情境模式下的數(shù)學(xué)知識(shí)串講

黃王華

單元整體教學(xué)，打破知識(shí)結(jié)構(gòu)原有的禁錮。針對(duì)廣東中考取消了考試大綱，深度挖掘教材的思想方法，一元二次方程的應(yīng)用是歷年廣東中考的熱點(diǎn)問(wèn)題，而對(duì)于課本習(xí)題中的圍欄問(wèn)題也是一元二次方程與幾何圖形的結(jié)合綜合性較強(qiáng)的小壓軸題，基于單元整體教學(xué)的方式，本教學(xué)案例特利用情境模式對(duì)一元二次方程應(yīng)用問(wèn)題進(jìn)行一系列的知識(shí)串講，讓學(xué)生在整體上把握一元二次方程的應(yīng)用的解題思路，形成整體感觀。同時(shí)在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透勞動(dòng)教育思想，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)源于生活，更要服務(wù)于生活，逐步從學(xué)數(shù)學(xué)到用數(shù)學(xué)的過(guò)程。

一元二次方程的應(yīng)用——圍欄問(wèn)題的分析教學(xué)設(shè)計(jì)

課標(biāo)表述?????? 學(xué)習(xí)內(nèi)容?????? 具體要求?????? 學(xué)習(xí)水平

抽象出實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，布列一元二次方程，運(yùn)用一元二次方程的解法求得方程的解（根），進(jìn)而解決實(shí)際問(wèn)題，是一元二次方程的中心問(wèn)題，要進(jìn)一步深化數(shù)學(xué)的模型思想。????? 一元二次方程的解法? 會(huì)運(yùn)用適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠蹋ㄖ苯娱_方法、配方法、公式法、因式分解法）? C

會(huì)運(yùn)用根的差別式判斷方程是否有根????????? C

一元二次方程的應(yīng)用模型???? 能理解、運(yùn)用實(shí)際問(wèn)題中的幾何構(gòu)圖模型??? B、C

能理解、運(yùn)用實(shí)際問(wèn)題與數(shù)學(xué)模型之間的轉(zhuǎn)化運(yùn)用 B、C

能理解、運(yùn)用一元二方程根的實(shí)際意義?????? B、C

能綜合運(yùn)用一元二次方程思想構(gòu)建函數(shù)問(wèn)題 B、C、D

序號(hào)??? 知識(shí)與技能目標(biāo)??????? 學(xué)習(xí)水平

1??????? 會(huì)運(yùn)用適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠蹋ㄖ苯娱_方法、配方法、公式法、因式分解法）?????? □識(shí)記（A）□理解（B）

運(yùn)用（C）□綜合（D）

2??????? 會(huì)運(yùn)用根的差別式判斷方程是否有根????????? □識(shí)記（A）□理解（B）

運(yùn)用（C）□綜合（D）

3??????? 能理解、運(yùn)用實(shí)際問(wèn)題中的幾何構(gòu)圖模型??? □識(shí)記（A）理解（B）

運(yùn)用（C）□綜合（D）

4??????? 能理解、運(yùn)用一元二方程根的實(shí)際意義?????? □識(shí)記（A）理解（B）

運(yùn)用（C）□綜合（D）

5??????? 能綜合運(yùn)用一元二次方程思想構(gòu)建函數(shù)問(wèn)題 □識(shí)記（A）理解（B）

運(yùn)用（C）綜合（D）

序號(hào)??? 過(guò)程與方法目標(biāo)??????? 能力水平

1??????? 由一元二次方程實(shí)際問(wèn)題抽象幾何模型?????? 運(yùn)算求解推理論證空間想象

數(shù)學(xué)表達(dá)數(shù)據(jù)處理數(shù)學(xué)建模

2??????? 由幾何模型還原對(duì)生活進(jìn)行服務(wù)????? 運(yùn)算求解推理論證空間想象

數(shù)學(xué)表達(dá)數(shù)據(jù)處理□數(shù)學(xué)建模

序號(hào)??? 情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)??????? 育人價(jià)值的視角

1??????? 通過(guò)對(duì)一元二次方程的應(yīng)用構(gòu)建模型，體會(huì)從直觀感到理性說(shuō)理的的探究歷程，體驗(yàn)一元二次方程在實(shí)際生活中的應(yīng)用，形成數(shù)學(xué)說(shuō)理的意識(shí)?? 數(shù)學(xué)與理性數(shù)學(xué)與思維

數(shù)學(xué)與方法數(shù)學(xué)與美學(xué)

數(shù)學(xué)與社會(huì)

2??????? 在探究建模的過(guò)程中，積累數(shù)對(duì)實(shí)際問(wèn)題產(chǎn)生的影響，體會(huì)嚴(yán)謹(jǐn)、準(zhǔn)確和簡(jiǎn)明地開展數(shù)學(xué)活動(dòng)的的重要意義，提高數(shù)學(xué)思維的品質(zhì)? 數(shù)學(xué)與理性數(shù)學(xué)與思維

數(shù)學(xué)與方法數(shù)學(xué)與美學(xué)

數(shù)學(xué)與社會(huì)

活動(dòng)主題?????? 一元二次方程的應(yīng)用與二次函數(shù)最值問(wèn)題----圍欄問(wèn)題的實(shí)際探討

活動(dòng)目標(biāo)?????? 經(jīng)歷由一元二次方程的應(yīng)用“操作實(shí)驗(yàn)---歸納總結(jié)---說(shuō)理驗(yàn)證”的探究過(guò)程，體會(huì)數(shù)學(xué)建模思想，體會(huì)直觀感知與理性思考的聯(lián)系和區(qū)別，懂得直觀觀察結(jié)論需說(shuō)理論證，發(fā)展推理能力;體驗(yàn)解決問(wèn)題方法的多樣性，養(yǎng)成積極探究的態(tài)度、獨(dú)立思考的習(xí)慣和團(tuán)隊(duì)全作的意識(shí)

活動(dòng)任務(wù)?????? 任務(wù)：（六人小組合作，每個(gè)小組提前準(zhǔn)備直尺、三角尺、量角器與20m長(zhǎng)的籬笆）

1.小組合作，制定20m長(zhǎng)籬笆圍矩形花圃方案;

2.如何使材料盡用，面積最大;

3.如何利用好實(shí)際的條件限制數(shù)據(jù);

背景說(shuō)明?????? 為獲得足夠的花卉順利進(jìn)行生物實(shí)驗(yàn)，茶山中學(xué)生物老師鄒裕容老師聯(lián)系學(xué)校總務(wù)處，準(zhǔn)備利用課外時(shí)間在學(xué)校圍墻外開辟一塊矩形地方，種植生物實(shí)驗(yàn)所需的一些花卉植物，請(qǐng)同學(xué)們利用自己所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)（一元二次方程）及函數(shù)的最值問(wèn)題幫鄒裕容老師解決一些實(shí)際問(wèn)題。

【教材原題呈現(xiàn)】（人教版九年級(jí)上冊(cè)P25，綜合運(yùn)用第8題）如圖，利用一面墻（墻的長(zhǎng)度不限），用20m長(zhǎng)的籬笆，怎樣圍成一個(gè)面積為32m2的矩形花圃區(qū)？ （數(shù)據(jù)有變）

【數(shù)學(xué)建模】解：如圖，設(shè)AB=xm則CD=xm，BC=AD=（20-2x）m，

依題可列：x（20-2x）=32

解得：x2-10x+16=0，（x-2）（x-8）=0，x1=2，x2=8

當(dāng)x=2時(shí)，BC=20-2x=20-2╳2=16m

當(dāng)x=8時(shí)，BC=20-2x=20-2╳8=4m

答：垂直墻的長(zhǎng)度為2米，平行墻的長(zhǎng)度為16米或垂直墻的長(zhǎng)度為8米，平行墻的長(zhǎng)度為4米時(shí)可以圍成一個(gè)面積為32m2的矩形花圃區(qū)。

【說(shuō)? 明】此類題，學(xué)生在設(shè)未知數(shù)的表達(dá)上比較模糊，常見(jiàn)錯(cuò)誤直接設(shè)長(zhǎng)為xm，這樣不方便表達(dá)，因?yàn)殚L(zhǎng)與寬是一個(gè)相對(duì)的概念，所以建模時(shí)把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何圖形、數(shù)學(xué)符號(hào)化的表達(dá)。

【問(wèn)題1】此時(shí)有同學(xué)說(shuō)太小了，能不能圍成一個(gè)面積為54 m2的矩形花圃區(qū)呢？

【解? 答】解：如圖，設(shè)AB=xm則CD=xm，BC=AD=（20-2x）m，依題可列：

x（20-2x）=54

解得： x2-10x+27=0? ∵△=102-4╳1╳27=100-108<0? ∴此方程無(wú)實(shí)數(shù)根

答：不能圍成一個(gè)面積為54的矩形m2的矩形花圃區(qū).

【問(wèn)題2】此時(shí)又有同學(xué)提出建議，沒(méi)有門，進(jìn)出不方便，如果建一個(gè)寬1m的門，怎樣設(shè)計(jì)才能圍成一個(gè)面積為32m2的矩形花圃區(qū)呢？

【解? 答】解：如圖，設(shè)AB=xm則CD=xm，BC=AD=（20+1-2x）m，依題可列：

x（20+1-2x）=32

解得： 2x2-21x+32=0? ∵△=212-4╳2╳32=441-256=185

∴x=? ∴x1=8.56?? ∴x2=1.85

當(dāng)x=8.56時(shí)，BC=21-2x=21-2╳8.56=3.88m

當(dāng)x=1.85時(shí)，BC=21-2x=21-2╳1.85=17.3m

答：垂直墻的長(zhǎng)度為8.56米，平行墻的長(zhǎng)度為3.88米或垂直墻的長(zhǎng)度為1.85米，平行墻的長(zhǎng)度為17.3米時(shí)可以圍成一個(gè)面積為32m2的矩形花圃區(qū).

【問(wèn)題3】此時(shí)有同學(xué)說(shuō)這樣會(huì)不會(huì)圍的面積太小了，沒(méi)有盡量使用20米的籬笆，如果場(chǎng)地夠用，建一個(gè)寬1m的門，最大可以圍成多大面積的矩形花圃區(qū)呢？

【解? 答】解：如圖，設(shè)AB=xm則CD=xm，BC=AD=（20+1-2x）m，依題可列：

S= x（20+1-2x）= -2x2+21x

令S=0時(shí)，x1=0，x2=，所以對(duì)稱軸為x=

∴當(dāng)x =時(shí)，S最大值=（21-2╳）=55.125 m2

∴當(dāng)x =，BC=20+1-2x=

答：垂直墻的長(zhǎng)度為米，平行墻的長(zhǎng)度為米，最大可以圍成多大面積為55.125 m2的矩形花圃區(qū).

【問(wèn)題4】同學(xué)們?cè)谟懻摰貌畈欢嗔耍蠹規(guī)Ш霉ぞ咔巴さ?，?zhǔn)備施工，卻發(fā)現(xiàn)，場(chǎng)地受限，圍墻的長(zhǎng)度最多只有10米可用，同學(xué)們感覺(jué)到之前計(jì)算討論的結(jié)果被現(xiàn)實(shí)困住了，接下來(lái)同學(xué)們放下工具，重新考慮場(chǎng)地受限的條件。（補(bǔ)現(xiàn)場(chǎng)圖片）

如圖，利用一面墻（墻的長(zhǎng)度不能超過(guò)10米），用20m長(zhǎng)的籬笆，怎樣圍成一個(gè)面積為32m2的矩形花圃區(qū)？

【解? 答】解：如圖，設(shè)AB=xm則CD=xm，BC=AD=（20-2x）m，依題可列：

x（20-2x）=32

解得： x2-10x+16=0，（x-2）（x-8）=0，x1=2，x2=8

當(dāng)x=2時(shí)，BC=20-2x=20-2╳2=16m>10m，不符合題意，舍去

當(dāng)x=8時(shí)，BC=20-2x=20-2╳8=4m

答：垂直墻的長(zhǎng)度為8米，平行墻的長(zhǎng)度為4米時(shí)可以圍成一個(gè)面積為32m2的矩形花圃區(qū).

【問(wèn)題5】如圖，利用一面墻（墻的長(zhǎng)度不能超過(guò)10米），用20m長(zhǎng)的籬笆，如果場(chǎng)地夠用，建一個(gè)寬1m的門，最大可以圍成多大面積的矩形花圃區(qū)呢？

【解? 答】解：如圖，設(shè)AB=xm則CD=xm，BC=AD=（20+1-2x）m，依題可列：

S= x（20+1-2x）= -2x2+21x=-2（x-）2+

∵x>0， 20+1-2x≤10? ∴x≥5.5

∴當(dāng)x=5.5時(shí)，S最大值=5.5（21-2╳5.5）=55 m2

此時(shí)當(dāng)x=5.5時(shí)，BC=21-2x=21-2╳5.5=10m

答：垂直墻的長(zhǎng)度為5.5米，平行墻的長(zhǎng)度為10米，最大可以圍成多大面積為55 m2的矩形花圃區(qū).

【動(dòng)手實(shí)踐】在同學(xué)們經(jīng)過(guò)集體討論，驗(yàn)證的基礎(chǔ)上，得出實(shí)踐的操作方式，做到材料盡用，適用性面積最大化，垂直墻的長(zhǎng)度為5.5米，平行墻的長(zhǎng)度為10米制作矩形花圃區(qū)，同學(xué)們分小組合作作，一部分同學(xué)建花圃，一部分同學(xué)開始松土、除草等勞動(dòng)工序。

活動(dòng)反思?????? 整個(gè)活動(dòng)中，學(xué)生以小組合作的形式進(jìn)行項(xiàng)目式問(wèn)題遞進(jìn)的的探索與研究，同學(xué)們從實(shí)際生活的便利性、適用性、合理性等方面進(jìn)行考慮。再根據(jù)一元二次方程的應(yīng)用，構(gòu)建具體的可操作數(shù)學(xué)模型，進(jìn)行科學(xué)有效的論證，再到實(shí)踐中的具體問(wèn)題進(jìn)行問(wèn)題的拓展，得到合理的解決問(wèn)題的方法。后續(xù)將利用信息技術(shù)的融合，把活動(dòng)制作成視頻，利用視頻進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)的勘探，把數(shù)學(xué)服務(wù)實(shí)際生活的勞動(dòng)場(chǎng)面制作成視頻，作為一份寶貴的的資源供其它同學(xué)參考學(xué)習(xí)，增加學(xué)生的研究興趣，同時(shí)也能增加數(shù)學(xué)學(xué)科的育人功能。

【案例點(diǎn)評(píng)】

這節(jié)數(shù)學(xué)課的設(shè)計(jì)體現(xiàn)了高品質(zhì)課堂----高尚、本真、靈動(dòng)、豐厚的基本要素，又符合我校“勞動(dòng)教育”的生命課堂，從課堂走向課外，再?gòu)恼n外實(shí)踐走向課堂，再由課堂服務(wù)課外生活。

1.項(xiàng)目式背景，問(wèn)題驅(qū)動(dòng)

本節(jié)數(shù)學(xué)課利用生物實(shí)驗(yàn)需要的花卉培植入手去，設(shè)計(jì)矩形花圃為背景，項(xiàng)目式的構(gòu)建數(shù)學(xué)問(wèn)題，由解決問(wèn)題的層層深入，思考的逐步完善，而面對(duì)的生活中的實(shí)際數(shù)學(xué)問(wèn)題，使得數(shù)學(xué)問(wèn)題有血有肉，有感情。并在數(shù)學(xué)教育中滲透勞動(dòng)教育思想，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)源自生活，服務(wù)于生活，為我們的更好的品質(zhì)生活去服務(wù)。

2.數(shù)學(xué)思想方法運(yùn)用得當(dāng)

學(xué)生經(jīng)歷了情境問(wèn)題的依托，經(jīng)歷了從課堂到課外，再?gòu)恼n外到課堂，再?gòu)恼n堂到課外的探究過(guò)程。通過(guò)探究，學(xué)生對(duì)一元二次方程構(gòu)建數(shù)學(xué)模型有了充分的認(rèn)識(shí)，并會(huì)利用單元整體的數(shù)學(xué)思想對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)問(wèn)題進(jìn)行串聯(lián)學(xué)習(xí)，從而完成了從課程評(píng)價(jià)到課程目標(biāo)，課程過(guò)程實(shí)施的逆向思維過(guò)程，讓過(guò)程更好的為評(píng)價(jià)服務(wù)。在教材處理上，既尊重了教材，又開發(fā)了教材。特別是學(xué)生根據(jù)自己的想法，給問(wèn)題設(shè)定了一定的限定條件，從而很好的解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。

3.教學(xué)設(shè)計(jì)獨(dú)具匠心

本教學(xué)設(shè)計(jì)知識(shí)體系清晰，設(shè)計(jì)思路新穎。從背景導(dǎo)入，問(wèn)題逐步升級(jí)，層層遞進(jìn)，步步深入。特別是學(xué)生問(wèn)題由一元二次方程的應(yīng)用問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值問(wèn)題的過(guò)渡，為學(xué)生深層次的掌握二次函數(shù)的最值問(wèn)題探討做了很好切入，這種打破常規(guī)的教學(xué)思路，讓人耳目一新。

4.學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)得到了很大的提升

教學(xué)是開放的，學(xué)生學(xué)習(xí)是自主的、合作交流的。由項(xiàng)目式問(wèn)題背景，問(wèn)題驅(qū)動(dòng)為導(dǎo)向，這樣有利于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。學(xué)生展示也是多樣性的，在展示過(guò)程中學(xué)生的思維在層層遞進(jìn)。學(xué)生經(jīng)歷上課堂的參與，從經(jīng)歷獨(dú)立的冥思苦想到經(jīng)歷合作交流的激情碰撞，加深了對(duì)問(wèn)題的理解，提升了分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力。