小扭轉(zhuǎn)映射的擬有效穩(wěn)定性

李 宏 田

(中國(guó)刑事警察學(xué)院基礎(chǔ)部，遼寧 沈陽(yáng) 110854)

1 引言與主要結(jié)果

1977年，Nekhoroshev[1]建立了Hamilton系統(tǒng)的有效穩(wěn)定性理論，與KAM穩(wěn)定性[2-4]不同，他指出近可積Hamilton系統(tǒng)的全部軌道在指數(shù)長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)不會(huì)發(fā)生顯著變化，而KAM穩(wěn)定性是說(shuō)近可積系統(tǒng)的大部分軌道是永恒穩(wěn)定的.然而Nekhoroshev提出的這種長(zhǎng)時(shí)間穩(wěn)定性依賴于陡性條件以及擬凸條件[1]，這使得證明過(guò)程過(guò)于復(fù)雜.2015年，從福仲等[5]考慮用KAM型非退化條件來(lái)代替Nekhoroshev的陡性條件和擬凸條件，并且得到了一個(gè)弱于Nekhoroshev有效穩(wěn)定性的結(jié)論，并將其定義為擬有效穩(wěn)定性.本文繼續(xù)了上述工作，考慮作用變量與角變量不同維情形的小扭轉(zhuǎn)映射，并且在KAM型非退化條件下得到了高維小扭轉(zhuǎn)映射的擬有效穩(wěn)定性定理.

考慮實(shí)解析映射：Jt：Tn×G→Tn×Rm，

(1)

其中：Tn=Rn/Zn為n維環(huán)面；G?Rm是有界開(kāi)集；fε(x，y)=εf(x，y)和gε(x，y)=εg(x，y)為關(guān)于x的1周期函數(shù)；ω，fε和gε在(G×Tn)+δ，δ>0上解析；ε>0為攝動(dòng)參數(shù)；t∈[0，1]為小扭轉(zhuǎn)參數(shù).

則稱(chēng)映射(1)具有擬有效穩(wěn)定性.

定理1.1 如果實(shí)解析映射(1)滿足如下條件：

(A1) 存在M>0，使得

(2)

(A2) Jt在G×Tn上具有相交性；

(A3) 頻率ω(y)具有非退化性，

則映射(1)具有擬有效穩(wěn)定性.

2 近不變環(huán)面性質(zhì)

定理2.1 若映射(1)滿足(A1)—(A2)，對(duì)于任意給定的y0∈G頻率ω(y0)滿足Diophanto條件：

(A3*)

|e2πi〈k，tω(y0)〉-1|≥tα|k|-τ，?k∈Zn0<|k|≤L(κ)，t∈(0，1]，

其中：α，τ>0；

κ

(3)

為常數(shù)；L(κ)為截?cái)嗟碾A數(shù).則存在一個(gè)僅依賴于M，n，α，K1，τ，δ以及κ的常數(shù)ε0>0，使得?ε∈[0，ε0]，都存在(Tn×{y∈G||y|≤K1})+δ上的坐標(biāo)變換E：

(4)

以及Tn×{y∈G||y|≤K1}上的近恒等變換(x，y)=Tj(X，Y)，

j=1，…，N(κ)，使復(fù)合變換E°T1°…°TN(κ)將(1)式化為

(5)

其中

其中：(x(r)，y(r))=Jr(x，y)；c0，c1，c2>0為常數(shù).

2.1 標(biāo)準(zhǔn)化

(6)

這里

(7)

(8)

其中(x，y)∈(Tn×{y∈G||y|≤K1})+δ.顯然f0，g0實(shí)解析，并且滿足

max{‖f0‖+‖g0‖，|ω(y0)|}

(9)

2.2 KAM迭代

(10)

且

(11)

做變換Tj：(X，Y)→(x，y)，

(12)

(13)

(14)

記

(15)

由差分方程有

vj(x+tω(y0)，y)-vj(x，y)=t[gj]L(x，y)，

(16)

(17)

令

由文獻(xiàn)[5]，在Dj+1上有如下估計(jì)：

(18)

(19)

這里Ω*=ΩN，f*=fN，g*=gN.

由文獻(xiàn)[5]，有

(20)

從而，若κ充分小，

|y(r)-y|≤|y-Y|+|y(r)-Y(r)|+|Y(r)-Y|≤c2κ.

并且

3 小扭轉(zhuǎn)映射的擬有效穩(wěn)定性

取τ=n2+n.記

類(lèi)似文獻(xiàn)[6]，有

對(duì)任意y0∈G*，取

α(y0)=max{α|0<α<1，|e2πi〈k，tω(y0)〉-1|≥αt|k|-τ，?k，0≠k∈Zn}，

ε(y0)=α(y0)2(τ+n+4)，Dε(y0)=D(y0，ε).

對(duì)ε∈(0，ε0]，若0<ε≤ε(y0)，由定理2.1，對(duì)任意的(X，Y)∈Dε(y0)×Tn，只要r≤c0exp(ηε-β)，則

|y(r)-y|≤ηεγ，

令

(21)

至此完成了定理1.1的證明.