基于學(xué)科核心能力考查談“半定量”計(jì)算問題

摘 要：2021年高考全國甲卷理科綜合物理試題重視考查考生應(yīng)用數(shù)學(xué)工具處理物理問題的核心能力，同時(shí)也突出考查考生高效處理“半定量”計(jì)算問題的數(shù)學(xué)處理能力，而這是廣大教師平時(shí)教學(xué)中極易忽視的內(nèi)容，建議教師要加強(qiáng)對(duì)“半定量” 計(jì)算問題的研究，重視培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)估算能力.

關(guān)鍵詞：高考試題剖析;“半定量”計(jì)算問題;處理方法;學(xué)科核心能力

中圖分類號(hào)：G633.7???? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B???? 文章編號(hào)：1008-4134（2021）19-0054-03

作者簡(jiǎn)介：鄧賢彬（1973-），男，四川資中人，本科，中學(xué)高級(jí)教師，研究方向：高中物理教學(xué).

物理學(xué)科明確提出高考時(shí)著重考查學(xué)生的五大核心能力，其中之一就是應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問題的能力[1].遍觀近幾年高考物理試題，對(duì)計(jì)算能力的考查有所加強(qiáng)，特別是2021年高考全國甲卷理科綜合物理試題，選擇題計(jì)算化的傾向特別突出，幾乎每道題都要通過計(jì)算才能得出正確選項(xiàng)，從開頭運(yùn)算到結(jié)尾，學(xué)生要在本學(xué)科規(guī)定的幾十分鐘時(shí)間內(nèi)做完物理試題難度較大，這也是許多考生“懼怕”作答物理試題的原因.

筆者發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)教師在平時(shí)的教學(xué)中，對(duì)于計(jì)算問題往往過多強(qiáng)調(diào)學(xué)生要一步一步地準(zhǔn)確計(jì)算出結(jié)果，以便通過嚴(yán)格訓(xùn)練培養(yǎng)學(xué)生良好的計(jì)算習(xí)慣和精準(zhǔn)的計(jì)算能力，卻忽略或者忽視對(duì)學(xué)生估算能力的培養(yǎng)，造成學(xué)生把只需要通過適當(dāng)估算就能選出答案的題作為計(jì)算題按部就班處理，不僅浪費(fèi)了大量時(shí)間同時(shí)也增加了犯錯(cuò)的幾率，事倍功半.教師在教學(xué)活動(dòng)中培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)計(jì)算能力固然應(yīng)該，但有意識(shí)地總結(jié)、歸納“半定量”計(jì)算問題的解題技巧和方法，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)的數(shù)學(xué)估算能力也是必不可少的，這也是高考物理考查學(xué)生必備的數(shù)學(xué)能力之一.本文以2021年高考全國甲卷理科綜合物理試題為例，談?wù)勗囶}的“半定量”計(jì)算問題，以引起大家注意和足夠的重視.

1 2021年高考全國甲卷試題剖析

摘取2021年高考全國甲卷理科綜合物理試題如下.

15.“旋轉(zhuǎn)紐扣”是一種傳統(tǒng)游戲.如圖1，先將紐扣繞幾圈，使穿過紐扣的兩股細(xì)繩擰在一起，然后用力反復(fù)拉繩的兩端，紐扣正轉(zhuǎn)和反轉(zhuǎn)會(huì)交替出現(xiàn).拉動(dòng)多次后，紐扣繞其中心的轉(zhuǎn)速可達(dá)50r/s，此時(shí)紐扣上距離中心1cm處的點(diǎn)向心加速度大小約為

A.10m/s2??? B. 100m/s2

C.1000m/s2? D.10000m/s2

18.2021年2月，執(zhí)行我國火星探測(cè)任務(wù)的“天問一號(hào)”探測(cè)器在成功實(shí)施三次近火制動(dòng)后，進(jìn)入運(yùn)行周期約為1.8×105s的橢圓形停泊軌道，軌道與火星表面的最近距離約為2.8×105m.已知火星半徑約為3.4×106m，火星表面處自由落體的加速度大小約為3.7m/s2，則“天問一號(hào)”的停泊軌道與火星表面的最遠(yuǎn)距離約為

A.6×105m B.6×106m

C.6×107m? D.6×108m

以上兩題的分析和解答過程如下.

第15題解析：由題意知轉(zhuǎn)速n=50rs ，則有ω=2πn=100πrs ，由a=ω2r=（100π）2×1×10-2ms2=100π2ms2，這里需要計(jì)算π2的值.

第18題解析：設(shè)火星質(zhì)量為M，火星半徑為R，將某物體m置于火星表面，忽略火星自轉(zhuǎn)，則有GMmR2=mg .對(duì)于火星探測(cè)器，設(shè)其質(zhì)量為m1，距火星表面最近距離為a，最遠(yuǎn)距離為b，周期為T，則有GMm1a+2R+b22=m12πT2a+2R+b2.

聯(lián)立以上兩式解得b=23gR2T24π2-a-2R，這里需要對(duì)根號(hào)內(nèi)數(shù)值開3次方.

對(duì)于第15題：在計(jì)算π2時(shí)，有π2=（3.14）2=9.8596≈10，因而a≈1000m/s2.

對(duì)于第18題有

23gR2T24π2

=233.7×3.4×1062×1.8×10524π2=

233.7×3.42×1.82×10224π2

為了快速得到近似結(jié)果，可以作如下處理：33.7×3.42≈3.4，1.824≈1，π2≈10，則有

233.7×3.42×1.82×10224π2≈6.8×107，故

b=23gR2T24π2-a-2R≈6×107

以上兩題，題目均只求大約值，幾個(gè)選項(xiàng)給出的數(shù)值只是有效數(shù)位不同，命題人實(shí)際意圖是要考查學(xué)生對(duì)結(jié)果進(jìn)行處理的估算能力.一套高考試題中就有兩處考查考生估算能力的試題，可見數(shù)學(xué)估算能力也是高考考查學(xué)生能力的重要內(nèi)容之一.

2 “半定量”計(jì)算問題

2.1 “半定量”計(jì)算問題

“半定量”計(jì)算問題本質(zhì)屬于計(jì)算題.它具有計(jì)算題的基本特征，其解法和步驟同計(jì)算題一樣，即需要利用物理規(guī)律列方程或者方程組推導(dǎo)出待求物理量表達(dá)式，最后再代入數(shù)據(jù)計(jì)算出結(jié)果.這類題的特點(diǎn)是對(duì)計(jì)算結(jié)果的精度要求不高，但對(duì)學(xué)生處理結(jié)果的能力要求較高，主要考查學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)處理計(jì)算結(jié)果的能力.

2.2 “半定量”問題的表現(xiàn)形式

常以選擇題形式考查，題目表述中常有“約多少”“可能”“大于”或者“小于”等字眼.由于“半定量”計(jì)算問題屬于計(jì)算題，因而很多同學(xué)會(huì)不假思索地把選擇題完全當(dāng)成計(jì)算題處理，思維定勢(shì)使然總是固執(zhí)地想得到精確的計(jì)算結(jié)果，因而可能會(huì)在計(jì)算上浪費(fèi)大量的時(shí)間，結(jié)果可能與命題人的命題初衷相去甚遠(yuǎn)，費(fèi)力不討好.

2.3 “半定量”問題的常見類型

第一類是不需要求解待求物理量的精確值，只需要估算出結(jié)果的大約值;第二類是判斷待求物理量的增大或者減少;第三類是比較量的倍數(shù)關(guān)系;第四類是定性判斷并選擇物理量間的關(guān)系圖像.

3 “半定量”計(jì)算問題的處理方法

3.1 求近似值的處理方法

3.1.1 四舍五入法取整處理

對(duì)結(jié)果進(jìn)行計(jì)算時(shí)，經(jīng)常會(huì)遇到一些常數(shù)或者常量，在估算時(shí)往往需要根據(jù)實(shí)際情況把它們作近似處理，粗略計(jì)算時(shí)一般采用四舍五入法取整處理.如自由落體加速度g=9.8m/s2，粗略計(jì)算時(shí)通常取g=10m/s2;第一宇宙速度v=7.9km/s，粗略計(jì)算時(shí)通常取v=8km/s;π2在粗略計(jì)算時(shí)常取10.

3.1.2 靈活選取近似數(shù)方便進(jìn)行開方或者乘方

天體運(yùn)動(dòng)問題中經(jīng)常遇到數(shù)的開方或者乘方，這類計(jì)算要綜合根據(jù)表達(dá)式中實(shí)際數(shù)據(jù)的特點(diǎn)靈活選取近似數(shù)以方便完成開方或者乘方計(jì)算.如上第18題中把33.7×3.42≈3.4，1.824≈1，就是在實(shí)際處理時(shí)把3.7近似為3.4，1.8近似為2.

3.1.3 放縮法確定開方的取值范圍

對(duì)于非特殊值的開方，通常利用放縮法估算其取值范圍.例如確定7的取值范圍.粗略處理：∵2=4<7<9=3，∴2<7<3;如果要進(jìn)一步縮小取值范圍，則需要再逼近被開方數(shù)進(jìn)行估算：因?yàn)?.76=2.62<7<2.72=7.29，所以2.6<7<2.7，這樣取得的數(shù)值范圍就更精確了.

例題1 （2016年全國Ⅰ卷 17題）利用三顆位置適當(dāng)?shù)牡厍蛲叫l(wèi)星，可使地球赤道上任意兩點(diǎn)之間保持無線電通訊.目前，地球同步衛(wèi)星的軌道半徑約為地球半徑的6.6倍，假設(shè)地球的自轉(zhuǎn)周期變小，若仍僅使用三顆同步衛(wèi)星來實(shí)現(xiàn)上述目的，則地球自轉(zhuǎn)周期的最小值約為

A.1h?? B.4h?? C.8h?? D.16h

解析：若三顆衛(wèi)星恰能實(shí)現(xiàn)赤道上任意兩點(diǎn)的無線電通訊，三顆衛(wèi)星的位置如圖2所示，由幾何關(guān)系可得

r=Rsin30°=2R

根據(jù)GMmr2=4π2T2mr得

T=2πr3GM，則Tmin24=（2R）3（6.6R）3=13.3 13.3

因?yàn)?2=14<13.3<11=1，所以24×13.3×2

3.2 差值法比較增量

變化量是物理中較重要的一個(gè)概念，許多問題常常需要計(jì)算物理量變化，如速度的變化量、能量的變化量、磁通量的變化量等.例如在兩物體發(fā)生碰撞時(shí)，由于滿足動(dòng)量守恒和機(jī)械能不增加，即m1v1+m2v2=m1v′1+m2v′2①，12m1v21+12m2v22≥12m1v′21+12m2v′22②，因而在判斷碰撞發(fā)生的可能性時(shí)需要通過估算判斷.對(duì)于能量能不能增加的判斷，用差值法判斷能量增量的正負(fù)即可.

例題2 質(zhì)量相等的A、B兩球在光滑的水平面上沿同一直線向同一方向運(yùn)動(dòng)，A球的動(dòng)量是7kg·m/s，B球的動(dòng)量是5kg·m/s.當(dāng)A球追上B球發(fā)生碰撞，則碰撞后A、B兩球的動(dòng)量可能是

A.pA=6kg·m/s，pB=6kg·m/s

B.pA=3kg·m/s，pB=9kg·m/s

C.pA=-2kg·m/s，pB=14kg·m/s

D.pA=-4kg·m/s，pB=17kg·m/s

解析：根據(jù)碰撞前后系統(tǒng)的動(dòng)量守恒判斷，碰撞前系統(tǒng)的總動(dòng)量是12kg·m/s，碰撞后系統(tǒng)的總動(dòng)量仍為12kg·m/s，因此排除選項(xiàng)D.設(shè)mA=mB=m，則能量的增量ΔEk=p2A2mA+p2B2mB-p2A02mA+p2B02mB.對(duì)A項(xiàng)，ΔEk=622mA+622mB-722mA+522mB=-1m<0，即碰撞過程總動(dòng)能不增加，選項(xiàng)A正確;對(duì)B項(xiàng)，ΔEk=322mA+922mB-722mA+522mB=8m>0，即碰撞過程總動(dòng)能增加，選項(xiàng)B錯(cuò)誤;對(duì)C項(xiàng)，ΔEk=222mA+1422mB-722mA+522mB=53m>0，即碰撞過程總動(dòng)能增加，選項(xiàng)C錯(cuò)誤.本題A選項(xiàng)正確.

3.3 比值法比較倍數(shù)關(guān)系

物理題中，遇到同類量比較倍數(shù)關(guān)系時(shí)，常用比值法結(jié)合放縮法比較倍數(shù)大小關(guān)系.

例題3 完全相同的金屬小球A和B帶等量異種電荷，中間連接著一個(gè)輕質(zhì)絕緣彈簧，放在光滑絕緣水平面上，平衡時(shí)彈簧的壓縮量為x0.現(xiàn)將不帶電的與A、B完全相同的金屬球C與A球接觸一下，然后拿走，重新平衡后彈簧的壓縮量為x，則

A.x=12x0?? B. x>12x0

C.x<12x0? D. x=x0

解析：開始時(shí)A球處于平衡狀態(tài)，所受庫侖力等于彈簧彈力.設(shè)彈簧勁度系數(shù)k1，彈簧原長為L，小球帶電量為q，則有k1x0=kq2L-x02①，將C球與A球接觸后，A球帶電量變?yōu)樵瓉淼囊话?，達(dá)到新的平衡后有k1x=k12q2L-x2②.由②①得xx0=12L-x02L-x2，因?yàn)閤

3.4 極值法推斷物理圖像

物理題中經(jīng)常用圖像直觀表示物理量間的關(guān)系，但描述定性關(guān)系的圖像不需要精確知道橫、縱坐標(biāo)的具體數(shù)值，只是粗略推斷圖像與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)值、圖像的彎曲方向或者因變量的最后極端值等就可以得出選項(xiàng).對(duì)這類問題，可利用物理規(guī)律寫出物理量間的表達(dá)式，再將自變量推向極值就可以估算出因變量的初值和終值，再結(jié)合斜率變化定性判斷圖像的彎曲方向從而可將正確答案選出來.

例題4 如圖3所示，一根輕繩跨過光滑定滑輪，兩端分別系一質(zhì)量為m1、m2的物塊，m1放在地面上，m2離地面有一定高度.當(dāng)m2的質(zhì)量不同時(shí)，m1的加速度a的大小也將隨之改變.以下四個(gè)圖像中，最能準(zhǔn)確反映a與m2的關(guān)系的是

解析：當(dāng)m2≤m1時(shí)，系統(tǒng)靜止，a=0，排除B、C;

當(dāng)m2>m1時(shí)，對(duì)整體有m2g-m1g=m1+m2a，即a=m2m1+m2g-m1m1+m2g=11+m1m2g-m1m1+m2g.由上面表述式可知，圖像不可能是直線型，因此排除A，當(dāng)m2增大時(shí)，a增大，當(dāng)m2→∞時(shí)，a→g.選項(xiàng)D正確.

今年的高考試題，充分說明作為數(shù)學(xué)處理物理問題的核心能力和考查的數(shù)學(xué)估算能力也是學(xué)生不可或缺的必備能力，教師在今后的教學(xué)活動(dòng)中一定要高度重視對(duì)學(xué)生這方面能力的培養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

[1]教育部考試中心.高考試題分析（理科綜合分冊(cè)）（2020年版）[M].北京：高等教育出版社，2020.

（收稿日期：2021-07-09）