SMA鼓包遲滯建模與控制策略

陳旭亮，張琛，季宏麗，裘進浩

南京航空航天大學 航空學院 機械結構力學及控制國家重點實驗室，南京 210016

激波控制鼓包(Shock Control Bump,SCB)是一種流動控制技術，能夠明顯減小激波阻力，其具有結構簡單、不需要大改翼型結構、不附帶黏性阻力等優(yōu)點[1-3]。李沛峰等[4]通過CFD計算，研究了鼓包高度、位置和長度對減小激波阻力的影響。固定撓度激波控制鼓包在設計點附近具有較好的減阻效果，但在遠離設計工況時，卻會破壞原有的翼型結構，帶來很大的負面作用，導致飛行器阻力急劇增大。為了解決這一問題，帝國理工的Jinks等[5]提出了自適應鼓包的概念，設計了一種單點驅(qū)動的鋁制鼓包結構，并對其結構設計，驅(qū)動等進行了優(yōu)化研究，研究結果表明自適應鼓包在較大飛行包絡能夠有效降低激波阻力。然而，鋁制鼓包為傳統(tǒng)機械結構，驅(qū)動方式復雜，一體性較差。

形狀記憶合金(Shape Memory Alloy,SMA)是一種常見的智能材料，其具有獨特的形狀記憶效應，可以自感知溫度變化，將熱能轉化為機械能，對外輸出力或位移，但與其他智能材料如壓電材料相比，其響應速度較慢[6-8]。飛行器處于巡航狀態(tài)時鼓包外形不需要發(fā)生頻繁改變，故可適當降低對響應速度的要求。聶瑞等[9]提出了一種基于形狀記憶合金的自適應鼓包實現(xiàn)方式，對SMA鼓包進行了仿真研究，在溫度升高時，鼓包撓度變大，降溫時撓度變小，最大撓度變化可達鼓包長度的4%。然而在飛行器巡航狀態(tài)下，環(huán)境溫度往往可達-50 ℃，加熱使鼓包撓度變大需要較多的能量且不易實現(xiàn)，所以訓練一種降溫撓度變大，升溫撓度減小的SMA鼓包更符合實際要求。在對形狀記憶合金進行驅(qū)動控制時存在溫度/位移遲滯現(xiàn)象。遲滯現(xiàn)象往往會降低系統(tǒng)的控制精度，從而給SMA鼓包的精確控制帶來極大挑戰(zhàn)。描述遲滯現(xiàn)象的常見模型有Preisach模型[10]、PI(Prandtl-Ishlinskii)模型[11]、KP(Krasnosel′skii-Pokrovskii)模型[12]、Duhem模型[13]與神經(jīng)網(wǎng)絡模型等。Preisach模型提出時間較早，被廣泛應用于不同遲滯系統(tǒng)，Nguyen和Ahn[14]基于Preisach模型完成了對SMA驅(qū)動器的遲滯特性辨識，并利用模糊規(guī)則求解遲滯逆模型來對SMA驅(qū)動器進行了前饋控制，Preisach模型的缺點是模型辨識難度較大，得到完整模型需要大量實驗數(shù)據(jù)。PI模型由Preisach模型改進而來，PI模型存在解析逆，能夠較為方便地得到遲滯逆模型，F(xiàn)eng等[15]使用廣義PI模型對SMA微執(zhí)行器進行遲滯補償，并通過仿真驗證了該方法的可行性。然而PI模型僅能描述對稱的遲滯現(xiàn)象，SMA執(zhí)行器在實際應用中表現(xiàn)出的遲滯現(xiàn)象往往是非對稱的，故PI模型的應用場景受到了較大限制。Duhem模型是基于微分方程的遲滯模型，針對不同的控制對象需要選擇不同的函數(shù)，Liu等[16]使用Duhem模型來描述SMA驅(qū)動器的未知遲滯現(xiàn)象。在進行函數(shù)選擇時,同一個函數(shù)往往只能適用于某一模型，在對新模型進行建模時存在函數(shù)選擇困難的問題。Mai等[17]提出了一種自適應逆模型控制器，使用DNN(Deep Neural Networks)神經(jīng)網(wǎng)絡識別SMA驅(qū)動器電壓/位移關系，神經(jīng)網(wǎng)絡在訓練過程中較為依賴訓練樣本。KP模型同樣是由Preisach模型改進而來，由于引入了極值記憶值，模型辨識難度降低。本文中的遲滯建模方法結合了KP模型與粒子群算法的優(yōu)勢，通過較少的實驗數(shù)據(jù)得到了遲滯模型的動態(tài)特性，相較于傳統(tǒng)的Preisach模型以及采用其他辨識方法來進行KP模型參數(shù)辨識的研究具有更好的便利性與可行性。

現(xiàn)有文獻中研究的SMA驅(qū)動器常常為SMA絲，其只具備單向記憶效應，驅(qū)動器需要外加載荷才能使SMA絲復原，本文提出的SMA鼓包為板殼結構，其具有雙向記憶效應，僅通過改變溫度就能使其撓度變化?？紤]到激波控制鼓包在最優(yōu)設計點以外一定范圍內(nèi)均能有效降低激波阻力，本文認為控制過程中SMA鼓包撓度穩(wěn)態(tài)誤差小于5%即可達到要求。

本文訓練了一種具有雙向記憶效應的SMA鼓包，在溫度升高時鼓包撓度減小，降溫時撓度增加。搭建了SMA鼓包測試控制平臺，通過實驗獲得了該SMA鼓包的溫度/撓度遲滯曲線。基于KP遲滯模型對SMA鼓包的遲滯特性進行建模，利用粒子群算法完成了遲滯模型的參數(shù)辨識。在辨識得到的遲滯模型基礎上，使用遞推法推導了遲滯逆模型。設計了2種PID控制方案，并進行了仿真與實驗研究。

1 SMA鼓包訓練與測試

SMA鼓包的材料是等原子比NiTi合金，厚度0.5 mm，長寬尺寸為290 mm×30 mm,其中變形區(qū)域的長度為230 mm，如圖1所示。與單程記憶效應不同，形狀記憶合金的雙程記憶效應不是材料的固有屬性。在經(jīng)過高溫熱處理后形狀記憶合金往往只具有受熱恢復形狀的單程記憶效應。要使形狀記憶合金獲得雙程記憶效應還需要經(jīng)過熱機械循環(huán)的訓練過程。目的是在形狀記憶合金馬氏體相中引入位錯，利用特殊排列的位錯形成應力場引起冷卻過程中馬氏體變體在某些方向上擇優(yōu)選取，從而誘發(fā)雙向記憶效應[18]。本文采用恒應力下相變循環(huán)的訓練方法。訓練裝置如圖2所示。

圖1 SMA鼓包Fig.1 SMA bump

圖2 SMA鼓包訓練裝置Fig.2 Training apparatus of SMA bump

鼓包測試控制平臺由固定夾具、加熱棒、液氮罐、激光位移傳感器、熱電偶、固態(tài)繼電器、采集卡和計算機組成，實驗裝置如圖3所示。

圖3 SMA鼓包測試控制實驗Fig.3 Test and control experiment of SMA bump

采用熱輻射的方式對鼓包進行加熱，利用液氮罐氣體閥的氣體對鼓包加速降溫。在室溫25 ℃ 下進行實驗，通過Labview編寫的采集程序得到了SMA鼓包中心點溫度/撓度的遲滯曲線，如圖4所示。

從圖4中可以看出SMA鼓包的最大可回復位移約為6.1 mm，為鼓包變形區(qū)域的2.65%。

圖4 SMA鼓包遲滯曲線Fig.4 Hysteresis loop of SMA bump

2 SMA鼓包遲滯模型

2.1 Krasnosel′skii-Pokrovskii模型

Krasnosel′skii-Pokrovskii(KP)模型是由M.A.Krasnosel′skii和A.V.Pokrovskii兩位學者共同提出的一種基于遲滯算子的遲滯模型。KP模型是由Preisach模型改進而來，它們的基本思想都是認為遲滯現(xiàn)象是由一系列遲滯算子疊加而成，與Preisach模型不同之處在于將Preisach算子上升和下降邊界的階躍函數(shù)改為類似飽和函數(shù)，其數(shù)學表達式為

(1)

式中：x(t)與y(t)為KP模型的輸入與輸出；H(·)為KP函數(shù);kp[x,ξp](t)為KP遲滯算子；ξp為KP算子輸出的前一個極值的記憶值；μ(p)為Preisach平面的密度函數(shù)；P為Preisach平面積分區(qū)域；p1和p2分別為Preisach 平面內(nèi)點的橫、縱坐標;β為模型的最大輸入。

經(jīng)典KP算子如圖5(a)所示，然而SMA鼓包在溫度升高時撓度減小，溫度降低時撓度增加，形成的是一個順時針的遲滯環(huán)，且全部位于第4象限，需要改進KP遲滯算子，改進后的遲滯算子如圖5(b)所示,圖中a為遲滯環(huán)上沿與下沿橫坐標差值。

圖5 KP算子Fig.5 KP operator

此時KP遲滯算子的數(shù)學表達式為

kp[x,ξp](t)=

(2)

(3)

r(x)為遲滯算子上升沿和下降沿的邊界函數(shù)，其表達式為

(4)

由于KP函數(shù)為積分形式不便于計算，可以根據(jù)數(shù)學積分的意義將Preisach平面離散化，將原函數(shù)中的平面積分轉化為代數(shù)求和的形式。方法是用l條均勻分布的水平線與豎直線將積分區(qū)域Preisach平面分成如圖6所示網(wǎng)格。離散化后的網(wǎng)格數(shù)目為N=(l+1)(l+2)/2，每個網(wǎng)格左下節(jié)點坐標(xi(t),xj(t)),即為式(2)中的(p1,p2),且有

圖6 離散化的Preisach平面Fig.6 Discretized Preisach plane

(5)

式中：i,j分別為第i個和第j個網(wǎng)格線；Δx為網(wǎng)格的寬度。

經(jīng)過離散化后式(1)可以寫成以下離散形式：

(6)

式中：kij[x,ξp]為各網(wǎng)格左下節(jié)點所對應的遲滯算子，如圖7所示；μij為各網(wǎng)格對應的平均密度。遲滯模型的輸出y(t)等于所有KP算子kij[x,ξp](t)乘以對應的平均密度μij所得積的疊加。從式(6)可以看出l值越大遲滯系統(tǒng)的輸出值與實際輸出值誤差越小，模型的精度越高；同時也會導致計算量加大，模型辨識難度增加。應合理選擇參數(shù)l的大小。

圖7 各網(wǎng)格KP算子Fig.7 KP operator for each grid

2.2 KP模型參數(shù)辨識

粒子群算法(Particle Swarm Optimization,PSO)是一種全局尋優(yōu)算法，粒子群算法因其容易實現(xiàn)、精度高、收斂快等優(yōu)點，在系統(tǒng)辨識中得到了越來越多的應用。本節(jié)使用粒子群算法對KP模型的密度參數(shù)μij進行辨識。

2.2.1 粒子群算法

粒子群算法最早由Eberhart與Kennedy在1995年提出，該算法起源于對鳥群覓食行為的研究[19]。粒子群算法由初始化隨機解出發(fā)，通過計算每個粒子所對應的適應度函數(shù)值來判斷個體最優(yōu)解與種群最優(yōu)解，從而更新粒子速度和位置，通過不斷迭代，直到找到全局最優(yōu)解。

2.2.2μij參數(shù)辨識

為了方便計算與書寫，將kij[x,ξp](t)記為kij，令

(7)

則式(6)可表示為

(8)

粒子群算法的適應度函數(shù)為

(9)

式中：y(k)為KP模型的輸出值；yr(k)為第1節(jié)中測得的SMA鼓包在當前溫度下的實際撓度;n為用于參數(shù)辨識的樣本個數(shù)。粒子群算法用來求解該適應度函數(shù)的最小值。

由于在50～65 ℃區(qū)間SMA鼓包的遲滯曲線斜率變化較大，需將Preisach平面劃分得較密，經(jīng)過多次嘗試比較，取l=39較為合理，在保證模型精度的同時也能兼顧計算時間。通過粒子群算法辨識得到的密度參數(shù)μij如圖8所示。

圖8 密度參數(shù)μij在Preisach平面的分布Fig.8 Distribution of density μij in Preisach plane

將辨識得到的密度參數(shù)μij代入到KP遲滯模型中，可以得到SMA鼓包遲滯模型的溫度/撓度遲滯曲線，如圖9所示。圖中實線為實驗數(shù)據(jù)，虛線為模型輸出。圖10為SMA鼓包遲滯模型與實驗數(shù)據(jù)的誤差曲線，最大誤差為0.107 mm，出現(xiàn)在遲滯曲線斜率變化較大處。圖11 為遲滯模型動態(tài)特性，從圖中可以看出遲滯模型不僅能夠反映遲滯現(xiàn)象的主環(huán)信息，也能反映遲滯現(xiàn)象的次環(huán)信息。

圖9 遲滯模型辨識結果Fig.9 Identification results of hysteresis model

圖10 遲滯模型誤差Fig.10 Error of hysteresis model

圖11 遲滯模型動態(tài)特性Fig.11 Dynamic characteristics of hysteresis model

3 SMA鼓包控制策略

本節(jié)基于上文辨識得到的KP遲滯模型，提出了2種PID控制方案，在MATLAB中進行了仿真研究，并進行了SMA鼓包撓度控制實驗。

3.1 遲滯逆模型

在遲滯非線性系統(tǒng)控制中，常常采用遲滯逆模型補償來減小或消除系統(tǒng)中遲滯現(xiàn)象對控制精度的影響。求解逆模型的目標是：在某一時刻t，給定一個期望輸出yd(t)，找到一個使遲滯模型輸出y(t)等于期望輸出yd(t)的輸入信號x(t)。本文基于前文得到的SMA鼓包遲滯模型通過遞推法來推導遲滯逆模型。具體流程如下：

1) 設當前遲滯模型的輸入為x0，輸出為y0，期望輸出為yd。

2) 若y0>yd(期望輸出小于當前模型輸出)

①x1=x0，y1=y0。

②x1=x1+dx(系統(tǒng)是遞減的，應當 增加一個步長)，y1=H(x1)。

③ 若y1>yd,返回執(zhí)行 ②

④ 當首次滿足y1

3) 若y0

①x1=x0，y1=y0。

②x1=x1-dx(系統(tǒng)是遞增的，應當減小一個步長)，y1=H(x1)。

③ 若y1

④ 當首次滿足y1>yd時停止循環(huán)，此時xd=x1即為遲滯逆模型的輸出值。

由遞推關系可知遞推步長dx越小，通過計算得到的逆模型輸出值與真實值誤差越小。同時正模型離散化線數(shù)l越大，逆模型的精度也越高。應根據(jù)實際控制系統(tǒng)來合理選擇dx的大小，本文取dx=0.1時，得到的遲滯逆模型如圖12所示。圖13為遲滯逆模型誤差；最大誤差發(fā)生在降溫初期，此時溫度變化較快而撓度變化較小，最大誤差為0.719 ℃，相對誤差為1.05%，遲滯逆模型已滿足實際控制需要。

圖12 遲滯逆模型Fig.12 Hysteresis inverse model

圖13 遲滯逆模型誤差Fig.13 Hysteresis inverse model error

3.2 控制方案

PID控制是一種廣泛應用于工程實踐的控制方案，其結構簡單，易于實現(xiàn)，使用靈活[20]。其控制規(guī)律為

(10)

式中：kp為比例系數(shù)；Ti為積分時間常數(shù)；Td為微分時間常數(shù)；e(t)=yd(t)-y(t)為系統(tǒng)跟蹤誤差。

本文將KP遲滯模型與PID控制相結合，設計了2種控制方案，控制器設計框圖如圖14所示。圖中:T(t)為系統(tǒng)當前溫度;eT為溫度跟蹤誤差;ey為撓度跟蹤誤差。第1種為無遲滯補償?shù)膯文繕薖ID控制，期望撓度yd(t)為控制目標，跟蹤誤差e(t)為期望撓度yd(t)與實際撓度y(t)的差值。第2種為遲滯逆模型前饋補償?shù)碾p目標PID控制，PID控制目標為期望撓度yd(t)與逆模型輸出值xd(t),通過2個獨立的PID算式計算，將2個算式的值按權重相加得到繼電器的PWM(Pulse Width Modulation)占空比，位移與溫度的權重分別為0.7與0.3，同時由于溫度反饋只起補償作用故移除溫度反饋PID算式中的積分項。

圖14 控制器設計框圖Fig.14 Controller design block diagram

3.3 系統(tǒng)傳遞函數(shù)

本文采用傳遞函數(shù)與遲滯模型串聯(lián)的方式進行仿真研究。加熱棒對SMA鼓包進行熱輻射加熱的過程可以簡化為一個一階慣性純滯后模型,其系統(tǒng)輸入為繼電器PWM占空比，系統(tǒng)輸出為溫度。其傳遞函數(shù)表達式為

(11)

式中:K為系統(tǒng)的靜態(tài)增益;T為系統(tǒng)的時間常數(shù);τ為系統(tǒng)的純滯后常數(shù)。

對SMA鼓包加熱的飛升曲線如圖15所示，由Cohn-Coon公式可以確定傳遞函數(shù)中的各項系數(shù)。其中K=1.22,T=102.2,τ=15.6。于是傳遞函數(shù)的具體表達式為

圖15 鼓包加熱飛升曲線Fig.15 Ascending curve of bump

(12)

3.4 控制仿真

設初始點SMA鼓包撓度為0，表1為控制目標和遲滯逆模型輸出值。圖16反映了2種控制方案控制過程中鼓包撓度和溫度的變化。仿真結果表明，遲滯逆模型前饋補償雙目標PID控制較無遲滯補償?shù)膯文繕薖ID控制到達穩(wěn)態(tài)需要的時間更少，超調(diào)量更小。

表1 控制目標Table 1 Control targets

圖16 仿真結果Fig.16 Simulation results

3.5 SMA鼓包變形控制實驗

控制實驗裝置如圖3所示，在室溫25 ℃下進行實驗，初始撓度為0，控制目標如表1所示。圖17為實驗過程中撓度與溫度的變化。從圖17(a)中可以看出各階段雙目標PID控制與單目標PID控制相比能更早到達穩(wěn)定狀態(tài)且誤差更小。以第1階段為例，當鼓包撓度與目標值相差較大時，2種算法輸出的PWM占空比相同；當系統(tǒng)出現(xiàn)超調(diào)時由于系統(tǒng)熱慣性與PID算法積分項的作用單目標PID算法超調(diào)量較大，此時雙目標PID算法由于溫度反饋的作用，其輸出的PWM占空比小于單目標PID算法輸出的PWM占空比，故超調(diào)量減??；同理當鼓包撓度再次小于目標值，此時鼓包溫度已小于逆模型輸出值，雙目標PID算法輸出的PWM占空比大于單目標PID算法輸出的PWM占空比，故能夠快速使SMA鼓包處于穩(wěn)定狀態(tài)。由于是以SMA鼓包的撓度控制為目標，同時考慮到系統(tǒng)魯棒性，在雙目標PID控制算法中仍以位移反饋作為主要權重，溫度反饋僅有補償作用，穩(wěn)定狀態(tài)下鼓包溫度無需達到遲滯逆模型輸出值。

圖17 實驗結果Fig.17 Experimental results

對于鼓包響應速度，2種控制方法的響應時間大致相同，具體來說在第1、第2升溫階段，鼓包響應速度受制于加熱棒功率，而大幅提升加熱棒功率會導致控制系統(tǒng)穩(wěn)定性下降，考慮到激波控制鼓包主要應用于巡航狀態(tài)的超臨界機翼，巡航狀態(tài)下鼓包外形變化頻率較低，故本文中的響應速度以能達到應用需求。第3與第4階段為降溫階段，鼓包響應速度受制于環(huán)境溫度，而在實際應用中，由于不存在氣動加熱，環(huán)境溫度較低，鼓包響應速度會得到明顯提升。

表2為部分時域性能指標。遲滯逆模型前饋補償雙目標PID控制與單目標PID控制相比各階段誤差均大幅減小。單目標PID控制最大相對誤差為第4階段的10.3%，雙目標PID控制最大相對誤差為第4階段的2.2%，減小了78.6%，雙目標PID控制的相對誤差已達到小于5%的要求。

表2 時域性能Table 2 Time domain performance

4 結 論

1) 為了解決固定撓度鼓包工作范圍較窄的問題，訓練了一種具有雙程記憶效應的SMA鼓包，溫度升高時撓度減小，溫度降低時撓度增大，其最大可回復位移為6.1 mm，為鼓包變形區(qū)域的2.65%。

2) 針對SMA鼓包在變形過程中溫度/撓度的遲滯非線性現(xiàn)象，基于KP遲滯模型進行了建模研究；使用粒子群算法完成了模型的參數(shù)辨識。辨識得到的模型與實驗數(shù)據(jù)最大誤差為0.107 mm。

3) 以遲滯模型為基礎，采用遞推法得到遲滯逆模型，為控制系統(tǒng)的遲滯補償打下了基礎。

4) 提出了2種PID控制方案，一種為無遲滯補償?shù)膯文繕薖ID控制，一種為遲滯逆模型前饋補償?shù)碾p目標PID控制。仿真與實驗結果表明，后者控制性能明顯優(yōu)于前者，已基本滿足需求。