挖母題衍生一課 建題鏈深度千思

張海東

摘要：本文主要研究初中數(shù)學(xué)章節(jié)復(fù)習(xí)課“一題一課”復(fù)習(xí)方式：一題多變提模型、一題多生題組拓思維和一題多解優(yōu)策略，以問題引領(lǐng)探究為主線串聯(lián)復(fù)習(xí)課，促進(jìn)學(xué)生思維深化和學(xué)科素養(yǎng)提升。

關(guān)鍵詞：一題一課;母題;問題鏈;變式

中圖分類號：A 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：（2021）-33-429

一、從復(fù)習(xí)課現(xiàn)狀反思研究方向

常態(tài)課復(fù)習(xí)課在一線老師憑經(jīng)驗(yàn)上課的慣性思維引導(dǎo)下逐步演變成“練習(xí)課”、“講題課”，雖有練習(xí)的變式或遞進(jìn)，很少從學(xué)生思考解決問題的角度去分析問題，去反思解題，知識網(wǎng)絡(luò)多“告訴”學(xué)生，由此學(xué)生很少去思考習(xí)題背后的知識體系、問題解決過程中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和解法的通性。老師拒絕復(fù)習(xí)展示課——“復(fù)習(xí)課難上，上不出活力，講了多遍學(xué)生還會出錯”，學(xué)生不想上復(fù)習(xí)課——“枯燥，炒冷飯沒胃口”。

反思研究方向：數(shù)學(xué)“教學(xué)過程是一種提出問題、解決問題的持續(xù)不斷的過程” （布魯納），可嘗試以問題引領(lǐng)探究為主線串聯(lián)復(fù)習(xí)課，使章節(jié)主題知識和蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想、學(xué)生活動經(jīng)驗(yàn)依附其上，助力解題方法剖析，融匯思維貫通，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)。

二、指向深度學(xué)習(xí)的“一題一課”復(fù)習(xí)方式研究實(shí)踐，讓復(fù)習(xí)實(shí)效落地。

“一題一課”復(fù)習(xí)課是以精選的一道例題、習(xí)題或一個問題為復(fù)習(xí)主線，挖掘其內(nèi)在價值去“借題發(fā)揮”，組織合理有序的探究活動，達(dá)到復(fù)習(xí)鞏固章節(jié)某類知識或綜合運(yùn)用系列關(guān)聯(lián)知識的教學(xué)目標(biāo)。

波利亞曾說過“從一道有意義但不復(fù)雜的題目，幫助學(xué)生挖掘問題的各個方面，使得通過這道題，就好像通過一道門戶，把學(xué)生引入一個完整的理論領(lǐng)域”，教師應(yīng)立足課標(biāo)，立足教材母題，基于學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)去精選源題，圍繞源題設(shè)計層次性、梯度化、有一定新意的變式題組，并設(shè)計好引導(dǎo)思考的問題鏈，使學(xué)生能從低起點(diǎn)的基礎(chǔ)題開始，沿著梯度習(xí)題和教師搭建的思考腳手架拾級而上，使學(xué)生在問題解決中掌握基礎(chǔ)知識，訓(xùn)練基本技能，積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法。

“一題一課”復(fù)習(xí)課教學(xué)流程一般可設(shè)計為：復(fù)習(xí)目標(biāo)確立呈現(xiàn)源題（母題）學(xué)生解母題回顧知識點(diǎn)師生編擬、拓展變式母題（形成問題鏈）選擇性呈現(xiàn)問題應(yīng)用知識解決問題鏈解題反思建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò)（一題一梳理）提煉思想方法或通法。以上教學(xué)環(huán)節(jié)可重復(fù)使用，或在某幾個環(huán)節(jié)反復(fù)循環(huán)。教師要舍得時間引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)母題情境和知識結(jié)構(gòu)去設(shè)計問題鏈，讓各層學(xué)生在思維發(fā)展最近區(qū)解決對應(yīng)的層次問題，清楚認(rèn)識到解決問題的不同方法與策略，積累解題經(jīng)驗(yàn)。同時串聯(lián)知識點(diǎn)，強(qiáng)化學(xué)生對數(shù)學(xué)知識和思想方法的理解、變通，培養(yǎng)學(xué)生的復(fù)合思維。

（一）一題多變提模型

圍繞一個基本圖形或典型例習(xí)題，對其進(jìn)行條件或圖形或問題背景等內(nèi)容的變化（添加或減少或變更），從類比、拓展、逆向思考等不同角度進(jìn)行變式，使一題衍生成一類題。師生在獲得解決基礎(chǔ)題策略的基礎(chǔ)上，對問題進(jìn)行挖掘（題目的共性）、引申、加工改造和延伸，提煉出解題策略（即模型），引導(dǎo)學(xué)生探究變式題組的解決方法，達(dá)到舉一反三觸類旁通的目標(biāo)。如全等三角形和相似三角形單元復(fù)習(xí)課教學(xué)中圍繞“一線三等角”或“補(bǔ)充判定條件”設(shè)計專題復(fù)習(xí)課。為此教師在教學(xué)預(yù)設(shè)時要進(jìn)一步理清核心知識的內(nèi)涵與外延，以整體觀架構(gòu)單元復(fù)習(xí)的例習(xí)題取向，關(guān)注典型結(jié)構(gòu)特征及體現(xiàn)通性通法的數(shù)學(xué)問題，挖掘知識所蘊(yùn)含的思想方法與育人價值，讓學(xué)生經(jīng)歷知識、方法、經(jīng)驗(yàn)的再認(rèn)識，再生長、再創(chuàng)造的過程，形成以核心知識為生長點(diǎn)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

（二）一題多生題組拓思維

選擇一道基礎(chǔ)題作為復(fù)習(xí)的起點(diǎn)，通過對條件添枝加葉，使題目之間有聯(lián)系又有變化，由易到難引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用知識進(jìn)行循序漸進(jìn)的研究，使每一題的價值都得到提升;或隱去原題的結(jié)論，開發(fā)成開放性問題，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用類比、聯(lián)想等發(fā)散思維，對問題進(jìn)行多角度的探究。將復(fù)習(xí)課常見“教師知識結(jié)構(gòu)+典型例習(xí)題”方式改為“學(xué)生建構(gòu)知識網(wǎng)+師生創(chuàng)編（改編）問題鏈”，從基礎(chǔ)題、中檔題的解答過渡到提升題與綜合題，力求通過題目來夯實(shí)基礎(chǔ)，以題得法，以題悟道，讓學(xué)生經(jīng)歷更多的解題過程，體會簡單的源問題引發(fā)編織出的精彩知識網(wǎng)絡(luò)，使學(xué)生解題后獲得相應(yīng)的解題經(jīng)驗(yàn)，達(dá)到思維的“低開高走”。

數(shù)學(xué)教學(xué)離不開問題的變化，在“一題多生”方式的復(fù)習(xí)課教學(xué)中基于教材的研讀與課標(biāo)的理解，從學(xué)生“學(xué)”的角度，從教學(xué)目標(biāo)的結(jié)果逆向設(shè)計問題，確立達(dá)成目標(biāo)的具體做法（即教學(xué)方式與教學(xué)過程），設(shè)計符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律和“最近發(fā)展區(qū)”的問題，將學(xué)生理解作為教學(xué)問題設(shè)計的重中之重。教學(xué)重點(diǎn)一方面在引導(dǎo)學(xué)生在原有問題的基礎(chǔ)上進(jìn)行發(fā)散，提出新的關(guān)聯(lián)問題，另一方面要在學(xué)生思考解決問題的方向和思路方法上適當(dāng)引導(dǎo)。

案例1《二次函數(shù)》單元復(fù)習(xí)課：

問題設(shè)計意圖解讀：二次函數(shù)是初中代數(shù)學(xué)習(xí)的一個難點(diǎn)，該章知識點(diǎn)多，習(xí)題融合的知識也多，如何將知識整合在問題中，通過學(xué)生自主應(yīng)用知識解決問題的過程中理通知識，提升學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)是章節(jié)復(fù)習(xí)課預(yù)設(shè)時必須思考并解決的問題。在本案例中，我以一道學(xué)生解決過的母題為基礎(chǔ)，融合考查要求設(shè)置或讓學(xué)生參與編擬問題，衍生出系列題組。其中問題1考查學(xué)生二次函數(shù)的解析式知識的掌握與理解層次，需要學(xué)生根據(jù)條件合理選擇適宜的解析式類型（以此梳理二次函數(shù)重點(diǎn)知識：二次函數(shù)的三種解析式及對應(yīng)的條件，形成知識結(jié)構(gòu)思維導(dǎo)圖），也為后續(xù)關(guān)聯(lián)問題的設(shè)計與編擬創(chuàng)下知識的基礎(chǔ)。問題2是一個開放性問題，考查學(xué)生對二次圖像與性質(zhì)的理解，引導(dǎo)學(xué)生從圖像特征，函數(shù)性質(zhì)等不同角度獲得自己理解的信息，讓各層次學(xué)生都有話可說。問題3、4、5是學(xué)生編擬問題，其中問題3學(xué)生從圖像入手解決問題（關(guān)鍵看各點(diǎn)離對稱軸距離的遠(yuǎn)近）;問題4、5是考查二次函數(shù)圖像平移的規(guī)律和實(shí)質(zhì)的理解與應(yīng)用。學(xué)生較快應(yīng)用知識解決（并提煉出知識點(diǎn)結(jié)成網(wǎng)）。問題6是學(xué)生對同伴編擬問題基礎(chǔ)上的變式。問題7、8、10考查二次函數(shù)與方程不等式聯(lián)系，讓學(xué)生用不同方法解決，可利用函數(shù)解析式得到的不等式、方程，轉(zhuǎn)化為解不等式或方程解決，更應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生利用圖像直觀分析圖像解決問題，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化思想。問題7、10教師引導(dǎo)下創(chuàng)編，問題8教師追問下改編，題與題關(guān)聯(lián)、延展或變式。問題9是特殊的三角形與二次函數(shù)結(jié)合的中檔思維題，在原圖基礎(chǔ)上學(xué)生要分點(diǎn)P在CE的上方和下方兩種情況討論，根據(jù)點(diǎn)P坐標(biāo)分別表示出PE、CE長，由條件構(gòu)造方程求解，并注意范圍，既要分類討論，又考查數(shù)形結(jié)合。題延伸的關(guān)聯(lián)性問題較多，涉及一次函數(shù)章節(jié)的不同內(nèi)容（除實(shí)際應(yīng)用沒有關(guān)聯(lián)到），而且問題組的思維層次也不同，本題講評主體是中上生。問題11在問題9解答基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生借助圖中兩個函數(shù)解析式表示出點(diǎn)P、Q坐標(biāo)，獲得線段PQ的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)解決問題。問題13是本節(jié)復(fù)習(xí)課拓展延伸題，引導(dǎo)學(xué)生回顧問題12 解決思路，通過構(gòu)造直線PQ轉(zhuǎn)化成兩個較易表示的三角形，由上題線段PQ代數(shù)式表示出△MNQ的面積，進(jìn)而獲得函數(shù)關(guān)系式。

（三）一題多解優(yōu)策略

教師選擇一個策略開放性典型習(xí)題（學(xué)生選擇知識點(diǎn)不同，策略也一樣），使不同層次學(xué)生探究出多元解決途徑，用自己方法解決問題。教學(xué)中，教師要給與學(xué)生充足時間去思考，選擇知識點(diǎn)去探究解題思路，或根據(jù)問題情境結(jié)合知識、學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)自主設(shè)計方法，然后展示學(xué)生解法（板演圖形），學(xué)生交流分享方案，教師以參與者去追問學(xué)生應(yīng)用的知識點(diǎn)。在多種方法呈現(xiàn)后，教師要引導(dǎo)學(xué)生比較不同解法并進(jìn)行歸類，從中找出最優(yōu)解法，在發(fā)散學(xué)生思維的廣度的同時，多法提優(yōu)提升學(xué)生的思維精度。。

案例2：鍋蓋半徑的測量方法探究

《直線與圓的位置關(guān)系》章節(jié)復(fù)習(xí)中，設(shè)置如下問題情境：小明家的木質(zhì)圓形鍋蓋使用過程中破損，需要重新讓木工師傅重新制作一個一模一樣的鍋蓋。木工需要知道原來鍋蓋的半徑，請你幫木工師傅設(shè)計一種方案測量鍋蓋的半徑。

教師出示引導(dǎo)性問題：確定破損圓的半徑，關(guān)鍵是確定什么？你選擇哪一個知識可以解決這一問題？請作出示意圖，圖中相關(guān)線段或角可以用a，b，r.α，β，γ等表示。

學(xué)生呈現(xiàn)不同策略方案，教師將不同方案（圖形結(jié)合知識點(diǎn)、必要的求解過程）展示在黑板上，并追問對應(yīng)知識點(diǎn)（板書），形成不同解題思路的思維導(dǎo)圖（如圖）。

教學(xué)解讀：圓知識涉及九上《圓的基本性質(zhì)》與九下《直線與圓的位置關(guān)系》兩章節(jié)，若《圓的基本性質(zhì)》單元復(fù)習(xí)課中設(shè)置圓半徑測量問題，學(xué)生能想到的方法有限，置于《直線與圓的位置關(guān)系》復(fù)習(xí)時，學(xué)生可選擇更多樣化的方案，促進(jìn)學(xué)生在問題分析、解決中建構(gòu)圓的知識網(wǎng)絡(luò)。教學(xué)中多數(shù)學(xué)生首先想到的是圓的基本性質(zhì)（三點(diǎn)定圓）和垂徑定理推論、圓周角定理推論去設(shè)計測量方案（方案1、2、3）。也有學(xué)生參考教材中的例題和教輔資料中的習(xí)題想到根據(jù)切線的性質(zhì)得到測量方法5、6。策略4和7是教師巡視指導(dǎo)后學(xué)生提出的新測量方法，二者的共性都要轉(zhuǎn)化為直徑是斜邊的直角三角形，策略4應(yīng)用等角轉(zhuǎn)化三角函數(shù)求解直徑，策略7是構(gòu)造相似三角形。課堂教學(xué)方式以學(xué)生小組合作、師生互動方式展開，測量的相關(guān)數(shù)據(jù)由學(xué)生根據(jù)測量方案的圖形共同研討確定，直徑（半徑）的計算過程由學(xué)生自主思考完成（教師板書）。最后教師引導(dǎo)學(xué)生比較測量方案，選擇最合適、方法最自然的幾種測量方案，并說明理由。一個生活問題衍生出多種測量方法，喚醒了學(xué)生頭腦中章節(jié)知識，把圓模塊知識整合成一個完整的知識網(wǎng)絡(luò)圖，也讓學(xué)生活用中體驗(yàn)到“數(shù)學(xué)有用有價值”。

三.指向深度學(xué)習(xí)的復(fù)習(xí)課，我們怎么做——實(shí)踐研究的反思

復(fù)習(xí)課是否有效不在于學(xué)生做了多少題，做了哪些題，而是我們一線教師在“下水做題”基礎(chǔ)上從學(xué)生角度去針對性選題，從課堂學(xué)生參與度、課堂教學(xué)的生成問題等全方位統(tǒng)籌預(yù)設(shè)，凸顯問題設(shè)計;在課堂里重視問題引領(lǐng)，注重以題理知識，以題生成新問題，帶著學(xué)生從知識的記憶鞏固走向探究問題的“根”，從淺層思維走向高階思維，才有可能使常態(tài)復(fù)習(xí)課不是“簡單復(fù)習(xí)”，而是從“基于答案”走向“通過答案”的深度復(fù)習(xí)。

參考文獻(xiàn)

1. 鄭曉燕.基于“一題一課”的初中數(shù)學(xué)變式教學(xué)例析——用“三角形相似比”解決動點(diǎn)路徑長問題〔J〕 理科考試研究：2019.3

2.劉國祥. “一課一題”：撬動深度學(xué)習(xí)的教學(xué)智慧〔J〕 數(shù)學(xué)通訊： 2019年第11期（下半年）