基于馬爾科夫鏈的短車道通行能力建模*

余志，許煥挺，何兆成

中山大學(xué)智能工程學(xué)院，廣東廣州 510006

交叉口一直以來都是車輛運行的瓶頸，為了降低瓶頸帶來的影響，常使用拓寬車道的方式提高通行能力［1］。這種在交叉口處拓寬形成的車道，因存在一定的長度限制、無法當(dāng)作獨立車道而被稱為短車道［2］。拓寬信號交叉口進(jìn)口道是提高其通行能力的有效方法，但短車道也是影響通行能力的潛在因素，常導(dǎo)致相關(guān)車流互相影響，甚至發(fā)生短車道排隊阻塞，這種阻塞被稱為短車道效應(yīng)［2］。因此，設(shè)計手冊規(guī)定了短車道的最短長度［3-5］以降低短車道排隊阻塞發(fā)生的概率。

短車道效應(yīng)的發(fā)生是道路、交通、管理條件綜合作用的結(jié)果，為了探究短車道對交叉口交通運行的影響，Wu［6］指出傳統(tǒng)方法和HCM 對于短車道組通行能力的估計存在高估或是低估的情況，并提出了一種基于概率論的短車道通行能力估計方法。研究表明，帶有短車道的信號控制交叉口的通行能力與短車道長度、車流比例，以及周期時長有很大關(guān)系［7］。Wu［8］考慮交通流的隨機(jī)性和排隊阻塞對短車道的影響，建立了一個理論-經(jīng)驗?zāi)Ｐ蛠碛嬎愣誊嚨澜M的通行能力。馬萬經(jīng)等［9-10］考慮相鄰周期排隊作用，建立左轉(zhuǎn)短車道阻塞概率和通行能力解析模型。以往的研究揭示了短車道通行能力是道路幾何條件、車流比例、信號控制方案等因素綜合作用的結(jié)果，在過程中使用了基于概率的修正模型，此類方法考慮了車輛到達(dá)及車流互阻塞的隨機(jī)性，更接近實際情況，成為當(dāng)前研究該問題的主流方法。

然而，已有工作大多以周期為粒度，獨立研究短車道和相鄰車道的短車道效應(yīng)發(fā)生概率以及阻塞影響下的通行能力水平，忽略了短車道和相鄰車道車輛運動的耦合性以及連續(xù)性。由于不同流向的車輛運動在信號交叉口是根據(jù)相位進(jìn)行劃分的，這種分流向車輛運動的耦合性和連續(xù)性將導(dǎo)致當(dāng)前相位車輛排隊狀態(tài)一定程度上依賴于上一相位的排隊狀態(tài)，使信號交叉口的阻塞概率和通過量處于動態(tài)變化當(dāng)中。針對上述問題，本文基于概率論和馬爾科夫鏈相關(guān)理論，以相位為最小粒度對信號交叉口的短車道組通行能力進(jìn)行了建模，分析了其在不同交通條件和道路幾何條件下的變化。

1 基于馬爾科夫鏈的短車道通行能力計算模型

為不失一般性，本文以滯后的受保護(hù)左轉(zhuǎn)相位下直左短車道組進(jìn)行研究，并且左轉(zhuǎn)的有效綠燈時間長于短車道最大排隊清空時間，以限制短車道最大容量。本文模型基于兩個假設(shè)：1） 車輛到達(dá)服從泊松分布；2） 車輛均為標(biāo)準(zhǔn)小汽車。模型的計算流程圖如圖1所示。

1.1 構(gòu)建相位狀態(tài)轉(zhuǎn)移的馬爾科夫鏈

根據(jù)相位設(shè)置和短車道組車輛運動情況將周期分成三個階段：排隊階段、直行通行和左轉(zhuǎn)通行，記為T1、T2、T3，如圖2 所示。將每階段結(jié)束時刻短車道車輛排隊狀態(tài)視為該階段狀態(tài)，狀態(tài)空間為｛B，O，S｝。其中，B 表示直行阻塞左轉(zhuǎn)通行，O表示左轉(zhuǎn)阻塞直行通行，S表示不阻塞，各狀態(tài)如圖3所示。

圖2 信號控制方案周期劃分Fig. 2 Division of signal control scheme

圖3 排隊狀態(tài)示意圖Fig. 3 The system status of queue in short lanes

考慮到每個相位階段的車輛排隊狀態(tài)只取決于上一階段的狀態(tài)，為

其中P(sTi)表示短車道處于sTi狀態(tài)的概率，sTi表示Ti階段的狀態(tài)，sTi∈{ B，O，S }。

因此，相鄰階段之間狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程可以構(gòu)建成為一條馬爾科夫鏈。對于本模型的馬爾科夫鏈來說，每經(jīng)過三個階段為一次迭代，使用P(k)表示第k次迭代計算時的短車道組相位狀態(tài)概率矩陣，矩陣每一行元素表示一個階段不同狀態(tài)的概率，每一列元素表示一種狀態(tài)在不同階段的概率。矩陣元素取值范圍為［0，1］，且每一行元素滿足是滿足該約束的隨機(jī)矩陣。

1.2 剩余容量矩陣

定義剩余容量為短車道容量與短車道范圍排隊車輛數(shù)的差值，根據(jù)車道可以分成左轉(zhuǎn)車道剩余容量和直行車道剩余容量。第k次迭代時，短車道組左轉(zhuǎn)車道的剩余容量矩陣為

其中為左轉(zhuǎn)車道在第i階段處于第j狀態(tài)的剩余容量。類似的，第k次迭代時直行車道的剩余容量矩陣為

1.2.1 T1 階段剩余容量計算在T1 階段時，直行和左轉(zhuǎn)車輛都處于排隊狀態(tài)，如果在該階段結(jié)束的時候，處于S狀態(tài)，即車輛順暢通行，則此時短車道剩余容量等于短車道容量N減去平均到達(dá)車輛數(shù)。到達(dá)車輛數(shù)服從泊松分布，且達(dá)到車輛數(shù)小于等于N，所以短車道剩余容量為

其中EL(X，g1) 表示左轉(zhuǎn)車道到達(dá)車輛數(shù)期望，g1表示T1 階段綠燈時間；sL表示左轉(zhuǎn)車輛到達(dá)率，由上游車道車輛到達(dá)率λ乘上左轉(zhuǎn)車流比例βL得到，即sL=λβL。同理，直行車道剩余容量為

如果T1 階段結(jié)束的時候，處于B 狀態(tài)，即直行車排隊阻塞左轉(zhuǎn)； T1 階段的B 狀態(tài)有可能是從T3 階段的B 狀態(tài)，也有可能是從T3 階段的S 狀態(tài)演變而來，其中T3階段的B狀態(tài)和S狀態(tài)的概率為和。無論什么狀態(tài)，T1 階段直行車道的剩余容量=0。對左轉(zhuǎn)車道來說，如果從B 狀態(tài)演變而來，則T1 剩余容量等于T3 階段B 狀態(tài)的剩余容量；若從S 狀態(tài)演變而來，則T1 剩余容量等于T3 階段S 狀態(tài)的剩余容量減去T1 階段期間在直行阻塞左轉(zhuǎn)前到達(dá)的左轉(zhuǎn)車輛數(shù)。因此，短車道剩余容量為

如果T1 階段結(jié)束的時候，處于O 狀態(tài)，即左轉(zhuǎn)車排隊阻塞直行，該狀態(tài)只能由T3 階段的S 狀態(tài)演變而來。此時，左轉(zhuǎn)車道剩余容量直行車道剩余容量受上一階段狀態(tài)影響，等于T3階段直行車道剩余容量減去T1 階段到達(dá)直行車輛數(shù)。直行車道剩余容量為

1.2.2 T2 階段剩余容量計算T2 階段出現(xiàn)B 狀態(tài)的概率為0，此時的短車道和直行車道的剩余容量都為N，且

其中g(shù)2表示T2階段的綠燈時間。

1.2.3 T3 階段剩余容量計算類似T2 階段，T3階段出現(xiàn)O 狀態(tài)的概率為0，階段結(jié)束時的狀態(tài)為B狀態(tài)時，直行車道剩余容量，短車道的剩余容量；若T3階段結(jié)束的時候狀態(tài)為S 時，短車道的剩余容量直行車道剩余容量為

其中g(shù)3表示T3階段的綠燈時間。

1.3 馬爾科夫鏈的轉(zhuǎn)移概率和轉(zhuǎn)移矩陣

第k次迭代過程中，從上階段到Ti階段狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣用表示。矩陣每個要素表示基于上階段某個狀態(tài)下本階段狀態(tài)的概率，且

1.3.1 T3 階段到T1 階段轉(zhuǎn)移矩陣T1 階段直行車和左轉(zhuǎn)車均排隊，T1 階段結(jié)束時處于B 狀態(tài)的概率等價于直行車道的到達(dá)車輛數(shù)先超過其剩余容量的概率，為

T1階段結(jié)束時處于O狀態(tài)的概率為

T1階段結(jié)束時，處于S狀態(tài)的概率為

1.3.2 T1 階段到T2 階段轉(zhuǎn)移矩陣T2 階段處于直行車通行和左轉(zhuǎn)車排隊相位下，因此T2 階段結(jié)束時處于B狀態(tài)的概率為0，即ai1=0。

T2 階段結(jié)束時處于O 狀態(tài)的概率，等價于左轉(zhuǎn)車道到達(dá)車輛數(shù)超過其剩余容量的概率，為

T2階段結(jié)束時處于S狀態(tài)的概率為

1.3.3 T2 階段到T3 階段轉(zhuǎn)移矩陣T3 階段直行車排隊和左轉(zhuǎn)車通行，因此T3 階段結(jié)束時處于O狀態(tài)的概率為0，即ai2=0.

T3階段結(jié)束時處于O狀態(tài)的概率為

T3階段結(jié)束時處于S狀態(tài)的概率為

1.4 相位狀態(tài)概率矩陣的更新

根據(jù)上述計算得到的轉(zhuǎn)移概率矩陣進(jìn)行相位狀態(tài)概率矩陣的更新，更新公式為

更新停止條件為

1.5 條件通行能力矩陣的計算

條件通行能力是指考慮上一階段狀態(tài)下本階段處于某狀態(tài)時的通行能力。對于左轉(zhuǎn)通行能力來說，其通行相位處于T3 階段，因此其條件通行能力矩陣元素為考慮T2 階段各狀態(tài)下的通行能力，為

其中矩陣每一列表示T3 階段的一種狀態(tài)，每一行表示T2階段的一種狀態(tài)。

但T3 階段處于B 狀態(tài)時，短車道因為被阻塞無法充分利用。此時，通行能力由上階段結(jié)束時短車道排隊車輛數(shù)和本階段短車道到達(dá)車輛數(shù)兩部分組成，為

同理，直行車道條件通行能力矩陣為

且

1.6 通行能力計算

根據(jù)相位狀態(tài)概率矩陣和條件通行能力矩陣，可以計算短車道組的通行能力。左轉(zhuǎn)通行能力和直行通行能力分別為

2 模型驗證

為了驗證模型合理性和準(zhǔn)確性，本文使用VISSIM 仿真工具進(jìn)行場景模擬和仿真。選取廣州市獵德大道和花城大道交叉口的東進(jìn)口作為試驗對象。試驗前，使用晚高峰交叉口的到達(dá)率和通過量對仿真場景進(jìn)行標(biāo)定工作。試驗場景采取先直行后左轉(zhuǎn)的相位配置方式，信號控制方案的周期為165 s，直行相位的時間為38 s，左轉(zhuǎn)相位時長為22 s。交通流參數(shù)配置中車輛飽和流率為0. 6 pcu/s，車輛排隊啟動時間為2 s。

記本文模型為模型1，設(shè)置對照模型進(jìn)行對比，記對照模型為模型2。對照模型不使用馬爾科夫鏈計算阻塞概率，根據(jù)公式（31） 計算直行車道阻塞概率為

左轉(zhuǎn)車道阻塞概率的計算同理。

2.1 不同交通需求模式下的模型驗證

交通需求模式在本研究中體現(xiàn)在短車道車流比例上，因此本節(jié)研究車流比例下的通行能力水平。根據(jù)短車道實際的幾何條件，設(shè)置短車道容量為8 pcu，不同車流比例下的通行能力如圖4所示。

由圖4 （a） 可以看出，模型計算結(jié)果在不同需求比例下都高于仿真值，但兩者整體趨勢相同，且相對誤差在10% 以下。經(jīng)秩和檢驗可知，在95% 置信水平下模型與仿真結(jié)果無顯著性差異。從圖4 （b） 和（c） 可看出，相較于HCM 計算結(jié)果，模型1 和模型2 短車道組的左轉(zhuǎn)通行能力和直行通行能力都與仿真值的變化趨勢相同，且數(shù)值上更加接近。對模型1 與仿真結(jié)果進(jìn)行秩和檢驗，結(jié)果表明，在95% 置信水平下，模型1的左轉(zhuǎn)和直行通行能力與仿真結(jié)果無顯著性差異。雖然模型1和模型2整體上誤差較為接近，但從左轉(zhuǎn)和直行通行能力的誤差上看，明顯模型2的誤差高于模型1。

圖4 短車道車流比例與通行能力的關(guān)系Fig. 4 Relationship between flow ratio and traffic capacity of short lanes

2.2 不同短車道幾何條件的模型驗證

短車道的幾何條件變化體現(xiàn)在短車道容納的標(biāo)準(zhǔn)小車數(shù)。因此，本節(jié)根據(jù)實測數(shù)據(jù)，設(shè)置直行需求比例為0. 6，通過調(diào)整短車道的容量來驗證本文模型，不同短車道容量下通行能力如圖5所示。

由圖5 （a） 可以看出，短車道組通行能力隨著短車道車容量的增加而增加，模型與仿真值整體趨勢相同，且短車道通行能力模型和仿真值相對誤差在10% 以下。經(jīng)秩和檢驗可知，在95% 置信水平下模型與仿真結(jié)果無顯著性差異。從圖5（b） 和（c） 可看出，模型1和模型2短車道組的左轉(zhuǎn)通行能力和直行通行能力都與仿真值的變化趨勢相同，且均優(yōu)于HCM 計算結(jié)果。對模型1 進(jìn)行秩和檢驗，在95% 置信水平下，左轉(zhuǎn)和直行通行能力在模型與仿真結(jié)果上都無顯著性差異。雖然模型2 在整體上的準(zhǔn)確性比模型1 高，但是這種準(zhǔn)確性是建立在對直行通行能力的高估和左轉(zhuǎn)通行能力的低估之上。從直行通行能力和左轉(zhuǎn)通行能力上觀察，可以發(fā)現(xiàn)模型1在兩者的準(zhǔn)確性都高于模型2。

圖5 短車道容量與通行能力的關(guān)系Fig. 5 Relationship between storage and traffic capacity of short lanes

本節(jié)通過將本文模型在不同需求比例和短車道幾何條件下與仿真進(jìn)行對比，得知：基于標(biāo)定后的仿真運行結(jié)果，本模型已有較高的準(zhǔn)確性，在整體和部分上均能夠反映實際的通行能力水平。同時，通過與不考慮相位狀態(tài)轉(zhuǎn)移的模型進(jìn)行對比，發(fā)現(xiàn)本文模型能夠在直行和左轉(zhuǎn)通行能力上具有更高的擬合效果， 證明了本文方法的有效性。

3 結(jié) 論

本文提出了一個基于馬爾科夫鏈的短車道通行能力模型。考慮短車道阻塞效應(yīng)發(fā)生的隨機(jī)性和動態(tài)性，研究不同需求比例和短車道幾何條件下的模型準(zhǔn)確性和短車道通行能力特點，得到以下結(jié)論：

1） 從需求比例和短車道幾何條件來看，本文提出的模型能夠比較準(zhǔn)確地反映短車道組的通行能力，使用馬爾科夫鏈擬合短車道組狀態(tài)的動態(tài)轉(zhuǎn)移過程是可行的。

2） 當(dāng)前相位的阻塞概率確實受到前一相位狀態(tài)的影響，考慮相位的狀態(tài)轉(zhuǎn)移有助于得到更加準(zhǔn)確的短車道組通行能力。

3） 在短車道組通行能力計算過程中，車流需求比例比短車道容量對結(jié)果影響更大。在實際應(yīng)用過程中，可以考慮控制交叉口的轉(zhuǎn)向需求，來獲得較高的通行能力。