面向集中力擴散的回轉曲面加筋拓撲優(yōu)化方法

李增聰，陳燕，李紅慶，田闊,*，王剛，高峰，王博

1. 大連理工大學 工業(yè)裝備結構分析國家重點實驗室 工程力學系，大連 116024

2. 中國空間技術研究院 總體設計部，北京 100094

航天器中各艙段之間存在大量的回轉曲面加筋型連接結構，其主要的功能是將一側較大的集中力載荷均勻地擴散到另一側。圖1展示了東方紅衛(wèi)星平臺[1]通過回轉曲面加筋型的對接環(huán)結構，將主星結構的集中力載荷均勻地擴散到下面的推進艙結構。為了滿足推進艙結構強度要求，需開展對接環(huán)結構設計，以實現集中力高效擴散。圖2為運載火箭熱分離式級間段結構，為了避免貯箱發(fā)生局部破壞，通過放射肋形式的短殼結構與貯箱連接進行集中力擴散。傳統(tǒng)型放射肋結構形式可以一定程度上起到集中力擴散作用，但為了避免連接處局部強度不足往往采取過于保守的設計，易導致結構超重[2-3]。近年來，航天器結構向大型化、承載重型化的趨勢發(fā)展。針對對接環(huán)、貯箱短殼這類典型的航天器回轉曲面加筋結構，如何在大載荷、短距離條件下實現高效的集中力擴散設計，是一個亟待解決的難題。

圖1 衛(wèi)星平臺對接環(huán)結構示意圖[1]Fig.1 Schematic diagram of joint ring of satellite platform[1]

圖2 貯箱短殼結構示意圖[3]Fig.2 Schematic diagram of short shell of tank[3]

拓撲優(yōu)化方法突破了傳統(tǒng)的經驗設計和類比設計方法，可以根據載荷條件、約束條件和優(yōu)化目標，在給定的區(qū)域內對材料分布進行優(yōu)化設計[4-6]。針對集中力擴散問題，學者們開展了拓撲優(yōu)化方法的相關研究。牛飛等[2,7]基于連續(xù)體拓撲優(yōu)化方法，提出了集中力擴散優(yōu)化模型，相比傳統(tǒng)放射肋設計方法，優(yōu)化方案的應力分布更加均勻；張家鑫等[3,8]基于拓撲優(yōu)化、尺寸優(yōu)化等方法，采用NSGA-Ⅱ(Non-Dominated Sorting Genetic Algorithm Ⅱ)算法建立了考慮集中力擴散的多目標優(yōu)化模型，得到了分級型放射結構創(chuàng)新構型；西北工業(yè)大學張衛(wèi)紅團隊[9-11]針對集中力擴散拓撲優(yōu)化方法也開展了系列研究，將反力方差約束[9,11]、人工桿單元[10]引入拓撲優(yōu)化方法中，并基于數值算例驗證了所提出方法在集中力擴散與輸出載荷控制的有效性，并獲得創(chuàng)新構型；張曉穎等[12]針對薄壁貯箱結構千噸級集中力擴散問題，開展拓撲優(yōu)化設計，通過理論分析、有限元計算和試驗驗證，獲得了高效率集中力擴散的結構構型；梅勇等[13]針對運載火箭捆綁聯(lián)接艙段集中力擴散和輕量化設計，以多工況下最小加權柔度為目標函數進行結構拓撲優(yōu)化，得到了應力分布均勻且結構減重18.2%的優(yōu)化結果。盡管上述研究針對簡單的平面結構建立了有效的集中力擴散優(yōu)化模型，但對于大載荷、短距離條件下的回轉曲面加筋集中力擴散拓撲優(yōu)化設計，還較少有學者開展相關工作，其主要面臨拓撲優(yōu)化結果難以滿足回轉曲面加筋制造工藝要求、拓撲優(yōu)化結果難以自動化重構兩方面挑戰(zhàn)。

針對第1個挑戰(zhàn)，為了滿足機銑等回轉曲面加筋制造工藝要求，回轉曲面加筋拓撲優(yōu)化結果需保證筋條與回轉曲面蒙皮垂直、筋條沿加工方向保持厚度一致。在拓撲優(yōu)化方法中，可通過增加約束條件的方式實現這一效果[14]。其中代表性的方法是變量映射方法[15-16]，已被廣泛應用于制造工藝約束的實現[17-19]。其通過約束密度變量在加筋方向上的關系，可以得到滿足拔模、沖壓、機銑等制造工藝要求的拓撲優(yōu)化結果。變量映射方法在拓撲優(yōu)化開始之前需要定義映射背景網格區(qū)域，并通過鄰域搜索來建立單元區(qū)域與設計變量之間的映射關系。但對于回轉曲面結構，往往難以劃分規(guī)則的有限元網格，導致變量映射難以實施。因此，研究一種對網格質量要求不高、操作簡便的回轉曲面加筋特征實現方法，對于建立滿足回轉曲面加筋制造工藝要求的集中力擴散拓撲優(yōu)化方法具有重要的研究意義，也是本文的一個研究內容。

針對另一個挑戰(zhàn)，根據回轉曲面加筋拓撲優(yōu)化結果進行模型重構是繁瑣而耗時的，傳統(tǒng)人工建模方式耗時長且精度低，無法實現參數化建模，一定程度上增加了設計周期。根據文獻調研[20-21]，目前針對拓撲優(yōu)化結果的模型重構方法研究尚不成熟，是一個有潛力的研究方向。近年來，網格變形[22-23]方法以其高效、可控和易于自動化等特點在復雜結構的快速建模分析與優(yōu)化中得到了廣泛應用[24-25]。學者們提出了參數映射方法[26-27]、Delaunay圖映射方法[28]、NURBS方法[29]與代理模型映射方法等[30]。其中基于代理模型的網格變形方法在復雜問題的映射中展現出了較大的潛力[31]。因此，本文另一個主要研究內容是基于代理模型的網格變形和映射，建立適用于回轉曲面加筋拓撲優(yōu)化結果的模型智能重構方法。

本文內容主要分為4個部分：第1部分介紹了本文提出的面向集中力擴散的回轉曲面加筋拓撲優(yōu)化方法；第2部分針對對接環(huán)結構進行算例研究，驗證所提出方法的有效性；第3部分討論了網格類型和支反力約束上限對優(yōu)化結果的影響，并將本文提出方法與傳統(tǒng)設計方法進行對比總結，同時討論了網格變形方法的應用范圍及優(yōu)勢；第4部分為結論與展望。

1 面向集中力擴散的回轉曲面加筋拓撲優(yōu)化方法

1.1 基于各向異性過濾的集中力擴散拓撲優(yōu)化方法

在拓撲優(yōu)化中，過濾方法通常用于解決棋盤格和網格依賴性問題。代表性地，Sigmund等[32]提出了敏度過濾方法，Bourdin[33]提出了密度過濾方法。為了獲得滿足制造工藝要求的創(chuàng)新構型方案，受文獻[34-35]啟發(fā)，本文提出了一種基于各向異性過濾技術的回轉曲面加筋拓撲優(yōu)化方法，即通過定義Helmholtz方程[36]中的各向異性過濾半徑，使沿加筋高度方向的過濾半徑大于其他方向的過濾半徑，并大于加筋高度的實際結構尺寸，使得回轉曲面拓撲優(yōu)化結果呈現出蒙皮加筋的效果。主要步驟如下：

步驟1建立回轉曲面結構有限元模型，定義局部坐標系和各向異性過濾半徑

如圖3所示，定義結構的局部笛卡爾坐標系XYZ，其中加筋方向(機銑加工方向)設定為局部坐標系的Z向，垂直于加筋方向分別設置為X向和Y向。根據局部坐標系，定義各向異性過濾半徑，使沿加筋高度方向的過濾半徑rn大于面內方向的過濾半徑rt1和rt2，并大于加筋高度的實際結構尺寸，rt1和rt2分別表示方向為沿X方向和沿Y方向的過濾半徑。

圖3 各向異性過濾半徑示意圖Fig.3 Schematic diagram of anisotropic filter radius

步驟2建立集中力擴散拓撲優(yōu)化列式

根據平衡方程,f=Ku

(1)

式中：K表示整體剛度矩陣；f表示節(jié)點力向量；u表示節(jié)點位移向量。將矩陣分塊，則式(1)可以寫為

(2)

式中：fc表示外力載荷；fs表示節(jié)點的反力；下標s和c分別表示約束自由度和非約束自由度。

式(2)可寫為

(3)

基于SIMP[37-38](Solid Isotropic Material with Penalization)材料懲罰模型，以最小化結構應變能作為優(yōu)化目標，各支座支反力和體分比為約束，建立拓撲優(yōu)化列式：

(4)

(5)

式中：δjk的維度與位移向量保持一致，在第k個分量取1，其余值為0。

步驟3建立并求解Helmholtz方程

首先，將各向異性過濾定義為一個隱式的Helmholtz方程：

(6)

(7)

式中：V為局部坐標系3個方向的空間基底矢量的矩陣形式；vn為加筋方向；vt1和vt2為垂直于加筋方向。

將式(6)表達成弱形式：

(8)

由于單元密度值在單元上為常量，將Helmholtz方程的單元矩陣He表達為

(9)

式中：N為形函數；Ωe為單元e的空間域。本文方法中Helmholtz方程的單元與有限元計算的單元相同。

步驟4進行各向異性過濾與Heaviside函數過濾

基于過濾矩陣H進行各向異性過濾:

(10)

(11)

步驟5開展靈敏度分析，求解優(yōu)化問題

目標函數對設計變量的靈敏度為

(12)

體積約束靈敏度為

(13)

式中：ve為常量，通常設為1。

各支座支反力約束靈敏度可表示為

(14)

引入伴隨向量λ，由式(5)可得

(15)

(16)

根據靈敏度分析結果，基于移動漸近線法[40](Method of Moving Asymptotes, MMA)對拓撲優(yōu)化問題進行求解，優(yōu)化迭代過程重復步驟4與步驟5，直至收斂。

1.2 基于網格變形的拓撲優(yōu)化結果智能重構方法

對于回轉曲面加筋拓撲優(yōu)化結果的特征提取，傳統(tǒng)方法通常是在Solidworks、Unigraphics(UG)等CAD建模軟件中進行人工建模。當回轉曲面加筋優(yōu)化結果細節(jié)復雜時，其模型重構步驟繁瑣、耗時長且準確度低。將CAD模型導入CAE有限元軟件時，容易產生網格劃分失敗、網格單元畸形等問題。針對這一問題，本節(jié)提出了一種基于網格變形技術的回轉曲面加筋拓撲優(yōu)化結果智能重構方法，通過預先訓練簡單結構背景網格域和目標網格域，得到兩者之間的映射關系，從而將回轉曲面加筋優(yōu)化結果的有限元模型映射成平面加筋殼，以便于拓撲優(yōu)化結果的特征提取與重構。如圖4所示，所提出方法主要包括以下步驟：

步驟1定義背景網格域和目標網格域，如圖4(a)所示，建立回轉曲面結構的有限元模型作為背景網格域；如圖4(b)所示，建立平面結構的有限元模型作為目標網格域，且保證其包含待建加筋結構的設計空間。

步驟2基于徑向基函數(Radial Basis Function，RBF)代理模型[41]，訓練背景網格域和目標網格域這兩個控制點集，獲得二者之間的映射關系(正向與逆向)，以背景網格域網格節(jié)點的坐標值為輸入，以目標網格域網格節(jié)點的坐標值為輸出，每個節(jié)點包含x、y、z3個方向的坐標值，基于代理模型對坐標值數據進行擬合，獲得映射關系。

步驟3基于正向映射關系，將拓撲優(yōu)化結果展開為平面加筋殼有限元模型，針對回轉曲面加筋殼拓撲優(yōu)化結果的有限元模型(圖4(c))，通過步驟2得到的正向映射關系進行網格變形，獲得平面加筋殼的有限元模型，如圖4(d)所示。

步驟4針對平面加筋殼進行加筋拓撲特征提取，相較于回轉曲面加筋殼，平面加筋殼更易于建模，傳統(tǒng)建模方式可以快速且準確地對步驟3獲得的平面加筋殼有限元模型進行特征提取，且平面加筋殼建?？煽紤]制造工藝約束。對提取結果劃分有限元網格，結果如圖4(e)所示。

步驟5基于逆向映射關系，將提取的平面加筋殼有限元模型映射為回轉曲面加筋殼有限元模型，將步驟4中的平面加筋殼模型進行網格劃分獲得有限元模型，通過步驟2得到的逆向映射關系進行網格變形，獲得回轉曲面加筋殼的有限元模型，結果如圖4(f)所示。

圖4 基于網格變形的拓撲優(yōu)化結果智能重構方法Fig.4 Intelligent reconstruction method for topology optimization result based on mesh deformation

上述方法的“智能”主要體現在加筋構型重構過程中平面與曲面的相互映射。人工手動操作只需在平面上進行加筋建模，這是相對簡單且便捷的，對于重構后的平面模型，通過逆向映射關系可將平面加筋構型快速、高效地變?yōu)榛剞D曲面加筋構型。

1.3 面向集中力擴散的回轉曲面加筋拓撲優(yōu)化方法

結合1.1節(jié)提出的基于各向異性過濾的集中力擴散拓撲優(yōu)化方法和1.2節(jié)提出的基于網格變形技術的拓撲優(yōu)化結果智能重構方法，本節(jié)給出了面向集中力擴散的回轉曲面加筋拓撲優(yōu)化方法，如圖5所示，所提出方法的流程主要包括以下兩個步驟：

圖5 面向集中力擴散的回轉曲面加筋拓撲優(yōu)化方法Fig.5 Topology optimization method for concentrated force diffusion on stiffened curved shell of revolution

步驟1基于各向異性過濾技術開展回轉曲面加筋的集中力擴散拓撲優(yōu)化。步驟1.1建立回轉曲面結構有限元模型作為拓撲優(yōu)化設計域，并設定局部坐標系，定義各向異性過濾半徑，使沿加筋高度方向的過濾半徑大于面內方向的過濾半徑；步驟1.2，基于SIMP材料懲罰模型建立集中力擴散問題的拓撲優(yōu)化列式；步驟1.3，建立并求解Helmholtz方程，計算得到過濾矩陣H；步驟1.4，對設計變量進行各向異性過濾和Heaviside函數過濾；步驟1.5，對目標函數和約束函數進行靈敏度分析，并基于MMA方法求解拓撲優(yōu)化問題；步驟1.6，經過優(yōu)化迭代，獲得回轉曲面加筋殼形式的拓撲優(yōu)化結果。

步驟2基于網格變形方法對回轉曲面加筋拓撲優(yōu)化結果進行模型智能重構。步驟2.1，定義回轉曲面結構有限元模型作為背景網格域，簡單平面結構有限元模型作為目標網格域；步驟2.2，通過RBF代理模型訓練兩個域的控制點集，獲得兩者的映射關系(正向與逆向)；步驟2.3，基于正向映射關系對步驟1.6獲得的回轉曲面加筋殼的拓撲優(yōu)化結果進行網格變形，獲得平面加筋殼的有限元模型；步驟2.4，基于平面加筋殼的有限元模型進行特征提取，且考慮制造工藝要求，得到平面加筋殼的拓撲優(yōu)化重構結果；步驟2.5，基于逆向映射關系，對重構后的平面加筋殼有限元模型進行網格變形，獲得回轉曲面加筋殼的有限元模型，即創(chuàng)新結構方案。

2 對接環(huán)算例研究

2.1 對接環(huán)結構回轉曲面加筋拓撲優(yōu)化設計

以圖1中所示的對接環(huán)結構為例對本文提出方法進行驗證。對接環(huán)模型細節(jié)如圖6所示，主要包括上端框、蒙皮、設計域和下端框4個部分。其中，實際設計要求是在設計域內進行加筋設計，并通過機銑方式進行加工。根據結構的對稱性，選擇1/2模型作為研究對象。蒙皮厚度為2 mm，設計域厚度為18 mm，設計域高度為200 mm，下端框厚度為5 mm，上端框厚度為7 mm。加載和邊界條件如圖7所示。在上端框的3三個加載面中心點處分別施加F=70 000 N的集中力，并將中心點自由度與加載面上其余節(jié)點的自由度耦合。下端框底部的15個面作為結構支座進行固支約束，支座的位置分布和尺寸參數情況如圖8所示。其中3個加載面分別位于3號支座、8號支座和13號支座正上方。由于考慮了對稱性，在1/2模型的邊界處施加對稱邊界條件。

圖6 對接環(huán)結構示意圖Fig.6 Schematic diagram of docking ring structure

圖7 對接環(huán)有限元模型示意圖Fig.7 Schematic diagram of FE model of docking ring

圖8 底部支座分布示意圖Fig.8 Schematic diagram of distribution of bottom supports

用六面體網格對對接環(huán)結構進行單元劃分，網格數目為155 600，其中設計域網格數目為114 700。結構材料為鋁合金，其楊氏模量和泊松比分別為70 GPa和0.3，屈服強度為325 MPa，材料密度為2 700 kg/m3，模型質量為10.8 kg。

首先，對結構開展基于各向異性過濾的回轉曲面加筋拓撲優(yōu)化，優(yōu)化目標為最小化結構應變能，支反力約束為結構各支座的支反力均小于20 000 N，體分比上限約束設置為0.3。根據1.1節(jié)中的各向異性過濾方法，加筋高度方向的過濾半徑rn設置為150 mm，非加筋方向的過濾半徑rt1和rt2設置為20 mm，優(yōu)化最大迭代步數為50步。優(yōu)化迭代過程及優(yōu)化目標的迭代曲線如圖9所示，圖中結構設計域內紅色區(qū)域代表密度為1的單元，藍色區(qū)域代表密度為0的單元，綠色區(qū)域為灰度單元。由圖中可以看到，拓撲優(yōu)化目標函數值隨著迭代步數增加逐漸減小并最終收斂，拓撲結果中灰度單元逐漸減少，最終得到拓撲構型清晰、蒙皮加筋形式明顯的優(yōu)化結果。

圖9 拓撲優(yōu)化目標函數迭代過程Fig.9 Iterative process of objective function in topology optimization

2.2 對接環(huán)拓撲優(yōu)化結果模型智能重構與驗證

基于網格變形技術的智能重構方法對2.1節(jié)獲得的拓撲優(yōu)化結果進行模型重構。首先，以回轉曲面結構有限元實體模型作為背景網格域(共包含4 725個有限元節(jié)點)，簡單平面結構有限元實體模型作為目標網格域(同樣包括4 725個有限元節(jié)點)，基于RBF代理模型訓練兩個域的控制點集，獲得兩者的映射關系。在此基礎上，將圖9 中的優(yōu)化結果只保留紅色的加筋構型和不可設計域，獲得回轉曲面加筋殼拓撲優(yōu)化結果(圖10(a))，并開展正向映射，獲得平面加筋殼的有限元模型(圖10(b))。然后，對平面加筋殼的拓撲特征進行建模，并考慮制造工藝約束，獲得平面加筋殼的拓撲優(yōu)化重構結果(圖10(c))。接下來對重構模型劃分網格，得到平面加筋殼的有限元模型(圖10(d))。最后，再次通過網格變形方法，基于逆向映射獲得回轉曲面加筋殼的有限元模型(圖10(e))。

圖10 基于網格變形的拓撲優(yōu)化結果智能重構示意圖Fig.10 Schematic diagram of intelligent reconstruction of optimal result based on mesh deformation

進而，針對回轉曲面加筋殼的有限元模型開展集中力載荷作用下的靜力學分析，結構的應力云圖如圖11所示。由圖可知結構的整體應力水平較低，最大應力為194.3 MPa，小于屈服強度325 MPa，未發(fā)生強度破壞，強度裕度充足。提取各支座約束面的所有節(jié)點支反力并分別求和，可以得到各支座的支反力分布情況，結果如表1所示。由表中可以看到，本文方法得到的優(yōu)化結果各支座的支反力均小于20 000 N，滿足集中力擴散的設計要求(20 000 N)。此外，重構模型獲得了清晰的回轉曲面加筋構型，滿足回轉曲面加筋機銑制造工藝要求，驗證了所提出的拓撲優(yōu)化方法對于此類回轉曲面加筋集中力擴散問題的有效性。

圖11 本文方法優(yōu)化結果重構模型應力分布圖Fig.11 Stress distribution diagram of reconstructed model for optimal result by proposed method

表1 本文方法與放射肋方法各支座反力計算結果Table 1 Reaction forces results of supports by proposed method and radial rib method

3 對比與討論

為了驗證本文方法在加筋構型清晰、滿足回轉曲面加筋制造工藝要求、集中力擴散效率高、網格質量依賴性低等方面的優(yōu)勢，本節(jié)首先討論了網格類型與支反力約束對優(yōu)化結果的影響，進而對比研究本文方法結果與傳統(tǒng)放射肋結果。最后，對所提出網格變形方法的適用范圍和優(yōu)勢進行了討論。

3.1 網格類型與支反力約束對優(yōu)化結果的影響

本節(jié)先討論了不同網格類型對所提出拓撲優(yōu)化方法結果的影響，驗證了其易于滿足回轉曲面加筋制造工藝要求、網格質量依賴性低等優(yōu)勢。然后分析了不同支反力約束值對拓撲優(yōu)化結果的影響，以驗證方法的適用性。

模型劃分為六面體和四面體兩種網格類型的拓撲優(yōu)化結果分別如圖12和圖13所示。由圖中可以看到，本文方法由于采用了各向異性過濾技術開展拓撲優(yōu)化設計，優(yōu)化結果表現出較低的網格質量依賴性，對于不同類型的有限元網格均能得到清晰、相似的加筋構型，且灰度單元較少，同時優(yōu)化結果保證了筋條與蒙皮相互垂直，優(yōu)化結果的拓撲特征經簡單處理即可直接應用于工程中，滿足回轉曲面加筋制造工藝要求。

圖12 拓撲優(yōu)化結果(有限元模型劃分為六面體網格，支反力約束為20 000 N)Fig.12 Topology optimization result (FE model is divided by hexahedral meshes, and constraint of reaction force is 20 000 N)

圖13 拓撲優(yōu)化結果(有限元模型劃分為四面體網格，支反力約束為20 000 N)Fig.13 Topology optimization result (FE model is divided by tetrahedral meshes, and constraint of reaction force is 20 000 N)

圖14為不同支反力約束下拓撲優(yōu)化結果的構型圖。由圖可見，各優(yōu)化結果的加筋構型基本相似，依然呈放射狀。隨著支反力約束值逐漸變小，約束條件愈發(fā)嚴格，導致中間的筋條逐漸變細，兩邊的筋條逐漸變粗，以使得集中力擴散地更加均勻。需要說明的是，論文中的對接環(huán)算例源于實際工程結構，其約束上限的選取是參考了實際設計需要的。本文提供的是通用設計方法，可以結合具體工程需求進行約束設置。

圖14 不同支反力約束下的拓撲優(yōu)化結果Fig.14 Topology optimization result with different constraints of reaction force

3.2 本文方法與傳統(tǒng)放射肋結果對比分析

參考文獻[2-3,9]中的放射肋結構形式，按照1.2節(jié)中圖 4所示的建模過程，通過對平面形式的放射肋模型進行網格變形即可得到回轉曲面形式的放射肋模型，結果如圖 15所示。對模型進行集中力載荷下的靜力學分析，參數設置與2.1節(jié)保持一致，放射肋結構的質量與2.3節(jié)中的優(yōu)化結果保持一致，均為10.8 kg。得到應力結果如圖 16所示，由圖可知結構的最大應力為87.0 MPa，整體應力水平較低，結構的強度裕度較大。提取各支座支反力結果，列在表 1中。由表 1中可以看出，傳統(tǒng)放射肋結構有5個支座的支反力大于20 000 N，尤其在集中力載荷附近的支座，即支座3、支座8和支座13附近的支座支反力較大，超出支座支反力約束，未能滿足集中力擴散設計需求。傳統(tǒng)放射肋設計方法與本文方法集中力擴散結果對比如圖 17所示，為了進行擴散效果的定量對比，本文定義了集中力擴散率φ(0≤φ≤1)：

圖15 傳統(tǒng)放射肋結構有限元模型Fig.15 FE model of traditional radial rib structure

圖17 本文方法與傳統(tǒng)放射肋方法結果對比Fig.17 Comparison between results from proposed method and traditional radial rib method

(17)

式中：Fmax表示所有支座中的支反力最大值；F1和F2分別表示集中力完全沒擴散(力都集中在一個支座)和完全均勻擴散(所有支座力相等)時所有支座支反力的最大值。可知對接環(huán)算例中F1=70 000 N,F2=14 000 N?；谑?17)可計算得到本文方法的集中力擴散效率φ1=89.6%，放射肋方法的擴散效率φ2=79.1%。本文方法的擴散效率比放射肋方法高10.5%，在集中力擴散能力方面具有明顯的優(yōu)勢。

對比本文方法結果(圖10(e))和傳統(tǒng)放射肋結構(圖15)的加筋構型可以發(fā)現，兩種加筋構型均呈放射狀，表明這類放射狀的加筋構型具有較好的集中力擴散能力。傳統(tǒng)放射肋結構傳力路徑較為單一，相比之下，采用本文方法可以得到更優(yōu)的傳力路徑，能夠高效地利用材料、避免質量冗余，因此具有更優(yōu)集中力擴散效率。

3.3 網格變形方法應用范圍及優(yōu)勢

上文對接環(huán)算例中的加筋回轉曲面為柱面，形狀較為規(guī)則，但實際工程中還存在大量變曲率回轉曲面加筋的情況。如圖18(a)所示，考慮回轉體母線為曲率連續(xù)變化的任意曲線，其回轉曲面模型如圖18(b)所示。針對此類復雜結構，常規(guī)加筋建模方法繁瑣、耗時且精度較低，同時也難以實現參數化。

基于1.2節(jié)中的網格變形方法可對圖18中的變曲率回轉曲面進行快速加筋特征提取及模型重構。如圖19(a)和圖19(b)所示，只需對背景網格域和目標網格域進行訓練(算例中包含8280個有限元節(jié)點)，分別得到正向和逆向映射關系。如圖19(c)和圖19(d)所示，進行特征提取時，首先可基于正向映射關系將回轉曲面展開為平面，在平面上可快速、便捷的人工建立加筋特征，進而基于逆向映射關系將平面加筋構型映射為回轉曲面構型，且映射結果能保證筋條與蒙皮的垂直。

圖18 變曲率回轉曲面示意圖Fig.18 Schematic diagram of variable-curvature shell of revolution

圖19 變曲率回轉曲面加筋殼網格變形示意圖Fig.19 Schematic diagram of mesh deformation for variable-curvature stiffened shell of revolution

綜上所述，本文提出的網格變形方法主要用于回轉曲面加筋拓撲優(yōu)化結果的特征重構，其主要有兩方面的優(yōu)勢：首先，便于編程和軟件制作，工程師每次只需向編譯好的程序提供背景網格域和目標網格域，即可自動完成訓練并得到映射關系；其次，代理模型可自動擬合回轉曲面與平面的映射關系，無需過多關注曲面本身的特征，避免了繁瑣的模型處理，將復雜的曲面問題轉換為了簡單的平面操作問題。

4 結 論

1) 提出了一種面向集中力擴散的回轉曲面加筋拓撲優(yōu)化方法。首先，建立了一種基于各向異性過濾的集中力擴散拓撲優(yōu)化方法，可保證拓撲優(yōu)化結果滿足回轉曲面加筋制造工藝要求。然后，提出了一種基于網格變形技術的拓撲優(yōu)化結果模型智能重構方法，可以高效準確地重構回轉曲面加筋拓撲優(yōu)化結果。基于對接環(huán)算例開展研究，驗證了所提出方法的適用性和有效性。

2) 討論了不同網格類型與不同支反力約束對優(yōu)化結果的影響，并與傳統(tǒng)放射肋設計方法進行對比，驗證了所提出方法具有集中力擴散效率高、滿足回轉曲面加筋制造工藝要求、網格質量依賴性低、拓撲特征重構高效等優(yōu)點。同時給出了變曲率回轉曲面加筋殼的算例，進一步說明了網格變形方法的適用性。

后續(xù)研究中，將面向更加復雜的工程結構形式和約束條件，進一步擴展所提出的拓撲優(yōu)化和模型智能重構方法。