面向集中力擴(kuò)散的回轉(zhuǎn)曲面加筋拓?fù)鋬?yōu)化方法

李增聰，陳燕，李紅慶，田闊,*，王剛，高峰，王博

1. 大連理工大學(xué) 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 工程力學(xué)系，大連 116024

2. 中國(guó)空間技術(shù)研究院 總體設(shè)計(jì)部，北京 100094

航天器中各艙段之間存在大量的回轉(zhuǎn)曲面加筋型連接結(jié)構(gòu)，其主要的功能是將一側(cè)較大的集中力載荷均勻地?cái)U(kuò)散到另一側(cè)。圖1展示了東方紅衛(wèi)星平臺(tái)[1]通過(guò)回轉(zhuǎn)曲面加筋型的對(duì)接環(huán)結(jié)構(gòu)，將主星結(jié)構(gòu)的集中力載荷均勻地?cái)U(kuò)散到下面的推進(jìn)艙結(jié)構(gòu)。為了滿足推進(jìn)艙結(jié)構(gòu)強(qiáng)度要求，需開(kāi)展對(duì)接環(huán)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，以實(shí)現(xiàn)集中力高效擴(kuò)散。圖2為運(yùn)載火箭熱分離式級(jí)間段結(jié)構(gòu)，為了避免貯箱發(fā)生局部破壞，通過(guò)放射肋形式的短殼結(jié)構(gòu)與貯箱連接進(jìn)行集中力擴(kuò)散。傳統(tǒng)型放射肋結(jié)構(gòu)形式可以一定程度上起到集中力擴(kuò)散作用，但為了避免連接處局部強(qiáng)度不足往往采取過(guò)于保守的設(shè)計(jì)，易導(dǎo)致結(jié)構(gòu)超重[2-3]。近年來(lái)，航天器結(jié)構(gòu)向大型化、承載重型化的趨勢(shì)發(fā)展。針對(duì)對(duì)接環(huán)、貯箱短殼這類典型的航天器回轉(zhuǎn)曲面加筋結(jié)構(gòu)，如何在大載荷、短距離條件下實(shí)現(xiàn)高效的集中力擴(kuò)散設(shè)計(jì)，是一個(gè)亟待解決的難題。

圖1 衛(wèi)星平臺(tái)對(duì)接環(huán)結(jié)構(gòu)示意圖[1]Fig.1 Schematic diagram of joint ring of satellite platform[1]

圖2 貯箱短殼結(jié)構(gòu)示意圖[3]Fig.2 Schematic diagram of short shell of tank[3]

拓?fù)鋬?yōu)化方法突破了傳統(tǒng)的經(jīng)驗(yàn)設(shè)計(jì)和類比設(shè)計(jì)方法，可以根據(jù)載荷條件、約束條件和優(yōu)化目標(biāo)，在給定的區(qū)域內(nèi)對(duì)材料分布進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)[4-6]。針對(duì)集中力擴(kuò)散問(wèn)題，學(xué)者們開(kāi)展了拓?fù)鋬?yōu)化方法的相關(guān)研究。牛飛等[2,7]基于連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化方法，提出了集中力擴(kuò)散優(yōu)化模型，相比傳統(tǒng)放射肋設(shè)計(jì)方法，優(yōu)化方案的應(yīng)力分布更加均勻；張家鑫等[3,8]基于拓?fù)鋬?yōu)化、尺寸優(yōu)化等方法，采用NSGA-Ⅱ(Non-Dominated Sorting Genetic Algorithm Ⅱ)算法建立了考慮集中力擴(kuò)散的多目標(biāo)優(yōu)化模型，得到了分級(jí)型放射結(jié)構(gòu)創(chuàng)新構(gòu)型；西北工業(yè)大學(xué)張衛(wèi)紅團(tuán)隊(duì)[9-11]針對(duì)集中力擴(kuò)散拓?fù)鋬?yōu)化方法也開(kāi)展了系列研究，將反力方差約束[9,11]、人工桿單元[10]引入拓?fù)鋬?yōu)化方法中，并基于數(shù)值算例驗(yàn)證了所提出方法在集中力擴(kuò)散與輸出載荷控制的有效性，并獲得創(chuàng)新構(gòu)型；張曉穎等[12]針對(duì)薄壁貯箱結(jié)構(gòu)千噸級(jí)集中力擴(kuò)散問(wèn)題，開(kāi)展拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，通過(guò)理論分析、有限元計(jì)算和試驗(yàn)驗(yàn)證，獲得了高效率集中力擴(kuò)散的結(jié)構(gòu)構(gòu)型；梅勇等[13]針對(duì)運(yùn)載火箭捆綁聯(lián)接艙段集中力擴(kuò)散和輕量化設(shè)計(jì)，以多工況下最小加權(quán)柔度為目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化，得到了應(yīng)力分布均勻且結(jié)構(gòu)減重18.2%的優(yōu)化結(jié)果。盡管上述研究針對(duì)簡(jiǎn)單的平面結(jié)構(gòu)建立了有效的集中力擴(kuò)散優(yōu)化模型，但對(duì)于大載荷、短距離條件下的回轉(zhuǎn)曲面加筋集中力擴(kuò)散拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，還較少有學(xué)者開(kāi)展相關(guān)工作，其主要面臨拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果難以滿足回轉(zhuǎn)曲面加筋制造工藝要求、拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果難以自動(dòng)化重構(gòu)兩方面挑戰(zhàn)。

針對(duì)第1個(gè)挑戰(zhàn)，為了滿足機(jī)銑等回轉(zhuǎn)曲面加筋制造工藝要求，回轉(zhuǎn)曲面加筋拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果需保證筋條與回轉(zhuǎn)曲面蒙皮垂直、筋條沿加工方向保持厚度一致。在拓?fù)鋬?yōu)化方法中，可通過(guò)增加約束條件的方式實(shí)現(xiàn)這一效果[14]。其中代表性的方法是變量映射方法[15-16]，已被廣泛應(yīng)用于制造工藝約束的實(shí)現(xiàn)[17-19]。其通過(guò)約束密度變量在加筋方向上的關(guān)系，可以得到滿足拔模、沖壓、機(jī)銑等制造工藝要求的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果。變量映射方法在拓?fù)鋬?yōu)化開(kāi)始之前需要定義映射背景網(wǎng)格區(qū)域，并通過(guò)鄰域搜索來(lái)建立單元區(qū)域與設(shè)計(jì)變量之間的映射關(guān)系。但對(duì)于回轉(zhuǎn)曲面結(jié)構(gòu)，往往難以劃分規(guī)則的有限元網(wǎng)格，導(dǎo)致變量映射難以實(shí)施。因此，研究一種對(duì)網(wǎng)格質(zhì)量要求不高、操作簡(jiǎn)便的回轉(zhuǎn)曲面加筋特征實(shí)現(xiàn)方法，對(duì)于建立滿足回轉(zhuǎn)曲面加筋制造工藝要求的集中力擴(kuò)散拓?fù)鋬?yōu)化方法具有重要的研究意義，也是本文的一個(gè)研究?jī)?nèi)容。

針對(duì)另一個(gè)挑戰(zhàn)，根據(jù)回轉(zhuǎn)曲面加筋拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果進(jìn)行模型重構(gòu)是繁瑣而耗時(shí)的，傳統(tǒng)人工建模方式耗時(shí)長(zhǎng)且精度低，無(wú)法實(shí)現(xiàn)參數(shù)化建模，一定程度上增加了設(shè)計(jì)周期。根據(jù)文獻(xiàn)調(diào)研[20-21]，目前針對(duì)拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果的模型重構(gòu)方法研究尚不成熟，是一個(gè)有潛力的研究方向。近年來(lái)，網(wǎng)格變形[22-23]方法以其高效、可控和易于自動(dòng)化等特點(diǎn)在復(fù)雜結(jié)構(gòu)的快速建模分析與優(yōu)化中得到了廣泛應(yīng)用[24-25]。學(xué)者們提出了參數(shù)映射方法[26-27]、Delaunay圖映射方法[28]、NURBS方法[29]與代理模型映射方法等[30]。其中基于代理模型的網(wǎng)格變形方法在復(fù)雜問(wèn)題的映射中展現(xiàn)出了較大的潛力[31]。因此，本文另一個(gè)主要研究?jī)?nèi)容是基于代理模型的網(wǎng)格變形和映射，建立適用于回轉(zhuǎn)曲面加筋拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果的模型智能重構(gòu)方法。

本文內(nèi)容主要分為4個(gè)部分：第1部分介紹了本文提出的面向集中力擴(kuò)散的回轉(zhuǎn)曲面加筋拓?fù)鋬?yōu)化方法；第2部分針對(duì)對(duì)接環(huán)結(jié)構(gòu)進(jìn)行算例研究，驗(yàn)證所提出方法的有效性；第3部分討論了網(wǎng)格類型和支反力約束上限對(duì)優(yōu)化結(jié)果的影響，并將本文提出方法與傳統(tǒng)設(shè)計(jì)方法進(jìn)行對(duì)比總結(jié)，同時(shí)討論了網(wǎng)格變形方法的應(yīng)用范圍及優(yōu)勢(shì)；第4部分為結(jié)論與展望。

1 面向集中力擴(kuò)散的回轉(zhuǎn)曲面加筋拓?fù)鋬?yōu)化方法

1.1 基于各向異性過(guò)濾的集中力擴(kuò)散拓?fù)鋬?yōu)化方法

在拓?fù)鋬?yōu)化中，過(guò)濾方法通常用于解決棋盤(pán)格和網(wǎng)格依賴性問(wèn)題。代表性地，Sigmund等[32]提出了敏度過(guò)濾方法，Bourdin[33]提出了密度過(guò)濾方法。為了獲得滿足制造工藝要求的創(chuàng)新構(gòu)型方案，受文獻(xiàn)[34-35]啟發(fā)，本文提出了一種基于各向異性過(guò)濾技術(shù)的回轉(zhuǎn)曲面加筋拓?fù)鋬?yōu)化方法，即通過(guò)定義Helmholtz方程[36]中的各向異性過(guò)濾半徑，使沿加筋高度方向的過(guò)濾半徑大于其他方向的過(guò)濾半徑，并大于加筋高度的實(shí)際結(jié)構(gòu)尺寸，使得回轉(zhuǎn)曲面拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果呈現(xiàn)出蒙皮加筋的效果。主要步驟如下：

步驟1建立回轉(zhuǎn)曲面結(jié)構(gòu)有限元模型，定義局部坐標(biāo)系和各向異性過(guò)濾半徑

如圖3所示，定義結(jié)構(gòu)的局部笛卡爾坐標(biāo)系XYZ，其中加筋方向(機(jī)銑加工方向)設(shè)定為局部坐標(biāo)系的Z向，垂直于加筋方向分別設(shè)置為X向和Y向。根據(jù)局部坐標(biāo)系，定義各向異性過(guò)濾半徑，使沿加筋高度方向的過(guò)濾半徑rn大于面內(nèi)方向的過(guò)濾半徑rt1和rt2，并大于加筋高度的實(shí)際結(jié)構(gòu)尺寸，rt1和rt2分別表示方向?yàn)檠豖方向和沿Y方向的過(guò)濾半徑。

圖3 各向異性過(guò)濾半徑示意圖Fig.3 Schematic diagram of anisotropic filter radius

步驟2建立集中力擴(kuò)散拓?fù)鋬?yōu)化列式

根據(jù)平衡方程,f=Ku

(1)

式中：K表示整體剛度矩陣；f表示節(jié)點(diǎn)力向量；u表示節(jié)點(diǎn)位移向量。將矩陣分塊，則式(1)可以寫(xiě)為

(2)

式中：fc表示外力載荷；fs表示節(jié)點(diǎn)的反力；下標(biāo)s和c分別表示約束自由度和非約束自由度。

式(2)可寫(xiě)為

(3)

基于SIMP[37-38](Solid Isotropic Material with Penalization)材料懲罰模型，以最小化結(jié)構(gòu)應(yīng)變能作為優(yōu)化目標(biāo)，各支座支反力和體分比為約束，建立拓?fù)鋬?yōu)化列式：

(4)

(5)

式中：δjk的維度與位移向量保持一致，在第k個(gè)分量取1，其余值為0。

步驟3建立并求解Helmholtz方程

首先，將各向異性過(guò)濾定義為一個(gè)隱式的Helmholtz方程：

(6)

(7)

式中：V為局部坐標(biāo)系3個(gè)方向的空間基底矢量的矩陣形式；vn為加筋方向；vt1和vt2為垂直于加筋方向。

將式(6)表達(dá)成弱形式：

(8)

由于單元密度值在單元上為常量，將Helmholtz方程的單元矩陣He表達(dá)為

(9)

式中：N為形函數(shù)；Ωe為單元e的空間域。本文方法中Helmholtz方程的單元與有限元計(jì)算的單元相同。

步驟4進(jìn)行各向異性過(guò)濾與Heaviside函數(shù)過(guò)濾

基于過(guò)濾矩陣H進(jìn)行各向異性過(guò)濾:

(10)

(11)

步驟5開(kāi)展靈敏度分析，求解優(yōu)化問(wèn)題

目標(biāo)函數(shù)對(duì)設(shè)計(jì)變量的靈敏度為

(12)

體積約束靈敏度為

(13)

式中：ve為常量，通常設(shè)為1。

各支座支反力約束靈敏度可表示為

(14)

引入伴隨向量λ，由式(5)可得

(15)

(16)

根據(jù)靈敏度分析結(jié)果，基于移動(dòng)漸近線法[40](Method of Moving Asymptotes, MMA)對(duì)拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題進(jìn)行求解，優(yōu)化迭代過(guò)程重復(fù)步驟4與步驟5，直至收斂。

1.2 基于網(wǎng)格變形的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果智能重構(gòu)方法

對(duì)于回轉(zhuǎn)曲面加筋拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果的特征提取，傳統(tǒng)方法通常是在Solidworks、Unigraphics(UG)等CAD建模軟件中進(jìn)行人工建模。當(dāng)回轉(zhuǎn)曲面加筋優(yōu)化結(jié)果細(xì)節(jié)復(fù)雜時(shí)，其模型重構(gòu)步驟繁瑣、耗時(shí)長(zhǎng)且準(zhǔn)確度低。將CAD模型導(dǎo)入CAE有限元軟件時(shí)，容易產(chǎn)生網(wǎng)格劃分失敗、網(wǎng)格單元畸形等問(wèn)題。針對(duì)這一問(wèn)題，本節(jié)提出了一種基于網(wǎng)格變形技術(shù)的回轉(zhuǎn)曲面加筋拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果智能重構(gòu)方法，通過(guò)預(yù)先訓(xùn)練簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)背景網(wǎng)格域和目標(biāo)網(wǎng)格域，得到兩者之間的映射關(guān)系，從而將回轉(zhuǎn)曲面加筋優(yōu)化結(jié)果的有限元模型映射成平面加筋殼，以便于拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果的特征提取與重構(gòu)。如圖4所示，所提出方法主要包括以下步驟：

步驟1定義背景網(wǎng)格域和目標(biāo)網(wǎng)格域，如圖4(a)所示，建立回轉(zhuǎn)曲面結(jié)構(gòu)的有限元模型作為背景網(wǎng)格域；如圖4(b)所示，建立平面結(jié)構(gòu)的有限元模型作為目標(biāo)網(wǎng)格域，且保證其包含待建加筋結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)空間。

步驟2基于徑向基函數(shù)(Radial Basis Function，RBF)代理模型[41]，訓(xùn)練背景網(wǎng)格域和目標(biāo)網(wǎng)格域這兩個(gè)控制點(diǎn)集，獲得二者之間的映射關(guān)系(正向與逆向)，以背景網(wǎng)格域網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)值為輸入，以目標(biāo)網(wǎng)格域網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)值為輸出，每個(gè)節(jié)點(diǎn)包含x、y、z3個(gè)方向的坐標(biāo)值，基于代理模型對(duì)坐標(biāo)值數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，獲得映射關(guān)系。

步驟3基于正向映射關(guān)系，將拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果展開(kāi)為平面加筋殼有限元模型，針對(duì)回轉(zhuǎn)曲面加筋殼拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果的有限元模型(圖4(c))，通過(guò)步驟2得到的正向映射關(guān)系進(jìn)行網(wǎng)格變形，獲得平面加筋殼的有限元模型，如圖4(d)所示。

步驟4針對(duì)平面加筋殼進(jìn)行加筋拓?fù)涮卣魈崛?，相較于回轉(zhuǎn)曲面加筋殼，平面加筋殼更易于建模，傳統(tǒng)建模方式可以快速且準(zhǔn)確地對(duì)步驟3獲得的平面加筋殼有限元模型進(jìn)行特征提取，且平面加筋殼建?？煽紤]制造工藝約束。對(duì)提取結(jié)果劃分有限元網(wǎng)格，結(jié)果如圖4(e)所示。

步驟5基于逆向映射關(guān)系，將提取的平面加筋殼有限元模型映射為回轉(zhuǎn)曲面加筋殼有限元模型，將步驟4中的平面加筋殼模型進(jìn)行網(wǎng)格劃分獲得有限元模型，通過(guò)步驟2得到的逆向映射關(guān)系進(jìn)行網(wǎng)格變形，獲得回轉(zhuǎn)曲面加筋殼的有限元模型，結(jié)果如圖4(f)所示。

圖4 基于網(wǎng)格變形的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果智能重構(gòu)方法Fig.4 Intelligent reconstruction method for topology optimization result based on mesh deformation

上述方法的“智能”主要體現(xiàn)在加筋構(gòu)型重構(gòu)過(guò)程中平面與曲面的相互映射。人工手動(dòng)操作只需在平面上進(jìn)行加筋建模，這是相對(duì)簡(jiǎn)單且便捷的，對(duì)于重構(gòu)后的平面模型，通過(guò)逆向映射關(guān)系可將平面加筋構(gòu)型快速、高效地變?yōu)榛剞D(zhuǎn)曲面加筋構(gòu)型。

1.3 面向集中力擴(kuò)散的回轉(zhuǎn)曲面加筋拓?fù)鋬?yōu)化方法

結(jié)合1.1節(jié)提出的基于各向異性過(guò)濾的集中力擴(kuò)散拓?fù)鋬?yōu)化方法和1.2節(jié)提出的基于網(wǎng)格變形技術(shù)的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果智能重構(gòu)方法，本節(jié)給出了面向集中力擴(kuò)散的回轉(zhuǎn)曲面加筋拓?fù)鋬?yōu)化方法，如圖5所示，所提出方法的流程主要包括以下兩個(gè)步驟：

圖5 面向集中力擴(kuò)散的回轉(zhuǎn)曲面加筋拓?fù)鋬?yōu)化方法Fig.5 Topology optimization method for concentrated force diffusion on stiffened curved shell of revolution

步驟1基于各向異性過(guò)濾技術(shù)開(kāi)展回轉(zhuǎn)曲面加筋的集中力擴(kuò)散拓?fù)鋬?yōu)化。步驟1.1建立回轉(zhuǎn)曲面結(jié)構(gòu)有限元模型作為拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)域，并設(shè)定局部坐標(biāo)系，定義各向異性過(guò)濾半徑，使沿加筋高度方向的過(guò)濾半徑大于面內(nèi)方向的過(guò)濾半徑；步驟1.2，基于SIMP材料懲罰模型建立集中力擴(kuò)散問(wèn)題的拓?fù)鋬?yōu)化列式；步驟1.3，建立并求解Helmholtz方程，計(jì)算得到過(guò)濾矩陣H；步驟1.4，對(duì)設(shè)計(jì)變量進(jìn)行各向異性過(guò)濾和Heaviside函數(shù)過(guò)濾；步驟1.5，對(duì)目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)進(jìn)行靈敏度分析，并基于MMA方法求解拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題；步驟1.6，經(jīng)過(guò)優(yōu)化迭代，獲得回轉(zhuǎn)曲面加筋殼形式的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果。

步驟2基于網(wǎng)格變形方法對(duì)回轉(zhuǎn)曲面加筋拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果進(jìn)行模型智能重構(gòu)。步驟2.1，定義回轉(zhuǎn)曲面結(jié)構(gòu)有限元模型作為背景網(wǎng)格域，簡(jiǎn)單平面結(jié)構(gòu)有限元模型作為目標(biāo)網(wǎng)格域；步驟2.2，通過(guò)RBF代理模型訓(xùn)練兩個(gè)域的控制點(diǎn)集，獲得兩者的映射關(guān)系(正向與逆向)；步驟2.3，基于正向映射關(guān)系對(duì)步驟1.6獲得的回轉(zhuǎn)曲面加筋殼的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果進(jìn)行網(wǎng)格變形，獲得平面加筋殼的有限元模型；步驟2.4，基于平面加筋殼的有限元模型進(jìn)行特征提取，且考慮制造工藝要求，得到平面加筋殼的拓?fù)鋬?yōu)化重構(gòu)結(jié)果；步驟2.5，基于逆向映射關(guān)系，對(duì)重構(gòu)后的平面加筋殼有限元模型進(jìn)行網(wǎng)格變形，獲得回轉(zhuǎn)曲面加筋殼的有限元模型，即創(chuàng)新結(jié)構(gòu)方案。

2 對(duì)接環(huán)算例研究

2.1 對(duì)接環(huán)結(jié)構(gòu)回轉(zhuǎn)曲面加筋拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)

以圖1中所示的對(duì)接環(huán)結(jié)構(gòu)為例對(duì)本文提出方法進(jìn)行驗(yàn)證。對(duì)接環(huán)模型細(xì)節(jié)如圖6所示，主要包括上端框、蒙皮、設(shè)計(jì)域和下端框4個(gè)部分。其中，實(shí)際設(shè)計(jì)要求是在設(shè)計(jì)域內(nèi)進(jìn)行加筋設(shè)計(jì)，并通過(guò)機(jī)銑方式進(jìn)行加工。根據(jù)結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性，選擇1/2模型作為研究對(duì)象。蒙皮厚度為2 mm，設(shè)計(jì)域厚度為18 mm，設(shè)計(jì)域高度為200 mm，下端框厚度為5 mm，上端框厚度為7 mm。加載和邊界條件如圖7所示。在上端框的3三個(gè)加載面中心點(diǎn)處分別施加F=70 000 N的集中力，并將中心點(diǎn)自由度與加載面上其余節(jié)點(diǎn)的自由度耦合。下端框底部的15個(gè)面作為結(jié)構(gòu)支座進(jìn)行固支約束，支座的位置分布和尺寸參數(shù)情況如圖8所示。其中3個(gè)加載面分別位于3號(hào)支座、8號(hào)支座和13號(hào)支座正上方。由于考慮了對(duì)稱性，在1/2模型的邊界處施加對(duì)稱邊界條件。

圖6 對(duì)接環(huán)結(jié)構(gòu)示意圖Fig.6 Schematic diagram of docking ring structure

圖7 對(duì)接環(huán)有限元模型示意圖Fig.7 Schematic diagram of FE model of docking ring

圖8 底部支座分布示意圖Fig.8 Schematic diagram of distribution of bottom supports

用六面體網(wǎng)格對(duì)對(duì)接環(huán)結(jié)構(gòu)進(jìn)行單元?jiǎng)澐?，網(wǎng)格數(shù)目為155 600，其中設(shè)計(jì)域網(wǎng)格數(shù)目為114 700。結(jié)構(gòu)材料為鋁合金，其楊氏模量和泊松比分別為70 GPa和0.3，屈服強(qiáng)度為325 MPa，材料密度為2 700 kg/m3，模型質(zhì)量為10.8 kg。

首先，對(duì)結(jié)構(gòu)開(kāi)展基于各向異性過(guò)濾的回轉(zhuǎn)曲面加筋拓?fù)鋬?yōu)化，優(yōu)化目標(biāo)為最小化結(jié)構(gòu)應(yīng)變能，支反力約束為結(jié)構(gòu)各支座的支反力均小于20 000 N，體分比上限約束設(shè)置為0.3。根據(jù)1.1節(jié)中的各向異性過(guò)濾方法，加筋高度方向的過(guò)濾半徑rn設(shè)置為150 mm，非加筋方向的過(guò)濾半徑rt1和rt2設(shè)置為20 mm，優(yōu)化最大迭代步數(shù)為50步。優(yōu)化迭代過(guò)程及優(yōu)化目標(biāo)的迭代曲線如圖9所示，圖中結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)域內(nèi)紅色區(qū)域代表密度為1的單元，藍(lán)色區(qū)域代表密度為0的單元，綠色區(qū)域?yàn)榛叶葐卧?。由圖中可以看到，拓?fù)鋬?yōu)化目標(biāo)函數(shù)值隨著迭代步數(shù)增加逐漸減小并最終收斂，拓?fù)浣Y(jié)果中灰度單元逐漸減少，最終得到拓?fù)錁?gòu)型清晰、蒙皮加筋形式明顯的優(yōu)化結(jié)果。

圖9 拓?fù)鋬?yōu)化目標(biāo)函數(shù)迭代過(guò)程Fig.9 Iterative process of objective function in topology optimization

2.2 對(duì)接環(huán)拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果模型智能重構(gòu)與驗(yàn)證

基于網(wǎng)格變形技術(shù)的智能重構(gòu)方法對(duì)2.1節(jié)獲得的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果進(jìn)行模型重構(gòu)。首先，以回轉(zhuǎn)曲面結(jié)構(gòu)有限元實(shí)體模型作為背景網(wǎng)格域(共包含4 725個(gè)有限元節(jié)點(diǎn))，簡(jiǎn)單平面結(jié)構(gòu)有限元實(shí)體模型作為目標(biāo)網(wǎng)格域(同樣包括4 725個(gè)有限元節(jié)點(diǎn))，基于RBF代理模型訓(xùn)練兩個(gè)域的控制點(diǎn)集，獲得兩者的映射關(guān)系。在此基礎(chǔ)上，將圖9 中的優(yōu)化結(jié)果只保留紅色的加筋構(gòu)型和不可設(shè)計(jì)域，獲得回轉(zhuǎn)曲面加筋殼拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果(圖10(a))，并開(kāi)展正向映射，獲得平面加筋殼的有限元模型(圖10(b))。然后，對(duì)平面加筋殼的拓?fù)涮卣鬟M(jìn)行建模，并考慮制造工藝約束，獲得平面加筋殼的拓?fù)鋬?yōu)化重構(gòu)結(jié)果(圖10(c))。接下來(lái)對(duì)重構(gòu)模型劃分網(wǎng)格，得到平面加筋殼的有限元模型(圖10(d))。最后，再次通過(guò)網(wǎng)格變形方法，基于逆向映射獲得回轉(zhuǎn)曲面加筋殼的有限元模型(圖10(e))。

圖10 基于網(wǎng)格變形的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果智能重構(gòu)示意圖Fig.10 Schematic diagram of intelligent reconstruction of optimal result based on mesh deformation

進(jìn)而，針對(duì)回轉(zhuǎn)曲面加筋殼的有限元模型開(kāi)展集中力載荷作用下的靜力學(xué)分析，結(jié)構(gòu)的應(yīng)力云圖如圖11所示。由圖可知結(jié)構(gòu)的整體應(yīng)力水平較低，最大應(yīng)力為194.3 MPa，小于屈服強(qiáng)度325 MPa，未發(fā)生強(qiáng)度破壞，強(qiáng)度裕度充足。提取各支座約束面的所有節(jié)點(diǎn)支反力并分別求和，可以得到各支座的支反力分布情況，結(jié)果如表1所示。由表中可以看到，本文方法得到的優(yōu)化結(jié)果各支座的支反力均小于20 000 N，滿足集中力擴(kuò)散的設(shè)計(jì)要求(20 000 N)。此外，重構(gòu)模型獲得了清晰的回轉(zhuǎn)曲面加筋構(gòu)型，滿足回轉(zhuǎn)曲面加筋機(jī)銑制造工藝要求，驗(yàn)證了所提出的拓?fù)鋬?yōu)化方法對(duì)于此類回轉(zhuǎn)曲面加筋集中力擴(kuò)散問(wèn)題的有效性。

圖11 本文方法優(yōu)化結(jié)果重構(gòu)模型應(yīng)力分布圖Fig.11 Stress distribution diagram of reconstructed model for optimal result by proposed method

表1 本文方法與放射肋方法各支座反力計(jì)算結(jié)果Table 1 Reaction forces results of supports by proposed method and radial rib method

3 對(duì)比與討論

為了驗(yàn)證本文方法在加筋構(gòu)型清晰、滿足回轉(zhuǎn)曲面加筋制造工藝要求、集中力擴(kuò)散效率高、網(wǎng)格質(zhì)量依賴性低等方面的優(yōu)勢(shì)，本節(jié)首先討論了網(wǎng)格類型與支反力約束對(duì)優(yōu)化結(jié)果的影響，進(jìn)而對(duì)比研究本文方法結(jié)果與傳統(tǒng)放射肋結(jié)果。最后，對(duì)所提出網(wǎng)格變形方法的適用范圍和優(yōu)勢(shì)進(jìn)行了討論。

3.1 網(wǎng)格類型與支反力約束對(duì)優(yōu)化結(jié)果的影響

本節(jié)先討論了不同網(wǎng)格類型對(duì)所提出拓?fù)鋬?yōu)化方法結(jié)果的影響，驗(yàn)證了其易于滿足回轉(zhuǎn)曲面加筋制造工藝要求、網(wǎng)格質(zhì)量依賴性低等優(yōu)勢(shì)。然后分析了不同支反力約束值對(duì)拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果的影響，以驗(yàn)證方法的適用性。

模型劃分為六面體和四面體兩種網(wǎng)格類型的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果分別如圖12和圖13所示。由圖中可以看到，本文方法由于采用了各向異性過(guò)濾技術(shù)開(kāi)展拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，優(yōu)化結(jié)果表現(xiàn)出較低的網(wǎng)格質(zhì)量依賴性，對(duì)于不同類型的有限元網(wǎng)格均能得到清晰、相似的加筋構(gòu)型，且灰度單元較少，同時(shí)優(yōu)化結(jié)果保證了筋條與蒙皮相互垂直，優(yōu)化結(jié)果的拓?fù)涮卣鹘?jīng)簡(jiǎn)單處理即可直接應(yīng)用于工程中，滿足回轉(zhuǎn)曲面加筋制造工藝要求。

圖12 拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果(有限元模型劃分為六面體網(wǎng)格，支反力約束為20 000 N)Fig.12 Topology optimization result (FE model is divided by hexahedral meshes, and constraint of reaction force is 20 000 N)

圖13 拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果(有限元模型劃分為四面體網(wǎng)格，支反力約束為20 000 N)Fig.13 Topology optimization result (FE model is divided by tetrahedral meshes, and constraint of reaction force is 20 000 N)

圖14為不同支反力約束下拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果的構(gòu)型圖。由圖可見(jiàn)，各優(yōu)化結(jié)果的加筋構(gòu)型基本相似，依然呈放射狀。隨著支反力約束值逐漸變小，約束條件愈發(fā)嚴(yán)格，導(dǎo)致中間的筋條逐漸變細(xì)，兩邊的筋條逐漸變粗，以使得集中力擴(kuò)散地更加均勻。需要說(shuō)明的是，論文中的對(duì)接環(huán)算例源于實(shí)際工程結(jié)構(gòu)，其約束上限的選取是參考了實(shí)際設(shè)計(jì)需要的。本文提供的是通用設(shè)計(jì)方法，可以結(jié)合具體工程需求進(jìn)行約束設(shè)置。

圖14 不同支反力約束下的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果Fig.14 Topology optimization result with different constraints of reaction force

3.2 本文方法與傳統(tǒng)放射肋結(jié)果對(duì)比分析

參考文獻(xiàn)[2-3,9]中的放射肋結(jié)構(gòu)形式，按照1.2節(jié)中圖 4所示的建模過(guò)程，通過(guò)對(duì)平面形式的放射肋模型進(jìn)行網(wǎng)格變形即可得到回轉(zhuǎn)曲面形式的放射肋模型，結(jié)果如圖 15所示。對(duì)模型進(jìn)行集中力載荷下的靜力學(xué)分析，參數(shù)設(shè)置與2.1節(jié)保持一致，放射肋結(jié)構(gòu)的質(zhì)量與2.3節(jié)中的優(yōu)化結(jié)果保持一致，均為10.8 kg。得到應(yīng)力結(jié)果如圖 16所示，由圖可知結(jié)構(gòu)的最大應(yīng)力為87.0 MPa，整體應(yīng)力水平較低，結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度裕度較大。提取各支座支反力結(jié)果，列在表 1中。由表 1中可以看出，傳統(tǒng)放射肋結(jié)構(gòu)有5個(gè)支座的支反力大于20 000 N，尤其在集中力載荷附近的支座，即支座3、支座8和支座13附近的支座支反力較大，超出支座支反力約束，未能滿足集中力擴(kuò)散設(shè)計(jì)需求。傳統(tǒng)放射肋設(shè)計(jì)方法與本文方法集中力擴(kuò)散結(jié)果對(duì)比如圖 17所示，為了進(jìn)行擴(kuò)散效果的定量對(duì)比，本文定義了集中力擴(kuò)散率φ(0≤φ≤1)：

圖15 傳統(tǒng)放射肋結(jié)構(gòu)有限元模型Fig.15 FE model of traditional radial rib structure

圖17 本文方法與傳統(tǒng)放射肋方法結(jié)果對(duì)比Fig.17 Comparison between results from proposed method and traditional radial rib method

(17)

式中：Fmax表示所有支座中的支反力最大值；F1和F2分別表示集中力完全沒(méi)擴(kuò)散(力都集中在一個(gè)支座)和完全均勻擴(kuò)散(所有支座力相等)時(shí)所有支座支反力的最大值?？芍獙?duì)接環(huán)算例中F1=70 000 N,F2=14 000 N?；谑?17)可計(jì)算得到本文方法的集中力擴(kuò)散效率φ1=89.6%，放射肋方法的擴(kuò)散效率φ2=79.1%。本文方法的擴(kuò)散效率比放射肋方法高10.5%，在集中力擴(kuò)散能力方面具有明顯的優(yōu)勢(shì)。

對(duì)比本文方法結(jié)果(圖10(e))和傳統(tǒng)放射肋結(jié)構(gòu)(圖15)的加筋構(gòu)型可以發(fā)現(xiàn)，兩種加筋構(gòu)型均呈放射狀，表明這類放射狀的加筋構(gòu)型具有較好的集中力擴(kuò)散能力。傳統(tǒng)放射肋結(jié)構(gòu)傳力路徑較為單一，相比之下，采用本文方法可以得到更優(yōu)的傳力路徑，能夠高效地利用材料、避免質(zhì)量冗余，因此具有更優(yōu)集中力擴(kuò)散效率。

3.3 網(wǎng)格變形方法應(yīng)用范圍及優(yōu)勢(shì)

上文對(duì)接環(huán)算例中的加筋回轉(zhuǎn)曲面為柱面，形狀較為規(guī)則，但實(shí)際工程中還存在大量變曲率回轉(zhuǎn)曲面加筋的情況。如圖18(a)所示，考慮回轉(zhuǎn)體母線為曲率連續(xù)變化的任意曲線，其回轉(zhuǎn)曲面模型如圖18(b)所示。針對(duì)此類復(fù)雜結(jié)構(gòu)，常規(guī)加筋建模方法繁瑣、耗時(shí)且精度較低，同時(shí)也難以實(shí)現(xiàn)參數(shù)化。

基于1.2節(jié)中的網(wǎng)格變形方法可對(duì)圖18中的變曲率回轉(zhuǎn)曲面進(jìn)行快速加筋特征提取及模型重構(gòu)。如圖19(a)和圖19(b)所示，只需對(duì)背景網(wǎng)格域和目標(biāo)網(wǎng)格域進(jìn)行訓(xùn)練(算例中包含8280個(gè)有限元節(jié)點(diǎn))，分別得到正向和逆向映射關(guān)系。如圖19(c)和圖19(d)所示，進(jìn)行特征提取時(shí)，首先可基于正向映射關(guān)系將回轉(zhuǎn)曲面展開(kāi)為平面，在平面上可快速、便捷的人工建立加筋特征，進(jìn)而基于逆向映射關(guān)系將平面加筋構(gòu)型映射為回轉(zhuǎn)曲面構(gòu)型，且映射結(jié)果能保證筋條與蒙皮的垂直。

圖18 變曲率回轉(zhuǎn)曲面示意圖Fig.18 Schematic diagram of variable-curvature shell of revolution

圖19 變曲率回轉(zhuǎn)曲面加筋殼網(wǎng)格變形示意圖Fig.19 Schematic diagram of mesh deformation for variable-curvature stiffened shell of revolution

綜上所述，本文提出的網(wǎng)格變形方法主要用于回轉(zhuǎn)曲面加筋拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果的特征重構(gòu)，其主要有兩方面的優(yōu)勢(shì)：首先，便于編程和軟件制作，工程師每次只需向編譯好的程序提供背景網(wǎng)格域和目標(biāo)網(wǎng)格域，即可自動(dòng)完成訓(xùn)練并得到映射關(guān)系；其次，代理模型可自動(dòng)擬合回轉(zhuǎn)曲面與平面的映射關(guān)系，無(wú)需過(guò)多關(guān)注曲面本身的特征，避免了繁瑣的模型處理，將復(fù)雜的曲面問(wèn)題轉(zhuǎn)換為了簡(jiǎn)單的平面操作問(wèn)題。

4 結(jié) 論

1) 提出了一種面向集中力擴(kuò)散的回轉(zhuǎn)曲面加筋拓?fù)鋬?yōu)化方法。首先，建立了一種基于各向異性過(guò)濾的集中力擴(kuò)散拓?fù)鋬?yōu)化方法，可保證拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果滿足回轉(zhuǎn)曲面加筋制造工藝要求。然后，提出了一種基于網(wǎng)格變形技術(shù)的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果模型智能重構(gòu)方法，可以高效準(zhǔn)確地重構(gòu)回轉(zhuǎn)曲面加筋拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果?；趯?duì)接環(huán)算例開(kāi)展研究，驗(yàn)證了所提出方法的適用性和有效性。

2) 討論了不同網(wǎng)格類型與不同支反力約束對(duì)優(yōu)化結(jié)果的影響，并與傳統(tǒng)放射肋設(shè)計(jì)方法進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了所提出方法具有集中力擴(kuò)散效率高、滿足回轉(zhuǎn)曲面加筋制造工藝要求、網(wǎng)格質(zhì)量依賴性低、拓?fù)涮卣髦貥?gòu)高效等優(yōu)點(diǎn)。同時(shí)給出了變曲率回轉(zhuǎn)曲面加筋殼的算例，進(jìn)一步說(shuō)明了網(wǎng)格變形方法的適用性。

后續(xù)研究中，將面向更加復(fù)雜的工程結(jié)構(gòu)形式和約束條件，進(jìn)一步擴(kuò)展所提出的拓?fù)鋬?yōu)化和模型智能重構(gòu)方法。