活用長方體模型巧解立體幾何問題

潘敬貞 蔡海濤

(1.廣東省佛山市順德區(qū)容山中學(xué) 528303；2.福建省莆田市莆田第二中學(xué) 351131)

《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017版)》強(qiáng)調(diào)在立體幾何教學(xué)中，要充分借助長方體的模型功能，通過直觀感知，認(rèn)識和理解空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系，并抽象出空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的定義，進(jìn)而解決有關(guān)問題，這是立體幾何解題中常用的“模型化思想”，其關(guān)鍵是通過模型識別或模型構(gòu)建，將問題化歸轉(zhuǎn)化，使問題輕松獲解，而識別或構(gòu)建長方體模型，常用“割補(bǔ)法”.本文例談借助長方體模型解決立體幾何中點(diǎn)線面位置關(guān)系的定性及定量問題，期與同行交流.

一、活用長方體模型解決定性問題

1.平行問題

例1(2019全國Ⅱ文7)設(shè)α，β為兩個(gè)平面，則α∥β的充要條件是( ).

A.α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行

B.α內(nèi)有兩條相交直線與β平行

C.α，β平行于同一條直線

D.α，β垂直于同一平面

解析構(gòu)造長方體如圖1，對于A選項(xiàng)，設(shè)平面A1ADD1為α，設(shè)平面ABCD為β，在平面α內(nèi)與直線AD平行的直線都與平面β平行，而在平面α內(nèi)有無數(shù)條直線與直線AD平行，即平面α內(nèi)有無數(shù)條直線與平面β平行，但平面α與平面β相交，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；根據(jù)面面平行的判定定理可知B選項(xiàng)正確；對于C選項(xiàng)，設(shè)平面ABCD為α，設(shè)平面C1CDD1為β，由圖1可知A1B1∥α，A1B1∥β，但平面α與平面β相交，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于D選項(xiàng)，設(shè)平面A1ADD1為α，設(shè)平面C1CDD1為β，由圖1可知α⊥平面ABCD，β⊥平面ABCD，但平面α與平面β相交，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

2.垂直問題

例2(2019北京卷文13理12)已知l，m是平面α外的兩條不同直線．給出下列三個(gè)論斷：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α．以其中的兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出一個(gè)正確的命題____.

解析構(gòu)造長方體如圖1，設(shè)平面ABCD為α，A1A1=l，A1B1=m，再由線面平行的判定定理可得：若l⊥α，l⊥m，則m∥α，故答案為：若l⊥α，l⊥m，則m∥α.

評注要正確判斷點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，不僅需要對立體幾何必備知識的熟練掌握，而且還需要具有較高的數(shù)學(xué)素養(yǎng)水平，尤其是直觀想象素養(yǎng).當(dāng)碰到元素比較多時(shí)，想根據(jù)題意作相應(yīng)的直觀圖就顯得比較困難，因此在考場上欲全憑想象能力解決此類問題難度就比較，但如果能夠借助長方體模型，此問題的解答就容易很多，通過構(gòu)建長方體就可以逐個(gè)驗(yàn)證選項(xiàng)正確與否，解題效率也就大大提高.

二、活用長方體模型解決定量問題

1.求表面積

例3 (2015安徽卷)一個(gè)四面體的三視圖如圖所示，則該四面體的表面積是( ).

圖2

評注已知某幾何體的三視圖，求幾何體的有關(guān)問題，解答此類問題一般需要經(jīng)過還原幾何體再進(jìn)行求解，如果幾何體是簡單的多面體(非旋轉(zhuǎn)體)都建議構(gòu)造長方體或正方體模型輔助求解，活用長方體或正方體模型輔助求解此類問題可以大大的降低試題解答難度，提高解題效率.

2.求角

3.求距離

評注求空間角問題、距離問題等定量問題對學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力等能力要求比較高，但如果能夠借助長方體模型，根據(jù)題意構(gòu)造合適的長方體對解決定量問題有很大的幫助，可以有效降低思維難度，提高解題效率.

在解題過程中要善于挖掘題目條件，聯(lián)系長方體正方體的性質(zhì)以及長方體正方體中特殊的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系，只有這樣方可提高解題能力，提高解題效率.

合理構(gòu)建模型有助于學(xué)生能在不同的問題情境中發(fā)掘出數(shù)學(xué)內(nèi)容的共性，筆者認(rèn)為這就是問題的“數(shù)學(xué)本質(zhì)”，有別于其它數(shù)學(xué)問題的基本特質(zhì)，從而便能揭示其問題的內(nèi)涵.因此，長方體模型成為學(xué)生認(rèn)識空間幾何體的“源”，是處理立體幾何問題的根基.在解有關(guān)立體幾何問題時(shí)，要結(jié)合“割補(bǔ)”這一重要的數(shù)學(xué)方法，充分利用長方體模型進(jìn)行解題，可降低試題解答難度，快速有效地解決問題，提高解題效率，有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，發(fā)展學(xué)生直觀想象、抽象概括、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)等.