霍亂傳染病行波解的上下解計(jì)算*

秦 雙 鈺

(重慶工商大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶 400067)

0 引 言

霍亂是一種典型的水源性傳染病，具有多種傳播途徑，包括人與人之間的直接傳播和人與被污染水源之間的非直接傳播。據(jù)世界衛(wèi)生組織統(tǒng)計(jì)，每年全世界約有300×104～500×104霍亂病例，有10×104～12×104人因此死亡。尤其是在許多發(fā)展中國家，近年來都有不同程度的霍亂爆發(fā)。

從20世紀(jì)開始到現(xiàn)在，研究學(xué)者發(fā)表了很多關(guān)于水源性傳染病的文章，主要研究其傳染方式、穩(wěn)定性分析、控制策略等。Capasso和Paveri-Fontana[1]最早在1973年提出一個(gè)較為簡單的霍亂模型；隨后，Codeco[2]于2003年首次計(jì)算在水源環(huán)境中霍亂弧菌的濃度，建立改進(jìn)的SIRB霍亂模型；Hartley等[3]考慮霍亂多途徑傳播的特點(diǎn)，將霍亂病菌分為高感染階段和低感染階段，結(jié)合兩個(gè)新的環(huán)境元素構(gòu)建一個(gè)高維霍亂傳染病模型，能更精確地描述霍亂傳染病的傳播特點(diǎn)；Mukandavire等[4]再將Hartley的模型進(jìn)行一些簡化， 采用非線性發(fā)生率來描述人與被污染水源之間的傳播；Liao和Yang[5]首次在霍亂模型中引入媒體效應(yīng)，構(gòu)造帶媒體效應(yīng)的多時(shí)滯霍亂模型，分析媒體效應(yīng)和多種不同時(shí)滯對(duì)霍亂傳播的影響；Wang等[6]研究了一個(gè)反應(yīng)擴(kuò)散霍亂模型，計(jì)算該模型的基本再生數(shù)、全局漸近穩(wěn)定以及圖靈不穩(wěn)定性。更多的相關(guān)研究可參考文獻(xiàn)[7-10]。

行波解是對(duì)傳染病進(jìn)行建模研究的一個(gè)關(guān)鍵因素，具有重要的研究意義，只要人們離開傳染病源的速度大于行波解的速度， 就不易被傳染，而行波解穩(wěn)定與否可以直觀反應(yīng)傳染病的傳播形態(tài)會(huì)不會(huì)發(fā)生很大的變化。Tian和Yuan[11]研究一個(gè)帶非局部擴(kuò)散的SEIR模型， 計(jì)算最小波速和行波解；Zhang和Liu[12]分析一個(gè)SVIR傳染病模型，同樣計(jì)算最小波速和行波解；Wang和Wu[13]建立具有非局部時(shí)空延遲的擴(kuò)散傳染病模型， 利用Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理證明行波解的存在性；Chen[14]等研究格微分模型上的最小波速以及行波解的存在性和不存在性。更多的相關(guān)文獻(xiàn)可參考文獻(xiàn)[15-18]。

本文擬針對(duì)一類方程個(gè)數(shù)和參數(shù)較多的霍亂傳染病模型進(jìn)行行波解研究，構(gòu)造一對(duì)明確的上下解函數(shù)來研究行波解的存在性。

1 建立霍亂模型

霍亂傳染病是一種具有多種傳播途徑的復(fù)雜傳染病，本文在文獻(xiàn)[13-14]的基礎(chǔ)上，建立如下帶擴(kuò)散項(xiàng)的偏微分方程組模型：

其中：S(x，t)，I(x，t)，R(x，t)分別表示易感者、感染者和移出者，在t時(shí)刻x處的密度；W(x，t)表示t時(shí)刻在水源x處的霍亂病菌濃度；Δ為拉普拉斯算子；參數(shù)βW，βI分別表示環(huán)境與人之間和人與人之間的傳播率；Λ是自然的人類出生人數(shù)/死亡人數(shù)；μ是自然的人類出生率/死亡率；u>0是由疾病引起的死亡率；γ是恢復(fù)率；ξ是脫落率；δ是細(xì)菌死亡率；di(i=1，2，3，4)為正擴(kuò)散率系數(shù)；模型中的所有參數(shù)均為正數(shù)。

注意到前3個(gè)方程中均不含R，即R具有獨(dú)立性，故在后面的計(jì)算中只考慮前3個(gè)方程組。

基本再生數(shù)R0為

2 模型行波解的計(jì)算

令(S(x，t)，I(x，t)，W(x，t))=(S(θ)，I(θ)，W(θ))，其中θ=x+ct，常數(shù)c為波速，則行波方程變?yōu)?/p>

且系統(tǒng)滿足邊界條件如下：

易得系統(tǒng)在E0處的線性化系統(tǒng)為

令I(lǐng)=ηIeλθ，W=ηWeλθ，其中ηI，ηW為正常數(shù)，通過簡單計(jì)算可得特征方程：

hI(λ，c)=d2λ2+βIS0-(μ+u+γ)-cλ

hW(λ，c)=d3λ2-δ-cλ

當(dāng)R0>1，c>c*時(shí)，系統(tǒng)滿足邊界條件的非負(fù)非平凡解，首先可構(gòu)造如下形式的上下解：

其中：M1，M2，ε1，ε2均為正參數(shù)，且將在后文對(duì)這些參數(shù)進(jìn)行進(jìn)一步討論。任取ε>0，存在常數(shù)q1，q2滿足：

hI(λ0+ε，c)q1+βIS0q2<0

hW(λ0+ε，c)q2+δq1<0

Λ-[(βWη3+βIη2)eλ0θ+μ]S0≤0

故引理1得證。

[hI(λ，c)ηI+βWS0ηW]eλ0θ≤0

βWS0(μ+γ-βIS0)+βIS0βWS0-(μ+γ)βWS0≤

故引理2得證。

ξβWS0-δ(μ+γ-βIS0)=0

故引理3得證。

βWS0(1-M1eε1θ)η3e(λ0-ε1)θ-

βIS0(1-M1eε1θ)η2e(λ0-ε1)θ]≥

(βWη3+βIη2)e(λ0-ε1)θ]

即可得證。

hI(λ0，c)ηIeλ0θ-hI(λ0+ε2，c)M2q1e(λ0+ε2)θ=

eλ0θ[hI(λ0，c)ηI-hI(λ0+ε2，c)M2q1eε2θ]

由前面hI(λ0+ε2，c)<0，可知-hI(λ0+ε2，c)eε2θ必為θ的單調(diào)遞增數(shù)，必有

又由于

[d2(λ0+ε2)2-c(λ0+ε2)-

(μ+u+γ)+βIS0]M2q1e(λ0+ε2)θ-

βIS0M1eε1θeλ0θ(ηI-M2q1eε2θ)=

hI(λ0，c)ηIeλ0θ-hI(λ0+ε2，c)M2q1e(λ0+ε2)θ-

βIS0M1ηIe(λ0+ε1)θ+βIS0M1eε1θM2q1e(λ0+ε2)θ=

hI(λ0，c)ηIeλ0θ-βIS0M1ηIe(λ0+ε1)θ-

[hI(λ0+ε2，c)-βIS0M1eε1θ]M2q1e(λ0+ε2)θ

此時(shí)，只要

不等式即可成立。故此引理5得證。

[d3(λ0+ε2)2-c(λ0+ε2)-δ]M2q2e(λ0+ε2)θ≥

hW(λ0，c)ηWeλ0θ-hW(λ0+ε2，c)M2q2e(λ0+ε2)θ≥0

[d3(λ0+ε2)2q2-c(λ0+ε2)q2-δq2+ξq1]M2e(λ0+ε2)θ≥

[(hW(λ0，c)ηW+ξηI)]eλ0θ-

[hW(λ0+ε2，c)q2+ξq1]M2e(λ0+ε2)θ≥

-[hW(λ0+ε2，c)q2+ξq1]M2e(λ0+ε2)θ≥0

3 結(jié)束語

針對(duì)一類具有多種傳播途徑的霍亂傳染病，建立帶擴(kuò)散項(xiàng)的偏微分方程組模型進(jìn)行研究。為了計(jì)算該模型的上下解，克服了模型維度較高以及參數(shù)較多的困難，找出了明確的上界和下界函數(shù)，并證明了上下界函數(shù)滿足邊界條件，這也是本文有別于其他文獻(xiàn)的地方。但是還沒有針對(duì)基本再生數(shù)小于1時(shí)，對(duì)行波解的不存在性進(jìn)行討論，這就是未來的重點(diǎn)工作之一。