考慮波長(zhǎng)因素的高鐵無(wú)砟軌道不平順?lè)中畏治?/h1>

2021-10-20 01:00:30吳鵬飛李再幃劉曉舟何越磊

鐵道科學(xué)與工程學(xué)報(bào)訂閱 2021年9期 收藏

關(guān)鍵詞：定量化尺碼平順

吳鵬飛，李再幃，劉曉舟，何越磊

(1. 上海工程技術(shù)大學(xué) 城市軌道交通學(xué)院，上海 201620；2. 深圳技術(shù)大學(xué) 城市交通與物流學(xué)院，深圳 518118)

軌道不平順是指軌道幾何位置相對(duì)于軌道初始設(shè)計(jì)位置的偏差，其偏差值主要是通過(guò)軌檢車動(dòng)態(tài)檢測(cè)來(lái)采集的[1]。軌道不平順是引起輪軌振動(dòng)的主要原因，其幅值與波長(zhǎng)的分布特征是影響列車運(yùn)行速度、安全性以及乘客舒適性的重要因素[2]，因此，深入挖掘軌道不平順的波長(zhǎng)分布特征，實(shí)現(xiàn)波長(zhǎng)的定量化評(píng)定具有顯著的現(xiàn)實(shí)意義。目前，許多學(xué)者采用不同的研究手段從時(shí)域、頻域以及時(shí)頻域等角度對(duì)軌道不平順狀態(tài)進(jìn)行了刻畫，形成了TQI，功率譜及時(shí)頻能量譜的管理方法。但隨著線路運(yùn)營(yíng)速度的不斷提高，軌道幾何幅值超限問(wèn)題極少發(fā)生，為了深刻地表征無(wú)砟軌道不平順狀態(tài)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者引入了分形理論進(jìn)行軌道不平順的分形特征研究，HYSLIP[3]采用分形尺碼法計(jì)算有砟線路高低不平順的分形維數(shù)，利用分形維數(shù)對(duì)不同波段的軌道幾何狀態(tài)進(jìn)行評(píng)估；LANDGRAF 等[4]結(jié)合歐盟相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)，將軌道不平順波長(zhǎng)分成短波、中波和長(zhǎng)波3類，同樣采用分形維數(shù)進(jìn)行定量化表征；TACIRO?LU 等[5]對(duì)土耳其某高鐵線路軌道不平順數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，采用4種不同的分形維數(shù)來(lái)表征軌道短波和中長(zhǎng)波不平順。陳光雄等[6]利用分形功率譜法對(duì)摩擦面波狀磨耗進(jìn)行定量化的計(jì)算，得出分形維數(shù)能夠定量描述摩擦面的波狀磨耗。這些研究極大地深化了對(duì)軌道不平順細(xì)部特征的認(rèn)識(shí)，提供了定量化評(píng)價(jià)軌道不平順波長(zhǎng)和狀態(tài)的途徑。但同樣值得注意的是，目前，對(duì)于我國(guó)高鐵無(wú)砟軌道不平順的分形特征尚無(wú)針對(duì)性研究，分形維數(shù)定量化評(píng)定我國(guó)高鐵無(wú)砟軌道不平順波長(zhǎng)特征的能力需要進(jìn)一步分析?；诖?，本文從分形幾何的基本原理出發(fā)，利用蘊(yùn)含波長(zhǎng)特征的分形尺碼法，計(jì)算我國(guó)高鐵無(wú)砟軌道不平順的分形維數(shù)，分析無(wú)砟軌道不平順波長(zhǎng)的分形維數(shù)表征，為進(jìn)一步研究分形維數(shù)評(píng)估無(wú)砟軌道幾何平順狀態(tài)奠定技術(shù)基礎(chǔ)。

1 分形幾何基礎(chǔ)

1.1 分形原理

分形是指一種復(fù)雜性高且無(wú)法用傳統(tǒng)的歐氏幾何來(lái)描述，但其局部與整體在形態(tài)、功能、時(shí)間及空間具有一定自相似的圖形和集合的總稱[7]；分形的基本屬性是自相似性、標(biāo)度不變性和分形維數(shù)[8]。自相似性和標(biāo)度不變性通常是判斷對(duì)象是否可以利用分形理論對(duì)其進(jìn)行分析的重要指標(biāo)。分形維數(shù)表征了充滿空間的能力，是定量描述分形對(duì)象復(fù)雜程度和不規(guī)則性的參數(shù)，其既可以是整數(shù)也可以是分?jǐn)?shù)。自然界中的分形與數(shù)學(xué)分形相比，其自相似性并不是嚴(yán)格意義上的自相似，而是統(tǒng)計(jì)意義上的自相似；另外，其分形特征只存在于有限的層次范圍內(nèi)而非無(wú)限層次范圍內(nèi)。這是自然界中的分形與數(shù)學(xué)分形的根本差別所在，也是導(dǎo)致分形維數(shù)測(cè)量不穩(wěn)定的根本原因[9]。目前，計(jì)算分形維數(shù)的方法主要有尺碼法、盒維數(shù)法、結(jié)構(gòu)函數(shù)法等，其中尺碼法是軌道幾何形位評(píng)價(jià)中應(yīng)用較為有效的方法[3-5]，此方法的突出特點(diǎn)是可以定量化地確定軌道不平順波長(zhǎng)特征。因此，本文采用尺碼法進(jìn)行高速鐵路無(wú)砟軌道不平順?lè)中尉S數(shù)的計(jì)算。

1.2 尺碼法原理與計(jì)算流程

尺碼法源于海岸線長(zhǎng)度測(cè)量問(wèn)題，根據(jù)Man‐delbrot的理論[10]，尺碼與測(cè)量長(zhǎng)度之間具有明顯的冪律關(guān)系：

等式兩邊同取對(duì)數(shù)為：

式中：δ為尺碼長(zhǎng)度，其為無(wú)量綱量；N為測(cè)量曲線所需的尺碼段數(shù)；R(δ)為利用尺碼δ測(cè)量曲線所得的長(zhǎng)度；D為曲線的分形維數(shù)。

采用不同的尺碼δ去測(cè)量曲線會(huì)得到不同的R(δ)，小尺碼δ測(cè)得的曲線長(zhǎng)度R(δ)較大，大尺碼δ測(cè)得的曲線長(zhǎng)度R(δ)則較小。當(dāng)?shù)玫蕉嘟M(δ，R(δ))數(shù)據(jù)之后就可以利用式(2)在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)系中繪制出一系列的點(diǎn)，利用最小二乘線性回歸可得到回歸直線的斜率k，則k與D關(guān)系如下：

上述為尺碼法的原始定義，而在實(shí)際測(cè)量分形維數(shù)中，尺碼的形式較為多樣，不局限于一定長(zhǎng)度的線段，也可采用圓形、正方形及長(zhǎng)方形等形式[11]。

尺碼法的算法流程如下。

Step 1：確定度量的初始尺碼，按照式(4)進(jìn)行取值[12]：

式中：a0為初始尺碼；N為數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)；i=1,…,N?1；ki為曲線上相鄰2 個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)之間的歐氏距離，x，y分別為數(shù)據(jù)點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)。

Step 2：以曲線的起始數(shù)據(jù)點(diǎn)為尺碼的起點(diǎn)，以a0為初始尺碼跟蹤曲線的數(shù)據(jù)點(diǎn)，若尺碼的端點(diǎn)位于相鄰2個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)之間，則端點(diǎn)值由三角函數(shù)插值和相似定理求出。當(dāng)尺碼測(cè)量至曲線末端時(shí)，最后一段尺碼末端不一定和曲線的末端相重合，需要將計(jì)算剩余的曲線長(zhǎng)度與測(cè)量的曲線長(zhǎng)度相加。Step 3：當(dāng)尺碼測(cè)量至曲線末端時(shí)，將測(cè)量的尺碼段數(shù)乘以尺碼加上剩余的曲線長(zhǎng)度即可得到該尺碼下測(cè)量曲線的總長(zhǎng)度，計(jì)算公式如下：

式中：(xj,yj)為尺碼末端點(diǎn)的坐標(biāo)；(xN,yN)為曲線末端點(diǎn)坐標(biāo)；R(δ)同前；r為剩余的曲線長(zhǎng)度。

Step 4：采用不同的尺碼測(cè)量整個(gè)曲線，為了抵消線性回歸帶來(lái)的誤差，每一次測(cè)量的尺碼長(zhǎng)度應(yīng)為a0←2*a0[13]；記錄下每次測(cè)量完曲線的總長(zhǎng)度R(δ)和尺碼長(zhǎng)度δ，在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)系中繪制出數(shù)據(jù)點(diǎn)，采用最小二乘線性回歸可得到回歸直線的斜率k，利用式(3)即可求得曲線的分形維數(shù)D。

2 軌道不平順波長(zhǎng)分形維數(shù)特征

2.1 尺碼法的測(cè)量過(guò)程及結(jié)果分析

本文利用Matlab 軟件實(shí)現(xiàn)上述算法，由于軌道不平順已被驗(yàn)證具有典型的統(tǒng)計(jì)自相似分形特征[3?5]，因此，這里利用尺碼法對(duì)我國(guó)高速鐵路無(wú)砟軌道不平順的分形維數(shù)進(jìn)行分析。數(shù)據(jù)來(lái)源為某300 km/h高鐵線路，軌道結(jié)構(gòu)類型為CRTS Ⅱ型板式無(wú)砟軌道，軌檢車型號(hào)為CRH380AJ-0203，采樣間隔為0.25 m。利用左高低不平順樣本說(shuō)明尺碼法的整個(gè)測(cè)量過(guò)程，樣本數(shù)據(jù)、測(cè)量過(guò)程及計(jì)算結(jié)果如圖1～圖3所示。

圖1 樣本數(shù)據(jù)Fig.1 Data of sample

由圖2可知，隨著波長(zhǎng)尺碼的逐漸減小，由尺碼連接的曲線逐漸趨近于原始曲線，即較小波長(zhǎng)尺碼受原始波形短波長(zhǎng)成分的影響較大，而較大波長(zhǎng)尺碼受原始波形中長(zhǎng)波成分的影響較大[3]。

圖2 測(cè)量過(guò)程Fig.2 Measurement process

圖3為式(3)的具體計(jì)算結(jié)果，可知無(wú)砟軌道不平順?lè)中尉S數(shù)無(wú)法用單一的波長(zhǎng)區(qū)段進(jìn)行表征，其結(jié)果具有典型的分段函數(shù)特征，需要按照不同波長(zhǎng)區(qū)段進(jìn)行分形維數(shù)的計(jì)算。因此，本文將進(jìn)一步地討論不同波長(zhǎng)區(qū)段下，軌道不平順的分形維數(shù)特征。

圖3 測(cè)量結(jié)果Fig.3 Measurement results

2.2 單一波長(zhǎng)的軌道不平順?lè)中尉S數(shù)特征

一般而言，軌道不平順可以認(rèn)為是典型的隨機(jī)波形，是由無(wú)窮多個(gè)不同波長(zhǎng)和幅值的正弦波疊加而成[14]，因此，單一波長(zhǎng)的不平順可表示為：

其中：A為振幅，控制幅值的大?。沪貫榻撬俣?；λ為波長(zhǎng)，其與角速度的換算關(guān)系式如式(9)所示。

根據(jù)文獻(xiàn)所述，按照波長(zhǎng)劃分軌道不平順，通常分為3 m 以下的短波不平順、3 至30 m 之間的中波不平順和大于30 m 的長(zhǎng)波不平順[15]。本文利用式(8)和式(9)得到幅值為1 mm，波長(zhǎng)分別為2，10 和50 m 的軌道不平順，采樣間隔為0.25 m，樣本長(zhǎng)度為200 m，采用尺碼法分別進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果如圖4所示。

由圖4 可知，分形維數(shù)結(jié)果可分為D1，D2和D33 個(gè)區(qū)段，其中2 m 波長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的分形維數(shù)D1較大而D2和D3幾乎沒(méi)有變化；10 m 波長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的分形維數(shù)D2較大而D1和D3幾乎沒(méi)有變化；50 m 波長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的分形維數(shù)D3較大而D2和D3幾乎沒(méi)有變化；這說(shuō)明分形維數(shù)D1，D2和D3分別表征了軌道不平順的短波、中波和長(zhǎng)波成分，可以利用分形維數(shù)對(duì)軌道不平順的波長(zhǎng)特征進(jìn)行針對(duì)性管理。

圖4 單一波長(zhǎng)的軌道不平順及計(jì)算結(jié)果Fig.4 Track irregularities of a single wavelength and calculation results

3 實(shí)例分析

本節(jié)選取長(zhǎng)度為200 m 的左、右高低和左、右軌向不平順數(shù)據(jù)樣本作為分析對(duì)象，數(shù)據(jù)來(lái)源同前，利用尺碼法計(jì)算樣本數(shù)據(jù)的分形維數(shù)，結(jié)果如圖5所示。

由圖5可知，左、右高低不平順?lè)中尉S數(shù)的D2較D1與D3值大，說(shuō)明左、右高低不平順中雖然存在一定的短波長(zhǎng)和長(zhǎng)波長(zhǎng)成分，但中波長(zhǎng)成分占據(jù)了主要地位。左、右軌向不平順?lè)中尉S數(shù)的D1，D2值較大，D3則接近于水平直線，說(shuō)明存在較多的短波長(zhǎng)成分和少量的中波長(zhǎng)成分，長(zhǎng)波長(zhǎng)成分則很少。本文同樣給出了高低與軌向功率譜和標(biāo)準(zhǔn)譜的計(jì)算結(jié)果，高低不平順中波長(zhǎng)區(qū)段曲線遠(yuǎn)高于中國(guó)無(wú)砟軌道不平順標(biāo)準(zhǔn)譜，驗(yàn)證了分形維數(shù)的計(jì)算結(jié)果，同理，軌向不平順功率譜結(jié)果與分形維數(shù)對(duì)應(yīng)也較好。所以，可以采用分形維數(shù)指標(biāo)對(duì)軌道不平順區(qū)段波長(zhǎng)進(jìn)行定量化評(píng)定管理。

圖5 實(shí)測(cè)不平順樣本及計(jì)算結(jié)果Fig.5 Samples of measured irregularities and calculation results

在此基礎(chǔ)上，本文對(duì)同前線路全線約140 km的左、右高低及軌向不平順數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，將其按照200 m 切分，共分成700 組，討論其波長(zhǎng)尺碼的穩(wěn)定性，結(jié)果如圖6所示。

圖6 700組不同不平順樣本的尺碼長(zhǎng)度Fig.6 Sizes length of 700 samples of different irregularities

由圖6 可知，對(duì)軌道不平順進(jìn)行分形維數(shù)計(jì)算，共有11 種不同的波長(zhǎng)尺碼，且波長(zhǎng)尺碼的波動(dòng)性較小，僅在一個(gè)小范圍內(nèi)波動(dòng)，為了進(jìn)一步的對(duì)比分析，將圖6波長(zhǎng)尺碼進(jìn)行均值化處理，結(jié)果如圖7所示?？梢源_定3段分形維數(shù)D1，D2及D3所對(duì)應(yīng)的固定尺碼分別為(0.135～2.16)，(4.32～17.28)和(34.56～138.24)。所以，可利用波長(zhǎng)尺碼計(jì)算不同樣本的軌道不平順?lè)中尉S數(shù)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)對(duì)軌道不平順波長(zhǎng)區(qū)段的定量化評(píng)價(jià)。

圖7 不同樣本的尺碼長(zhǎng)度平均值Fig.7 Average size length of different samples

4 結(jié)論

1) 分形維數(shù)可以有效地表征高速鐵路無(wú)砟軌道軌道不平順的波長(zhǎng)分布特征，可以將其分為3個(gè)波長(zhǎng)區(qū)間，即D1為(0.135～2.16 m)，D2為(4.32～17.28 m)，D3為(34.56～138.24 m)。

2)分形維數(shù)對(duì)應(yīng)波長(zhǎng)尺碼具有較好地穩(wěn)定性；采用分形維數(shù)指標(biāo)可以有效地對(duì)區(qū)段軌道不平順的波長(zhǎng)進(jìn)行定量化的評(píng)定，建議在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究分形維數(shù)表征軌道幾何平順狀態(tài)的能力，為現(xiàn)場(chǎng)養(yǎng)護(hù)維修作業(yè)提供有效的指導(dǎo)。

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