多頂點(diǎn)三角形剛性折紙自由度分析*

張銳浩， 張 帆， 莊彥帥， 張玉輝， 王 鋒

(上海工程技術(shù)大學(xué) 機(jī)械與汽車工程學(xué)院， 上海 201620)

0 引 言

折紙是一種古老的藝術(shù)形式，折紙的命名源自日語詞根“ori”和“gami”組合，意思是折疊和紙張,其可以實(shí)現(xiàn)不經(jīng)裁剪和粘接，使二維平面的紙張折疊成三維立體模型[1]。它的運(yùn)動(dòng)是連續(xù)的且一一對(duì)應(yīng)的二維到三維的映射。折紙可分為剛性折紙和非剛性折紙，假設(shè)在折疊過程中，剛性折紙面始終為剛性平面(通常視為連桿)，將折痕視為轉(zhuǎn)軸，則剛性折紙板折疊過程中不發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形等情況。因此，僅由相鄰折疊面的夾角即可決定折紙構(gòu)型。非剛性折紙則不具有這一假設(shè)，認(rèn)為可以在折紙面內(nèi)發(fā)生扭轉(zhuǎn)、彎曲等變形，可產(chǎn)生形變。由于剛性折紙具有結(jié)構(gòu)巧妙、易于折疊等優(yōu)點(diǎn)，越來越受到工程師們的關(guān)注。例如航天工程中的太陽能陣列[2-3], 在日常生活領(lǐng)域有可折疊餐具[4], 直升機(jī)[5]等。為了探索折紙的原理，從而使折紙結(jié)構(gòu)發(fā)展出更多的結(jié)構(gòu)，越來越多的學(xué)者用數(shù)學(xué)來揭示其中的原理。

在折紙運(yùn)動(dòng)學(xué)的研究中，Kawasaki’s提出了單頂點(diǎn)可以平折時(shí)夾角之間的基本理論，Maekawa’s提出了山谷折痕分布理論，這兩個(gè)基本理論成為折紙的基本定理。數(shù)值算法[6]、四元數(shù)法和矩陣法[7]等被用來分析剛性折紙的可折疊性。Hull[8]研究了單頂點(diǎn)折紙折痕圖案能夠剛性折疊的一個(gè)內(nèi)在充要條件，為剛性折紙圖案拓?fù)浜蛻?yīng)用分析奠定了基礎(chǔ)。BERRY M等[9]在非歐幾里德空間，提出運(yùn)動(dòng)高斯曲率的方法研究折紙運(yùn)動(dòng)空間。得出了有向頂點(diǎn)的構(gòu)形空間與高斯曲率的關(guān)系。吳和游[9]分別用四元素法和雙四元素法建立了折紙機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)模型，分析了單頂點(diǎn)或多頂點(diǎn)的折紙圖案的平面折疊性，并判斷了折紙?jiān)谡郫B過程的自相交性。但是判斷折紙機(jī)構(gòu)自由度的方法還是比較少，蔡建國(guó)等[11]在剛性折紙機(jī)構(gòu)的自由度的研究中，建立了折紙機(jī)構(gòu)的系統(tǒng)約束方程，并從雅克比矩陣的零空間中計(jì)算出了剛性折紙機(jī)構(gòu)的自由度，但是其研究存在局限性，若是機(jī)構(gòu)中存在冗余自由度時(shí)，方法不再適用。同時(shí)其方法的計(jì)算過程較為復(fù)雜。

然而，利用鄰接矩陣的方法計(jì)算剛性折紙機(jī)構(gòu)的自由度，可以簡(jiǎn)化多頂點(diǎn)剛性折紙機(jī)構(gòu)自由度的運(yùn)算。首先，介紹剛性折紙的基本條件和基本定理；然后，以計(jì)算單頂點(diǎn)剛性折紙機(jī)構(gòu)自由度為基礎(chǔ)，拓?fù)涞蕉囗旤c(diǎn)三角形剛性折紙自由度的計(jì)算。通過折痕與折痕之間的關(guān)系，建立鄰接矩陣并通過矩陣變換計(jì)算剛性折紙機(jī)構(gòu)的自由度；最后，通過軟件建模和仿真驗(yàn)證鄰接矩陣方法計(jì)算的準(zhǔn)確性。

1 折紙基本理論

折紙藝術(shù)因其能直觀展示如何利用折紙來生成連續(xù)但有區(qū)別的圖形，而廣泛受到人們的關(guān)注。折紙的折疊過程是連續(xù)變化的，且能反應(yīng)折紙圖案從二維到三維的映射。折紙圖案由一系列的折痕圖案組成，包括向上凸起的山折痕(實(shí)線)和向下凹陷的谷折痕(虛線)，折紙圖案的剛性可折疊性是由一系列的山折痕和谷折痕組合而成，其組合對(duì)平折折紙的折疊性起關(guān)鍵性作用。以下介紹折紙的一些基本理論，包括平折的必要條件，有效的山谷折痕分配條件[12-14]。

Kawasaki’s定理1 單個(gè)頂點(diǎn)周圍的交替角度之和是π，如圖1所示。

圖1 具有n條折痕的單頂點(diǎn)的折痕圖案

Kawasaki’s定理2 對(duì)于相鄰的折痕夾角α1、α2、α3…α2n，假設(shè)α2n為其中的最小角，則圍成最小角度的折痕必須由一條山折痕和一條谷折痕組成。

Maekawa’s定理山折痕(M)與谷折痕(V)之差為±2，即：

M-V=±2

單頂點(diǎn)折痕所圍成的角度之和為2π，如圖1所示的單頂點(diǎn)折痕為

α1+α2+α3+…+α2n=2π

2 單一頂點(diǎn)折紙機(jī)構(gòu)自由度研究

在剛性折紙的研究過程中，剛性折紙的折痕視為旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)或轉(zhuǎn)動(dòng)副，剛性紙板則視為連桿(如圖2所示)。在單頂點(diǎn)的自由度分析中，無論折痕數(shù)多少，單頂點(diǎn)剛性折紙?jiān)诳臻g上總是具有3個(gè)方向的共同約束力，因此等效機(jī)構(gòu)的秩d為3，根據(jù)修改的G-K自由公式[16-17]:

其中，M是機(jī)構(gòu)的自由度，d為機(jī)構(gòu)的秩，n為包括機(jī)架在內(nèi)的構(gòu)件數(shù)，g為運(yùn)動(dòng)副數(shù)，fi為運(yùn)動(dòng)副的自由度，v為多回路并聯(lián)機(jī)構(gòu)在去掉公共約束后的冗余約束數(shù)，z是機(jī)構(gòu)的局部自由度數(shù)。

圖2 單一頂點(diǎn)4折痕機(jī)構(gòu)

然而，在分析單頂點(diǎn)剛性折紙的自由度時(shí)，n為剛性面的面數(shù)(桿件數(shù))，g為折痕數(shù)，fi為1(通常為轉(zhuǎn)動(dòng)副)，v和z都為0(一般的單頂點(diǎn)剛性折紙沒有冗余自由度和局部自由度)。單頂點(diǎn)剛性折紙頂點(diǎn)可以分為邊界頂點(diǎn)和非邊界頂點(diǎn)，對(duì)于非邊界頂點(diǎn)其自由度計(jì)算公式為

M=m-3

(1)

其中，M為自由度數(shù)，m為折痕數(shù)，例如圖2所示單頂點(diǎn)4折痕剛性折紙自由度為M=4-3=1。

對(duì)于邊界頂點(diǎn)其自由度計(jì)算公式如下:

M=m-2

(2)

其中，M為自由度數(shù)，m為圍繞此頂點(diǎn)的折痕數(shù)。

3 多頂點(diǎn)剛性折紙機(jī)構(gòu)

對(duì)于多頂點(diǎn)剛性折紙機(jī)構(gòu)而言，為了實(shí)現(xiàn)折紙的剛性折疊性，每個(gè)頂點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)必須與其相鄰的頂點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)兼容不發(fā)生干涉。然而，相較于單頂點(diǎn)剛性折紙機(jī)構(gòu)，多頂點(diǎn)剛性折紙機(jī)構(gòu)獲得這樣的運(yùn)動(dòng)特性是比較難得到的，多頂點(diǎn)剛性折紙機(jī)構(gòu)可以實(shí)現(xiàn)剛性折疊的圖案是比較少的。因此，分析多頂點(diǎn)剛性折疊機(jī)構(gòu)的自由度是非常有必要的。

利用鄰接矩陣方法，分析多頂點(diǎn)三角形剛性折紙圖案的自由度，其由單頂點(diǎn)4折痕折紙圖案拓?fù)涞玫?，其圖形如圖3所示，因其滿足平折折紙定理(3個(gè)頂點(diǎn)中的任意單一頂點(diǎn)都滿足上述平折的必要條件，有效的山谷折痕分配條件)和折紙乘數(shù)的積為1[6]等條件而可剛性折疊。對(duì)于多頂點(diǎn)三角形折紙圖案而言，并不是所有的折紙圖案都可以剛性折疊，如圖4所示，圖4(a)和圖4(b)為兩種不可剛性折疊情況，已被證明不可嚴(yán)格剛性折疊[18]，雖然滿足山谷折痕分布和平折折紙定理，但是因存在 3對(duì)相互平行的邊而不滿足折紙乘數(shù)的積為1的條件而不可剛性折疊。

圖3 多頂點(diǎn)三角形剛性折紙圖案

(a)

(b)

在多頂點(diǎn)三角形折紙圖案可剛性折疊的情況下，利用鄰接矩陣分析其自由度。鄰接矩陣直觀展現(xiàn)了頂點(diǎn)之間的連接關(guān)系。首先，將多頂點(diǎn)三角形折紙圖案封閉，即添加邊界，添加邊界后的圖案如圖5 所示，并將頂點(diǎn)由1～9逆時(shí)針編號(hào)，其中1、2、3為非邊界頂點(diǎn)，4～9為邊界頂點(diǎn)。則建立的鄰接矩陣C0為

矩陣中“1”表示頂點(diǎn)與頂點(diǎn)之間相連，即存在折痕則記為“1”，不相連則為“0”，從矩陣中的每一行或列可以知道每一個(gè)頂點(diǎn)有幾條折痕圍成(例如頂點(diǎn)1有4條折痕)。由于矩陣為對(duì)稱陣，因此分析時(shí)只分析行或列即可。

圖5 多頂點(diǎn)三角形剛性折紙邊界添加圖

通過引入變量Di(i=0,1,2,3，…，9)確定每頂點(diǎn)實(shí)現(xiàn)確定運(yùn)動(dòng)所需要的驅(qū)動(dòng)，驅(qū)動(dòng)的添加選擇從非邊界頂點(diǎn)1開始，依次添加驅(qū)動(dòng)(也可以選擇從2或3開始，但只能從非邊界頂點(diǎn)1、2、3開始)。當(dāng)鄰接矩陣為C0時(shí)，變量D0=0(此時(shí)并未添加驅(qū)動(dòng)到折紙機(jī)構(gòu)中)，由式(1)和鄰接矩陣C0可以計(jì)算得非邊界頂點(diǎn)1所需的驅(qū)動(dòng)為4-3=1，則鄰接矩陣由C0變?yōu)镃1：

此時(shí)矩陣C1中的“1”表示未有確定運(yùn)動(dòng)的折痕數(shù)(與矩陣C0中的“1”的含義不同),即此折痕未有確定的輸入驅(qū)動(dòng)(角度變量)。當(dāng)非邊界頂點(diǎn)1輸入了確定的驅(qū)動(dòng)，鄰接矩陣C1中的第一列和第一行中的“1”變?yōu)椤?”。鄰接矩陣由C0變到C1引入消元矩陣Ej,n，消元矩陣[10]的表示如下：

消元矩陣是n×n的矩陣，在矩陣中的第j行和第j列中的元素都為0，對(duì)角線上的元素為1，左乘矩陣Ej,n使得Ci的第j行中的元素都為0，右乘矩陣Ej,n使得Ci的第j列中的元素都為0，其變換如下所示:

Ci+1=Ej,nCiEj,n

同時(shí)變量由D0變?yōu)镈1，D1=D0+1=1(1表示需要添加的驅(qū)動(dòng)或角度變量)。

然后，繼續(xù)對(duì)非邊界頂點(diǎn)2添加驅(qū)動(dòng)，由式(1)和鄰接矩陣C1得非邊界頂點(diǎn)2需要添加的驅(qū)動(dòng)為 3-3=0，其中第一個(gè)“3”為C1中第2行的元素和。此時(shí)的鄰接矩陣C2為

同時(shí)變量由D1變?yōu)镈2,則D2=D1+0=1。

然后繼續(xù)對(duì)非邊界頂點(diǎn)3添加驅(qū)動(dòng)，由式(1)和鄰接矩陣C2得非邊界頂點(diǎn)3需要添加的驅(qū)動(dòng)為 2-3<0，其中的“2”為C2中第3行的元素和(若存在非邊界頂點(diǎn)行元素和小于或等于3，則需要添加的驅(qū)動(dòng)為0)。此時(shí)的鄰接矩陣C3為

同時(shí)變量由D2變?yōu)镈3,則D3=D2+0=1。

由上述計(jì)算可得非邊界頂點(diǎn)1、2、3需要的總驅(qū)動(dòng)數(shù)量Me=D3=1。

下面計(jì)算邊界頂點(diǎn)所需要的驅(qū)動(dòng)數(shù)，邊界頂點(diǎn)需要的總驅(qū)動(dòng)數(shù)Mb計(jì)算如下：

(3)

其中，b為非分邊界頂點(diǎn)數(shù)，n為圖形的總頂點(diǎn)數(shù)，rb(j)為最后一個(gè)非邊界頂點(diǎn)添加驅(qū)動(dòng)后的鄰接矩陣中的第j行的和。

由鄰接矩陣C3和式(3)可以得到多頂點(diǎn)三角形剛行折紙圖案邊界頂點(diǎn)需要添加的總驅(qū)動(dòng)數(shù)為

可以發(fā)現(xiàn)鄰接矩陣C3中第4行至第9行每一行的和都是2，則由式(7)可得邊界頂點(diǎn)需要的約束為Mb= 0。最后，計(jì)算得到多頂點(diǎn)三角形剛性折紙機(jī)構(gòu)的自由度:M=Me+Mb=1。

4 模擬仿真

通過Adams軟件的建模仿真功能，建立多頂點(diǎn)三角形剛性折紙圖案，建模過程中，剛性折紙的折痕視為旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)(細(xì)線表示)，剛性紙板則視為連桿。連桿與連桿之間由旋轉(zhuǎn)副連接，通過約束的方式使連桿與連桿僅存在轉(zhuǎn)動(dòng)自由度。多頂點(diǎn)三角形剛性折紙圖案的三維建模圖形如圖6所示。

在完成建模的基礎(chǔ)上，為模型添加驅(qū)動(dòng)，模型的驅(qū)動(dòng)添加數(shù)為上述計(jì)算結(jié)果，模型僅需添加一個(gè)驅(qū)動(dòng)。然后，執(zhí)行仿真運(yùn)行步驟，看能否完成剛性折疊過程。

多頂點(diǎn)三角形剛折紙運(yùn)動(dòng)模型完成了從初始平折到完全折疊的運(yùn)動(dòng)過程，結(jié)果如圖7所示，機(jī)構(gòu)僅添加一個(gè)驅(qū)動(dòng)即可完成所需的折疊運(yùn)動(dòng)(驅(qū)動(dòng)添加圖如圖8所示)，運(yùn)動(dòng)過程并無奇異位形，若添加多個(gè)驅(qū)動(dòng)則可能會(huì)產(chǎn)生冗余驅(qū)動(dòng)。仿真結(jié)果驗(yàn)證了多頂點(diǎn)三角形剛性折紙的自由度為1的結(jié)論是正確的。

圖7 多頂點(diǎn)三角形剛性折紙圖案的運(yùn)動(dòng)完成折疊

圖8 多頂點(diǎn)三角形剛性折紙圖案的折疊驅(qū)動(dòng)添加

5 結(jié)束語

在剛性折紙的平折條件和峰谷分配的條件等條件下，以分析單頂點(diǎn)4折痕的剛性折紙自由度為基礎(chǔ)，拓?fù)涞蕉囗旤c(diǎn)三角形剛性折紙自由度分析，通過鄰接矩陣的方法分析多頂點(diǎn)三角形剛性折紙的自由度，該方法具有運(yùn)算簡(jiǎn)單、表達(dá)直觀的優(yōu)點(diǎn)。頂點(diǎn)之間的關(guān)系用鄰接矩陣表示，便于計(jì)算機(jī)運(yùn)算和矩陣變換。通過引入消元矩陣，用矩陣乘法描述了確定運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的過程，通過矩陣變換簡(jiǎn)化了折紙圖案中的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)表示。最后通過軟件仿真驗(yàn)算其計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性。