各參數(shù)代入式(20)中，可擬合出不同孔隙率下的應(yīng)力應(yīng)變曲線。每組各取一組數(shù)據(jù)，與相同孔隙率的單軸壓縮曲線進行比對，結(jié)果如圖6所示?？梢钥闯?，考慮初始孔隙率的千枚巖損傷本構(gòu)模型的預(yù)測數(shù)據(jù)與實際數(shù)據(jù)基本相符，曲線基本重合，但其極限單軸抗壓強度均比實際數(shù)據(jù)略小。

圖6 應(yīng)力-應(yīng)變預(yù)測曲線Fig.6 Stress-strainforecast curve

由表3可知，從15個試樣的單軸抗壓強度結(jié)果看，預(yù)測強度值與實測強度值誤差范圍為0.25%～1.84%，5組試件平均誤差分別為1.80%、1.19%、1.77%、0.29%和0.67%。從結(jié)果可知，預(yù)測值與實測值誤差較小，說明預(yù)測方法和建立的千枚巖損傷模型是符合實際的。因此該模型可用來預(yù)測不同孔隙率下千枚巖的單軸抗壓強度與極限應(yīng)變量，并且孔隙率越大，預(yù)測結(jié)果越接近。

表3 預(yù)測抗壓強度值與實測抗壓強度值對比

4 結(jié)論

在考慮初始孔隙率的情況下，對千枚巖損傷模型進行了理論推導(dǎo)，并通過試驗進行驗證。得出如下主要結(jié)論。

(1)基于巖石的應(yīng)變強度理論，假設(shè)巖石變形滿足胡克定律并且?guī)r石強度滿足Drucker-Prager屈服準則，結(jié)合千枚巖的應(yīng)力應(yīng)變曲線，建立了考慮初始孔隙率的千枚巖損傷本構(gòu)模型。

(2)通過試驗結(jié)論與擬合曲線的對比結(jié)果可知，千枚巖考慮初始孔隙率的損傷本構(gòu)模型能夠較為的準確反應(yīng)千枚巖的應(yīng)力應(yīng)變過程，可用來預(yù)測千枚巖的極限單軸抗壓強度，且預(yù)測的單軸抗壓強度結(jié)果偏于安全。