水泵調度的多階段線性規(guī)劃優(yōu)化

申 林

(江蘇省江都水利工程管理處，江蘇 揚州 225200)

1 引 言

近年來，許多研究都集中在優(yōu)化水泵調度計劃上；隨著能源價格的不斷上漲，抽水的電力成本在配水系統(tǒng)總運行成本中占最大比例。為了最小化成本和最大限度地節(jié)省能源，水泵的調度通常是在接近實時的情況下進行的，這就需要一個計算效率高的算法，能夠快速地確定一個可行的解決方案[1-3]。

根據(jù)所考慮的變量和目標的數(shù)量，優(yōu)化泵的調度問題可能變得非常復雜，尤其是對于大型網絡。在以多個水庫為特征的配水系統(tǒng)(WDSs)中，已經應用了更復雜的技術來生成優(yōu)化的水泵調度計劃。YU等[4]提出了一種基于非線性規(guī)劃的方法，其中使用了一種廣義的、簡化梯度技術來計算減少全網絡仿真次數(shù)的最佳策略。該方法不需要任何網絡簡化，即使需要提高模擬器的效率，也可以用于近實時的應用。線性規(guī)劃(LP)已被證明適用于此應用。LP模型的優(yōu)點是可以快速求解，但要求目標函數(shù)和約束都是線性的。它假定泵站和管網內的運行條件接近線性。線性模型可用于多泵站系統(tǒng)，但其精度和可靠性較差。PASHA等[5]提出了LP優(yōu)化問題，利用能量、泵流量、用戶需求和水箱水位之間的關系將泵站關系線性化。特別是能量消耗被近似為泵站流量和初始水箱水位的線性函數(shù)；然后在單個水箱系統(tǒng)上對LP模型進行了測試，作者指出此方法可以很容易地擴展到更復雜的系統(tǒng)。GIACOMELLO等[6]提出了一種快速的混合優(yōu)化方法，將LP與貪婪算法相結合作為局部搜索方法。前者求解“低復雜度”的水力模型，而后者求解“高復雜度”水力模型：貪婪算法從LP方法識別的水泵調度開始執(zhí)行搜索。他們證明了組合法能夠以更高的計算效率解決實際泵的調度問題。

本文提出了一個確定水泵的最佳調度的方法。該方法應用于從基準Anytown網絡得出的案例研究。為了評估線性規(guī)劃的可靠性，將其與由混合離散動態(tài)尺寸搜索(HD-DDS)算法生成的解進行了比較。由于線性化帶來的誤差，所建立的模型不能保證水泵調度計劃是最優(yōu)解，但它可以提供在實踐中可應用的高質量的解決方案。

2 研究方法及內容

如前所述，水泵調度問題可以表述為優(yōu)化問題，其目標是使能耗成本最小化，同時保持物理和操作約束。優(yōu)化周期被劃分為若干離散控制區(qū)間，電價結構和系統(tǒng)元件特性決定了離散控制區(qū)間的時長越短，分析的準確性越高。然而，決策變量和制約因素的數(shù)量隨著定義的控制區(qū)間數(shù)量的增加而顯著增加，導致對解決方案的計算和內存需求增加。為了減少變量的總數(shù)，可以為每個泵站和時間步長開發(fā)一個單獨的決策變量，該變量與在此期間運行的特定泵組相關[7]。

考慮到以上這些影響因素，本研究將目標函數(shù)定義為泵站流量Qt，而不是單泵狀態(tài)，同時考慮了網絡水力和嵌入系數(shù)ct中的電價，見式(1)。優(yōu)化周期被劃分為1h的間隔。考慮了進入水箱的最高和最低水位，見式(2)；以及泵站負荷的限制，見式(3)。進一步的約束條件可確保優(yōu)化期結束時的水箱水位不低于下一個周期開始時的水位，并且滿足每個控制間隔的水箱質量平衡，見式(4)和式(5)。

(1)

Smin≤St≤Smax

(2)

Qmin≤Qt≤Qmax

(3)

(4)

QtΔt+(St-St-1)A=qtΔt

(5)

式中Qt——未知泵站流量,m3/s；

ct——目標函數(shù)系數(shù)；

qt——已知需求量，m3/s；

A——水箱的表面積，m2；

St——t時刻的水箱水位,m；

St-1——t-1時刻的水箱水位,m；

Δt——優(yōu)化控制間隔,通常定為1h;

Smin——水箱水位的下限,m;

Smax——水箱水位的上限,m;

Qmin、Qmax——與泵站流量有關,m3/s。

式(1)～式(5)表示一個線性模型，在本分析階段，計算了每個時間間隔的最佳泵站流量和水箱水位，但后者未被明確視為決策變量。為了提供調度計劃，將產生的泵站流量轉換為離散泵組合，以提供24h的相似流量。隨后進行了長周期模擬，以驗證所得的水泵調度計劃的可行性。

在求解線性方程組之前，考慮到水箱水位的變化對能耗的影響很小，而需求變化更為敏感，尤其是當泵站直接連接到配水管網時，假設初始水箱水位固定，目標函數(shù)系數(shù)ct為受到能源價格影響的一個系數(shù)，該斜率內插了與水泵調度流量相關的能耗。

該模型運行是通過將EPANET液壓解算器直接連接到MATLAB軟件應用程序來完成的；然后輸出的是與定義良好的邊界條件相關的水泵調度計劃。

2.1 混合離散動態(tài)維搜索算法(HD-DDS)

混合離散動態(tài)維搜索算法(HD-DDS)被用于評估LP可靠性。HD-DDS是一種啟發(fā)式的全局優(yōu)化算法，與遺傳算法相比，其主要優(yōu)點是其搜索能力(即找到接近全局最優(yōu)解的能力)良好，同時計算效率顯著提高。

與大多數(shù)進化優(yōu)化技術不同的是，HD-DDS是在單個解上運行，而不是在一組解上運行。該算法首先根據(jù)概率分布對決策變量進行置換，實現(xiàn)全局搜索。然后，該搜索與專門針對泵調度問題開發(fā)的局部搜索方法耦合，該方法在算法的多個點執(zhí)行。局部搜索單元試圖通過改變單個泵在給定時間間隔的狀態(tài)并重新估值來改進水泵調度計劃。從線性規(guī)劃中得到的調度方案被用來代替隨機初始化，作為HD-DDS優(yōu)化的初始種子解。然后將LP初始解的結果與使用不同隨機種子重復運行HD-DDS所得的結果進行比較。

2.2 測試過程

該方法被應用于從基準Anytown網絡(見圖1)衍生的案例研究中。它由19個接頭、1個水箱、37根管道和1個蓄水池組成，代表唯一的外部水源，四個不同的水泵從中并聯(lián)，向系統(tǒng)的其余部分供水。如圖2所示，用水需求根據(jù)峰值系數(shù)在0.4～1.2之間的需求模式而變化。白天的電費是夜間的兩倍。

圖1 測試配水系統(tǒng)：Anytown

圖2 用水模式

針對所分析的網絡，為了評估目標函數(shù)系數(shù)，對所有水泵組合進行了測試。在所有穩(wěn)態(tài)網絡模擬中，任意設置相同的初始水箱水位(等于最高水位的50%)。這一假設是基于這樣的考慮：與需求變化相比，水箱初始水位的變化對泵站工作點的影響較小。對于兩種需求模式，評估了三種不同水箱初始水位(最大水箱水位的75%、50%和25%)的穩(wěn)態(tài)模擬，得出了泵站排水量和相應的能耗，見圖3。所選初始水位(最大水位的50%)與其他水位之間的變化在泵流量方面約為±1.3%，在能耗方面為±0.5%。

圖3 兩種需求模式下泵流量與能耗的關系

圖4顯示了所有泵組合和需求模式的穩(wěn)態(tài)網絡模擬中與泵站流量相關的能耗。數(shù)據(jù)用線性函數(shù)插值和直線的斜率代表能量和泵送流量之間的比例因子。由于不同需求模式之間的斜率變化不大，因此在本分析中考慮了平均值從而對目標函數(shù)系數(shù)進行了評估。為了保證計算結果的可比性，采用能量函數(shù)的截距表示與可用泵總揚程相關的勢能，來更新通過求解LP問題得到的成本。

圖4 能量與泵流量的關系

3 測試結果與分析

圖5和圖6分別給出了優(yōu)化期間的泵站流量和水箱水位；給出了LP模型解和與導出的進度計劃相關的EPS結果。此外，還給出了用戶需求曲線和電價。油箱在低成本期間加注，而在更昂貴的日間電價期間，油箱幾乎可以排空，此時泵站幾乎可以滿足用戶的全部需求。與衍生計劃相關的成本約為3770元/天。

圖5 LP模型的泵站流量和模擬得出的所有優(yōu)化控制間隔時間表

圖6 LP模型的水箱水位和模擬得出的進度表

與此導出計劃相關的流量必須視為小時平均值：因為可能的組合(見圖4)產生的泵流量最小值高于大多數(shù)的LP模型計算結果。選擇能夠提供更接近流量的泵組合(除了“無泵運行”組合)，并且強制工作時間少于1h，以確保每個低壓控制間隔內的質量平衡，公差合理(約10%)。相反，在整個控制周期內保持泵狀態(tài)為“開”，可能會導致水箱溢流。在這種情況下，液壓解算器(EPANET)關閉泵，可以對泵入系統(tǒng)的水量進行任何控制。案例研究將LP 24h解決方案轉化為間隔15min的計劃，以驗證質量平衡約束是否滿足。

為了評估線性規(guī)劃的可靠性，將其與混合離散動態(tài)維數(shù)搜索(HD-DDS)算法生成的解進行了比較。該算法以1h為間隔運行，因此，先前導出的時間表相應地進行了轉換；簡單地假設相同的泵組合工作1h；與此計劃相關的成本為4790元。從不同的隨機選擇的起始點執(zhí)行了10次不同的優(yōu)化運行。

表1顯示了由HD-DDS算法生成的解決方案，測試了LP導出的調度和作為初始種子解的隨機初始化。與LP計劃初始解決方案得出的結果相關的成本在3753.3元和3931元之間，平均為3846.5元。這些值低于使用隨機初始化的HD-DDS獲得的值。最佳改善出現(xiàn)在運行9中，LP導出的計劃初始解決方案將HD-DDS解決方案提高了11.9%。因此，值得注意的是，間隔15min的時間表的成本非常接近3770元。

表1 不同初始種子的最佳解的比較

4 結論與展望

本文采用線性規(guī)劃的方法研究了水泵調度問題。一旦確定了約束條件和目標函數(shù)系數(shù)，通過求解上述優(yōu)化問題的線性方程組，可以快速得到決策變量：泵流量。然后，將LP解轉化為一個離散的時間表，能夠在24h內提供相同的速率。該步驟揭示了每個控制間隔選擇合適的水泵組合的臨界性。為了克服這個問題，計劃以15min的時間間隔來評估，而不是每小時一次；這種不同的離散化確保了質量平衡約束條件，并被證明是一個很好的解決方案。

因此，LP方法證明了可以采用這種方法快速地確定一個近似的解決方案。將每小時間隔的調度作為初始種子解應用到HD-DDS算法中時，得到的成本比隨機初始化10次不同的優(yōu)化運行所得到的成本低。

為了驗證所提出的方法對實際系統(tǒng)應用的可靠性，還需要進一步的研究，對目標函數(shù)系數(shù)評估所必須執(zhí)行的水泵組合進行更有效的選擇；測試以LP導出的計劃作為種子解，以加速其他優(yōu)化算法。