線性隨機時變系統(tǒng)的有限時間穩(wěn)定性研究*

余 勇， 吳小太

(1.安徽工程大學 電氣工程學院, 安徽 蕪湖 241000; 2.安徽工程大學 數(shù)理學院, 安徽 蕪湖 241000)

0 引 言

近些年,針對時變系統(tǒng)控制問題的研究越來越受到控制領域?qū)＜业年P注，并成為被廣泛討論的熱門問題之一,研究時變系統(tǒng)的穩(wěn)定性是系統(tǒng)設計的重要問題。Zhou[1]提出了一類線性時變系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性、指數(shù)穩(wěn)定性和一致指數(shù)穩(wěn)定性的充要條件。針對線性時變系統(tǒng)的研究雖然取得了一些進展，但現(xiàn)有的結(jié)果大多局限于線性時變系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。Zhang[2]研究了一類線性時變系統(tǒng)的采樣數(shù)據(jù)控制，根據(jù)比較原理和Halanay不等式，推導了閉環(huán)系統(tǒng)的全局一致指數(shù)穩(wěn)定性和全局一致漸近穩(wěn)定性的新判據(jù)。

在實際生活中的系統(tǒng)，往往會受到一些不可預測的隨機因素影響，如果忽略隨機因素對實際系統(tǒng)的影響，可能會導致建模的系統(tǒng)性能不佳，難以刻畫系統(tǒng)的實際運行狀態(tài)。因此，需要建立隨機線性時變系統(tǒng)模型，并研究其相關性質(zhì)。Wu[3]研究了脈沖非線性隨機系統(tǒng)的輸入狀態(tài)穩(wěn)定性，這里連續(xù)時間動態(tài)系統(tǒng)是時變的，系統(tǒng)在一部分時間區(qū)間上穩(wěn)定，而在其他時間區(qū)間內(nèi)不穩(wěn)定，文中給出了一些基于Lyapunov函數(shù)方法的脈沖隨機非線性系統(tǒng)的充分條件。

Kamenkov[5]在1953年首先提出了有限時間穩(wěn)定性概念，經(jīng)過多年的發(fā)展，關于有限時間穩(wěn)定性研究已取得了大量的結(jié)果[6-13]。Zhou[6]提出了時變系統(tǒng)的隨機時間穩(wěn)定性研究方法，基于線性矩陣不等式的優(yōu)化方法來求解控制增益矩陣;Amato[7]考慮了連續(xù)時間線性系統(tǒng)的有限時間穩(wěn)定，設計了動態(tài)輸出反饋控制器的充分條件，保證了閉環(huán)系統(tǒng)的有限時間穩(wěn)定性。

綜上所述，Zhou[6]提出了一類線性時變系統(tǒng)有限時間穩(wěn)定性的研究方法，并通過線性矩陣不等式方法給出了系統(tǒng)的反饋控制器。然而，該方法并不能用來研究隨機時變系統(tǒng)的有限時間穩(wěn)定性;同時，Amato[11]研究了隨機線性系統(tǒng)的有限時間穩(wěn)定性，但Amato[11]的反饋控制設置并不能很好解決時變系統(tǒng)的反饋控制器設置問題，所給的反饋控制器很難在實際操作中加以應用。因此，本文結(jié)合Zhou[6]逐段分析的方法和隨機分析技巧，研究了隨機線性時變系統(tǒng)的有限時間穩(wěn)定性，并給出了系統(tǒng)反饋控制器的設置方法。

1 相關定義

相關記號：記R={-∞,+∞}，R+=(0,+∞)，P∈Rn×n,P(t)∈Rn×n分別為矩陣與矩陣值函數(shù)。對于矩陣P，P>0表示P為正定矩陣，PT表示矩陣P的轉(zhuǎn)置，λmin(P)和λmax(P)分別表示對稱矩陣P的最小和最大特征值；設P=aij,Q=bij,對任意的i,j=1,2,…，n，有aij≥bij,則稱P≥Q；In表示n維單位矩陣；設ω(t)表示n維標準布朗運動，E(·)表示隨機變量的期望。

研究如下隨機線性時變系統(tǒng)：

dx(t)=A(t)x(t)dt+H(t)x(t)dω(t)

(1)

其中t∈[0,T],T∈R+;x(t)∈Rn，系統(tǒng)狀態(tài)x(t)∈Rn,系統(tǒng)初值x(0)=x0,矩陣值函數(shù)A(t),H(t)∈Rn×n。下面將研究系統(tǒng)式(1)的隨機有限時間穩(wěn)定性，首先給出有限時間穩(wěn)定的定義如下：

定義1[13]假定Φ=[0,T],R∈Rn×m，Γ(·)為正定矩陣。對式(1)，若對于任給的x0與t∈Φ，有

則稱系統(tǒng)式(1)滿足隨機有限時間穩(wěn)定性。

定義2[3]對于函數(shù)V:[0,∞)×Rn→R+，對式(1)定義算子V:[0,∞)×Rn→R，如下：

V

(

t

,

x

(

t

))=

V

t

(

t

,

x

(

t

))+

V

x

(

t

,

x

(

t

))

A

(

t

)

x

(

t

)+

0≤

z

1

,

z

2

≤

z

2 主要結(jié)論

定理1 給定一個初始時刻t0≥0,R∈Rn×n，正定矩陣Γ(t)：[t0,t0+T]→Rn×n，且滿足Γ(t)0;i=0,1,…，r;tr+1=t0+T}為離散時間序列，P(t):[t0,tr+1)→Rn×n為分段連續(xù)矩陣函數(shù)，且滿足:

P(t)=Pi,?t∈[ti,ti+1],i∈{0，1，…，r-1}

若有

(A1) 對于所有t∈[t0,t0+T]，有

P(t)≥Γ(t),P0

(2)

(A2) 對于i∈{0,1,…，r-1}，有

(3)

這里

(4)

(A3) 對于i∈{0,1,…，r-1}，有

成立，則式(1)滿足有限時間穩(wěn)定性。

V(t,x(t))=zT(t)z(t)

(5)

注意到P(t)=Pi,對于?t∈[ti,ti+1]，i∈{0,1,…,r-1},由定義2知，對?t∈[ti,ti+1]，有

由式(4)知

(6)

對式(6)兩邊取期望，可得

(7)

由式(7)，通過簡單整理，可得：

E[U(t,x(t))]≤E[U(ti,x(ti))],t∈[ti,ti+1]

(8)

由式(3)與式(8)，對?t∈[ti,ti+1]，有

E[V(t,x(t))]≤E[V(ti,x(ti))]

(9)

由于假定的Lyapunov函數(shù)滿足分段連續(xù)性，在每一個分段點ti處，函數(shù)可能不連續(xù)。下文將給出V(ti,x(ti))的上界估計。由式(5)，有

(10)

由式(8)，可得

(11)

結(jié)合式(10)和式(11)，有

由V(t,x(t))的定義，對于?i∈{0,1,…，r-1}，有

(12)

對式(12)右邊進行整理

(13)

結(jié)合式(12)和式(13)，即得

在其總結(jié)部分（Ⅰ卷，53頁），委員會報告得出結(jié)論，“過去的連續(xù)運動產(chǎn)生了裂谷的獨特地貌特征……毫無疑問在每種情況下都有強度或大或小地震的作用。1906年4月18日的地震，就是由于這條斷層線上運動復發(fā)的結(jié)果?！保ㄗⅲ河捎谠摂鄬油ǔ０诰€性的、明確的寬為0.8～1.6km的山谷中，報告通常將該斷層帶稱作圣安德烈斯裂谷）。委員會成員對這些地震復發(fā)細節(jié)的關注和信心使他們建立了兩個 “用于測量圣安德烈斯斷層上將來的運動”的小臺陣（Ⅰ卷，152頁）。

E[V(ti,x(ti))]≤E[V(t0,x(t0))]i∈{0,1,…，r-1}

(14)

綜合式(9)和式(14)，有

E[V(t,x(t))]≤E[V(t0,x(t0))] ?t∈[t0,t0+T]

(15)

故由式(2)和(15)，可得

E[xT(t)Γ(t)x(t)]≤E[xT(t)P(t)x(t)]=E[V(t,x(t))]<1

故式(1)滿足隨機有限時間穩(wěn)定性。

3 控制器設計

本節(jié)中，將采用Zhou[6]類似的方法，考慮系統(tǒng)式(1)的控制器設置問題。假定具有反饋控制器的隨機線性時變系統(tǒng)如下：

dx(t)=A(t)x(t)dt+B(t)u(t)dt+H(t)x(t)dω(t)

(16)

狀態(tài)反饋u(t)=K(t)x(t)。

定理2Q(·),L(·)為分段連續(xù)的矩陣值函數(shù)，并且滿足

Q(t)=Qi∈Rn×n,?t∈[ti,ti+1)i∈{0,1,…，r-1}L(t)=Li∈Rn×m,?t∈[ti,ti+1)i∈{0,1,…，r-1}

(17)

假定

則系統(tǒng)式(16)可寫成

dx(t)=Ac(t)x(t)dt+H(t)x(t)dω(t)

這里Ac(t)=A(t)+B(t)L(t)Q-1(t)。若有

(A4) 對于?t∈[t0,t0+T)，有

Q(t)≤Γ-1(t),Q0>R-1

(A5) 對于i∈{0,1,…，r-1}，有

這里

α(s)=λmax(AT(s)+Q-1(s)LT(s)BT(s)+Q(s)A(s)Q(s)+Q-1(s)B(s)L(s)+HT(s)Q-1(s)H(s)Q(s))

(A6) 若α(s)滿足

(A7)Hi滿足

Hi≤δiI

(18)

成立，則隨機線性時變系統(tǒng)式(16)存在隨機有限時間穩(wěn)定的反饋控制器。

證明設Q(t)為分段連續(xù)的函數(shù)值矩陣，且滿足

P(t)=Q-1,?t∈[ti,ti+1),i∈{0,1,…,r-1}

由條件(A4)可知條件(A1)成立。對于?t∈[t0,t0+T],有

所以由條件(A5)可以推出條件(A2)成立。因為Qi，i∈{0,1,…，r-1}正定，能得到

根據(jù)式(18)，可得

(19)

由條件(A6)可以推出條件(A3)成立。于是，由定理1可知，隨機時變線性系統(tǒng)式(16)滿足隨機有限時間穩(wěn)定性。

定理2提供了系統(tǒng)式(16)的控制器設計充分可解條件的存在性。根據(jù)式(17)，如果定理2中的條件能被滿足，則能得到一個狀態(tài)反饋控制器，對于分段連續(xù)常數(shù)L(·)，Q(·)仍然很難實現(xiàn)。因此，下面基于線性矩陣不等式，設計了一類線性隨機時變系統(tǒng)的有限時間穩(wěn)定控制器的算法。

算法設計：

(1) 對于初始時刻t0，選擇t1>t0，求解下列帶有決策變量L0,Q0的LMIs(線性矩陣不等式)。

Q0>R-1Q0≤Γ-1(t),?t∈[t0,t1)A(t)Q0+Q0AT(t)+L0BT(t)+B(t)L0+δ2Q0≤0,?t∈[t0,t1)

(20)

尋找L0,Q0，滿足式(19)，如果式(19)不滿足，則重新選擇t1。

(2) 對于時刻ti，選擇ti+1>ti，求解下列帶有決策變量Li,Qi的LMIs(線性矩陣不等式)。

Qi≤Γ-1(t),?t∈[ti,ti+1)A(t)Qi+QiAT(t)+LiBT(t)+B(t)Li+δ2Qi≤0,?t∈[ti,ti+1)Qi≥RiQi-1

其中

尋找Li,Qi，滿足式(20)，如果式(20)不滿足，則重新選擇ti+1。