兩點(diǎn)邊值問題二尺度小波核LS-SVM解法*

張艷敏， 吳自庫

(1.青島理工大學(xué) 琴島學(xué)院， 山東 青島 266106；2.青島農(nóng)業(yè)大學(xué) 理學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院， 山東 青島 266109)

0 引 言

兩點(diǎn)邊值問題即在給定邊界兩點(diǎn)定解條件下，尋找微分方程解析解的問題。兩點(diǎn)邊值問題模型在應(yīng)用科學(xué)和工程技術(shù)領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用。很多物理、航空航天、生物、化學(xué)等問題都可以用兩點(diǎn)邊值問題來描述[1-3]，因此有很多學(xué)者對兩點(diǎn)邊值問題進(jìn)行深入研究。然而事實(shí)表明兩點(diǎn)邊值問題很難獲得解析解，因此研究其數(shù)值解法是非常必要的。傳統(tǒng)求解方法包括劉穎[4]利用有限差分法研究了兩點(diǎn)邊值問題的數(shù)值解，該方法理論成熟，顯示差分格式穩(wěn)定性好，但穩(wěn)定性與步長密切相關(guān)。羅炯興[5]利用同倫分析法求解，得到了逼近解析解的函數(shù)級數(shù)形式，但隨著級數(shù)項(xiàng)增加，逼近精度提高的同時，計(jì)算量會大幅度提升。盧仁洋等[6]采用有限元法求解了可齊次化的Dirichlet、Neumann兩點(diǎn)邊值問題，實(shí)現(xiàn)了對計(jì)算過程的簡化。馮和英[7]采用有限體積法求解了延遲兩點(diǎn)邊值問題，提出了線性離散插值與數(shù)值積分相結(jié)合的處理方式，得到的數(shù)值解關(guān)于步長是二階收斂的。Winfried A等[8]提出通過打靶法求解自適應(yīng)兩點(diǎn)邊值問題，得到了較高的逼近精度。然而這些傳統(tǒng)的方法為保持差分格式的穩(wěn)定性，都需要對步長進(jìn)行嚴(yán)格限制，往往計(jì)算量也比較大，因此近些年出現(xiàn)一些改進(jìn)的軟計(jì)算方法。楊云磊[9]利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法分析神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型中網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)及樣本量對兩點(diǎn)邊值問題的計(jì)算結(jié)果的影響。張國山等[10-13]利用最小二乘支持向量機(jī)(Least Squares Support Vector Machines，LS-SVM)方法研究一維偏微分方程、一階延遲微分方程、一階微分方程的近似解中，得到的近似解具有較高的逼近精度，計(jì)算量也相對較少，還有其他改進(jìn)方法[14-18]。其中，利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法能得到穩(wěn)定的解，但同時也存在多個局部極值點(diǎn)和隱含層數(shù)的選擇問題[13]，而LS-SVM 方法恰恰彌補(bǔ)這一不足。利用改進(jìn)的二尺度小波核最小二乘支持向量機(jī)方法研究兩點(diǎn)邊值問題，不僅穩(wěn)定性好、計(jì)算量小，而且精度高，近似解表達(dá)式形式簡單，且連續(xù)可微，可以成為諸多領(lǐng)域廣泛應(yīng)用的方法之一。

LS-SVM 方法基本原理是首先利用基核函數(shù)整體逼近微分方程的解，然后再將問題轉(zhuǎn)化為二次規(guī)劃問題。利用改進(jìn)的二尺度小波核最小二乘支持向量機(jī)方法，研究如下兩點(diǎn)邊值問題的近似解：

(1)

1 二尺度小波核LS-SVM的函數(shù)逼近方法

y≈f(x)=f1(x)+f2(x)

(1)

其中，

(2)

定理1 二次規(guī)劃問題式(2)的解為如下方程組解。

(3)

證明利用拉格朗日乘子解二次規(guī)劃問題式(2)，其拉格朗日函數(shù)為

由于式(1)的解在兩個端點(diǎn)是已知的，可以對上述回歸方法進(jìn)行改進(jìn)。令函數(shù)f(x)在區(qū)間[c，d]上連續(xù)，且f(c)=C，f(d)=D。則式(1)的近似解表示為

(4)

其中，

在區(qū)間內(nèi)部設(shè)置訓(xùn)練點(diǎn)集{(xi，yi)|yi=f(xi)，xi∈(c，d)，i=1，2，…，n}，帶入式(4)有：

依照相同的方法可以得到回歸參數(shù)。如果取B(x)≡1，A(x)≡0就是式(2)了。

為了檢驗(yàn)二尺度小波核最小二乘支持向量機(jī)的逼近能力，這里選取文獻(xiàn)[19]中的一個一元函數(shù)的例子，其逼近區(qū)間為[-10，10]。均選取Mexico帽小波，其小波核函數(shù)為

例1

2 二尺度小波核LS-SVM解常微分方程機(jī)制

A(x)和B(x)為已知函數(shù)，分別為

H={f∈C2[c，d]|f(c)=C，f(d)=D}

：

(

r

)=

r

″+

pr

′+

qr

首先采用第一尺度在H空間中尋求問題式(1)的近似解u，即有(u)≈g，將u代入式(1)并化簡得

(5)

其中，

F(x，xj)=B(x)W″(x，xj)+(B)(x)W(x，xj)+

(p(x)B(x)+2B′(x))W′(x，xj)

記E=g-(u)，則第二尺度滿足方程

記

(6)

記Y(xi)=g(xi)-(A)(xi)，(i=1，2，…，N)，引入偏差項(xiàng)將訓(xùn)練點(diǎn)集代入式(5)和式(6)得：

于是參數(shù)回歸問題轉(zhuǎn)化為如下二次規(guī)劃問題：

(7)

定理2 二次規(guī)劃問題式(7)的解為如下方程的解。

(8)

證明式(8)的拉格朗日函數(shù)為

證明方法完全類似于定理1，符號的含義也大部分相同，此處略去。

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

選取2個數(shù)值算例檢驗(yàn)方法的有效性。為了便于比較，兩個算例均有解析解。

表1 數(shù)值模擬結(jié)果Table 1 Numerical simulation results

圖1 N=40例1近似解曲線與誤差曲線Fig. 1 Approximate solution curve and error curve of the example 1 when N=40

圖2 N=40例2近似解曲線與誤差曲線Fig. 2 Approximate solution curve and error curve of the example 2 when N=40

4 結(jié)束語

利用二尺度小波核LS-SVM方法研究了兩點(diǎn)邊值問題的近似解問題，推導(dǎo)了近似解公式。同其他已有的方法相比，方法避免了復(fù)雜微分、積分運(yùn)算，同時近似解為閉式解。采用Mexico 帽小波核函數(shù)，只有兩個尺度參數(shù)為可調(diào)節(jié)參數(shù)，大大減少了計(jì)算量。數(shù)值算例驗(yàn)證了方法求解此類問題是有效的。但是僅對線性兩點(diǎn)邊值情況進(jìn)行了研究，而非線性情況的求解是更為復(fù)雜和繁瑣的問題，下一步將研究利用二尺度小波核LS-SVM求解非線性兩點(diǎn)邊值問題，驗(yàn)證方法的有效性。