高中數(shù)學(xué)：示“形”更揭“理”*——關(guān)于“刁尼秀斯之耳”的現(xiàn)象教學(xué)探索

費(fèi) 峣 水菊芳

一、教學(xué)緣起

“刁尼秀斯之耳”講述的是橢圓巖洞監(jiān)獄中，犯人在焦點(diǎn)處（A點(diǎn)）的越獄謀劃總會(huì)被位于另一焦點(diǎn)的守衛(wèi)（B點(diǎn)）監(jiān)聽的故事。（圖1）故事中的曲面反射現(xiàn)象是17世紀(jì)倒逼數(shù)學(xué)家研究曲線切線的重要問題之一，該現(xiàn)象的解決需要運(yùn)用物理光學(xué)與數(shù)學(xué)知識(shí)，這決定了該故事中的現(xiàn)象有著較高的教學(xué)價(jià)值。然而，不少教師僅將其用于引入橢圓的概念，意在以故事的趣味性激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。筆者以為，這種做法只提供了橢圓的“形”，卻未能揭示橢圓的“理”，無(wú)法促成個(gè)體對(duì)現(xiàn)象的充分理解，也就無(wú)法創(chuàng)設(shè)利于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)生成的良好條件。由此，筆者想深度挖掘此教學(xué)素材，談?wù)勛约旱慕虒W(xué)探索。

圖1 刁尼秀斯之耳

這里需要說明的是，以下的教學(xué)探索源于“現(xiàn)象教學(xué)”的理念，即依據(jù)真實(shí)現(xiàn)象，確定一些學(xué)習(xí)或研究的話題，并將之融入新的課程模塊的教學(xué)。其教學(xué)要點(diǎn)在于提出某個(gè)現(xiàn)象，在教學(xué)中去探究它，并由此獲得認(rèn)識(shí)?；诖死砟畹慕虒W(xué)更加凸顯、關(guān)聯(lián)真實(shí)世界，也更益于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的生成。［1］

回到本教學(xué)內(nèi)容，按照教材模塊的編排順序，學(xué)生在學(xué)習(xí)圓錐曲線時(shí)尚未學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，對(duì)圓錐曲線的切線認(rèn)識(shí)難觸及實(shí)質(zhì)。故此處教學(xué)定位為“圓錐曲線上某點(diǎn)處切線”的專題探究課，計(jì)劃為兩課時(shí)，分別設(shè)置導(dǎo)數(shù)幾何意義（代數(shù)與圖象）、橢圓光學(xué)性質(zhì)（解析幾何）兩個(gè)探究話題，以實(shí)現(xiàn)跨模塊知識(shí)融合縱深。以下為兩個(gè)課時(shí)的主要教學(xué)內(nèi)容。

二、導(dǎo)數(shù)幾何意義

1.課時(shí)分析。

（1）教學(xué)內(nèi)容分析：導(dǎo)數(shù)的幾何意義是指曲線某點(diǎn)處切線的斜率。學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了平均變化率及其幾何意義。此課時(shí)的目標(biāo)是以此為生長(zhǎng)點(diǎn)，從割線出發(fā)，用“無(wú)限逼近”的動(dòng)態(tài)過程實(shí)現(xiàn)“局部以直代曲”，從而獲得導(dǎo)數(shù)的幾何意義。

（2）學(xué)情分析：初中階段將“經(jīng)過半徑的一端（非圓心），且垂直于這條半徑的直線”稱為圓的切線。高中階段則從幾何與代數(shù)兩個(gè)維度分別規(guī)定了直線與圓相切的位置關(guān)系，即“圓心到直線的距離等于半徑”“直線方程與曲線方程聯(lián)立有且只有一組解”。上述切線的靜態(tài)理解可能形成思維定勢(shì)，影響學(xué)生以直代曲思想的形成。

（3）教學(xué)重難點(diǎn)：初步的極限思想與局部以直代曲思想的生成。

（4）教學(xué)策略：利用信息技術(shù)動(dòng)態(tài)演示，強(qiáng)化直觀感知，以最原始客觀的材料引導(dǎo)學(xué)生深入體會(huì)“無(wú)限逼近”與“量變到質(zhì)變”，領(lǐng)悟“近似于精確”的哲學(xué)原理。

2.幾何直觀，按圖索驥。

現(xiàn)象教學(xué)強(qiáng)調(diào)由直觀感知到意義生成的學(xué)習(xí)過程，將之用于曲線切線的學(xué)習(xí)即為“建立形與數(shù)的聯(lián)系，利用幾何圖形描述問題，借助幾何直觀理解問題，運(yùn)用空間想象認(rèn)識(shí)事物”。［2］學(xué)生對(duì)于切線斜率概念的完善、錯(cuò)誤觀念的矯正可以立足于小步調(diào)，由淺及深。

（1）鼓勵(lì)想象：光線經(jīng)橢圓一點(diǎn)反射與光線經(jīng)直線上一點(diǎn)反射效果等價(jià)。

（2）模型優(yōu)化：發(fā)動(dòng)小組討論得出（1）中所指的直線大概率為橢圓切線。

（3）概念蘊(yùn)生：（1）中的“點(diǎn)”為切點(diǎn)，讓學(xué)生隱約得到“橢圓上某點(diǎn)處切線”的初步感受，為導(dǎo)數(shù)幾何意義的順利發(fā)生做鋪墊。

（4）試誤與強(qiáng)化：教學(xué)中展示下列圖象（圖2），設(shè)計(jì)問題“下列圖象中直線為曲線切線的是？”

（圖2）

學(xué)生利用已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)?zāi)艹晒ψ龀鯝、B中直線為曲線切線的判定，對(duì)C則會(huì)猶豫但最終也會(huì)做出是切線的判斷。但對(duì)于D則少有認(rèn)可者，這就促使學(xué)生再度聚焦“刁尼秀斯之耳”的現(xiàn)象本身，明晰“曲線某點(diǎn)處切線”的數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性，從而判定該圖符合曲線切線特征。

【設(shè)計(jì)意圖】本環(huán)節(jié)為現(xiàn)實(shí)情境的數(shù)學(xué)抽象，其抽象物為曲線切線，整個(gè)抽象過程需要學(xué)生逐步舍棄具體現(xiàn)象中的一切表象，學(xué)生借助空間想象，抽離出曲線切線在空間形式上的本質(zhì)屬性，主要培養(yǎng)學(xué)生直觀想象與數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng)。

3.動(dòng)態(tài)捕捉，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。

教師充分肯定學(xué)生在上一環(huán)節(jié)中的表現(xiàn)，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生提出新問題，即“如何用數(shù)學(xué)刻畫切線？”此問題的目的在于引導(dǎo)學(xué)生回顧“解析幾何初步”一章直線的相關(guān)知識(shí)，進(jìn)而想到用一個(gè)“點(diǎn)”與“傾斜程度”來(lái)刻畫切線，以自我喚醒并強(qiáng)化舊知的方式，實(shí)現(xiàn)對(duì)所學(xué)內(nèi)容的靈活運(yùn)用。

此環(huán)節(jié)為“局部以直代曲”的教學(xué)，教師不應(yīng)急切地給出形式化的定義，而應(yīng)自然適度地提出問題，為學(xué)生提供問題解決的必要支持，如提示學(xué)生平均變化率及其幾何意義，并以此為生長(zhǎng)點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生嘗試對(duì)切線斜率進(jìn)行深度思考。

（圖3）

（表1）

【設(shè)計(jì)意圖】本環(huán)節(jié)的目的在于促使學(xué)生通過對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的分析，探尋客觀現(xiàn)象的一般規(guī)律，在感悟數(shù)學(xué)推理規(guī)則的基礎(chǔ)上提出有價(jià)值的數(shù)學(xué)結(jié)論，主要培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)分析與邏輯推理的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

三、橢圓光學(xué)性質(zhì)

1.課時(shí)分析。

（1）教學(xué)內(nèi)容分析：橢圓光學(xué)性質(zhì)指“從橢圓一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓反射，反射光線經(jīng)過橢圓另一焦點(diǎn)”。該內(nèi)容一般被視為閱讀材料出現(xiàn)在各教材中，有益于學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)認(rèn)知客觀世界，在高考考查中也有體現(xiàn)（如2013年山東理科卷題22）。

（2）學(xué)情分析：課時(shí)1的內(nèi)容可以為本話題教學(xué)提供必要的知識(shí)儲(chǔ)備，但由于考試導(dǎo)向、數(shù)學(xué)文化教育缺失、教師學(xué)科知識(shí)欠缺等因素，教材中閱讀材料不被重視，學(xué)生鮮有機(jī)會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)在實(shí)際問題中的應(yīng)用做研究。

（3）教學(xué)重難點(diǎn)：現(xiàn)象的數(shù)學(xué)解釋與推理論證。

（4）教學(xué)策略：精心組織探究教學(xué)，鼓勵(lì)學(xué)生嘗試多種信息渠道獲得必要的研究資料、理論依據(jù)、工具手段，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)方法解決物理問題，體驗(yàn)探究樂趣。

2.有據(jù)推理，現(xiàn)象釋因。

（圖4）

現(xiàn)象的解釋需要規(guī)范的表達(dá)，并以此實(shí)現(xiàn)知識(shí)整體的結(jié)構(gòu)化。探究“刁尼秀斯之耳”的光學(xué)性質(zhì)需要相當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)推理、演繹能力。教師可以根據(jù)所教學(xué)生的基礎(chǔ)，酌情設(shè)計(jì)學(xué)生活動(dòng)，實(shí)現(xiàn)不同學(xué)生數(shù)學(xué)能力的不同發(fā)展。

（1）方案設(shè)計(jì)，模型生成。學(xué)生借助平面直角坐標(biāo)系，用解析幾何模型來(lái)刻畫現(xiàn)象，嘗試表達(dá)數(shù)學(xué)問題，經(jīng)歷自然語(yǔ)言向符號(hào)語(yǔ)言發(fā)展的過程。此過程中，學(xué)生根據(jù)圖4可以提出以下三種解決問題的方案：

（圖5）

【設(shè)計(jì)意圖】此處學(xué)生根據(jù)先前的分析構(gòu)建數(shù)學(xué)模型并給出解決方案，采用數(shù)學(xué)運(yùn)算的方式驗(yàn)證結(jié)果并評(píng)估建模的可行性，最終實(shí)現(xiàn)對(duì)現(xiàn)象的解釋。本環(huán)節(jié)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。

3.寓知于行，現(xiàn)象延伸。

利用網(wǎng)絡(luò)、書籍等媒介帶領(lǐng)學(xué)生回顧數(shù)學(xué)發(fā)展過程當(dāng)中“無(wú)限逼近，以直代曲”思想的重要進(jìn)程及典型案例，使學(xué)生置身于知識(shí)發(fā)生與發(fā)展的過程中，感受數(shù)學(xué)的人文情懷，實(shí)現(xiàn)學(xué)生的品格教育，踐行立德樹人的根本要求。讓學(xué)生經(jīng)受數(shù)學(xué)文化的熏陶、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)美學(xué)價(jià)值的同時(shí)也務(wù)必警醒，數(shù)學(xué)文化在現(xiàn)象教學(xué)中的滲透不是點(diǎn)綴和花絮，需要在日常的教學(xué)中制定考察的方案、評(píng)價(jià)的標(biāo)準(zhǔn)。比如，學(xué)生通過橢圓曲面反射現(xiàn)象資料的研讀，嘗試撰寫小論文、數(shù)學(xué)周記；再比如利用所學(xué)手段推導(dǎo)拋物線的光學(xué)性質(zhì)，以數(shù)學(xué)沙龍的形式與同學(xué)分享成果。要讓學(xué)生反思初窺數(shù)學(xué)現(xiàn)象時(shí)的不足，包括問題提出、數(shù)學(xué)猜想、方案設(shè)計(jì)、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)、合作探究等諸多方面的不足，也要讓學(xué)生意識(shí)到自身的進(jìn)步，意識(shí)到自身面對(duì)陌生的數(shù)學(xué)現(xiàn)象有勇攀高峰的可能，要讓高遠(yuǎn)的數(shù)學(xué)觀念與數(shù)學(xué)思想在學(xué)生看來(lái)“跳一跳，夠得到”。

【設(shè)計(jì)意圖】強(qiáng)化學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀，促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)汲取知識(shí)，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)學(xué)生終生學(xué)習(xí)的能力，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的有效學(xué)習(xí)。

四、結(jié)束語(yǔ)

數(shù)學(xué)“形”與“理”的教學(xué)力求既能分析其代數(shù)意義，又能揭示其幾何直觀。此內(nèi)容教學(xué)中，情境往往更直觀，較為好用。但教師若錯(cuò)將重心放在情境創(chuàng)設(shè)的新、奇、巧、妙上，而對(duì)情境中與教學(xué)實(shí)質(zhì)相關(guān)的內(nèi)容不加挖掘，這就與數(shù)學(xué)教學(xué)的主旨謬之千里了。由此可見，情境不可能是世界本身，現(xiàn)象更接近于世界本身。［3］現(xiàn)象教學(xué)的理念否定了“情境引入”加“孤立于情境的教學(xué)”簡(jiǎn)單拼接的課堂教學(xué)模式，呼吁“回到問題本身”，既實(shí)現(xiàn)了學(xué)科價(jià)值的引領(lǐng)，又促進(jìn)了學(xué)生理性思維的養(yǎng)成。

當(dāng)然，現(xiàn)象教學(xué)在我國(guó)剛剛起步，仍有很多基礎(chǔ)理論、實(shí)踐案例有待研究。教師在教學(xué)中也不能崇拜模式，須知教無(wú)定法，貴在得法。教師在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)批判吸收有助數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容生長(zhǎng)的材料，強(qiáng)化自身用好教學(xué)材料的能力，進(jìn)而幫助學(xué)生構(gòu)建更為科學(xué)的學(xué)科體系，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。