用于光電望遠(yuǎn)鏡機(jī)械諧振抑制的控制算法

李 欣，馬文禮，周文琳，羅 君，錢俊璋

(1.中國科學(xué)院光電技術(shù)研究所，四川 成都 610209；2.中國科學(xué)院大學(xué),北京 100049)

0 引 言

光電望遠(yuǎn)鏡是一種精密光學(xué)儀器，廣泛應(yīng)用于天文學(xué)、航空和航天技術(shù)等領(lǐng)域。伺服控制系統(tǒng)是光電望遠(yuǎn)鏡的重要組成部分，而望遠(yuǎn)鏡機(jī)械系統(tǒng)的低頻機(jī)械諧振制約著望遠(yuǎn)鏡伺服控制系統(tǒng)跟蹤精度和抗干擾性能的提升[1]，例如VLT望遠(yuǎn)鏡的軸系機(jī)械共振頻率為7.2 Hz[2]。一般而言，控制系統(tǒng)的速度環(huán)的帶寬只能是機(jī)械諧振頻率的1/3～1/6[3]。

除機(jī)械諧振外，控制系統(tǒng)還會受到死區(qū)、摩擦、風(fēng)擾[4]等的各種干擾。為了抑制這些干擾，人們又提出了各種控制方法，包括LQG[5]、SMC[6]和H∞[7]控制等，然而這些控制算法不便于調(diào)試，沒有得到廣泛應(yīng)用。在眾多方法中，加速度反饋法既能抑制機(jī)械諧振，又能提高抗干擾性能，實(shí)際運(yùn)用較多。

自抗擾控制(active disturbance rejection control,ADRC)由韓京清研究員提出[8]，經(jīng)線性化后，得到廣泛的應(yīng)用。該方法將機(jī)械諧振、死區(qū)、摩擦、風(fēng)擾等各種干擾統(tǒng)一當(dāng)作“總擾動”來處理，通過擴(kuò)張狀態(tài)觀測器(ESO)來觀測和補(bǔ)償總擾動，使被控對象趨近于理想的被控對象，控制器設(shè)計(jì)變得簡單。文獻(xiàn)[9～11]采用ADRC實(shí)現(xiàn)了控制系統(tǒng)的帶寬超過機(jī)械諧振頻率，結(jié)果表明ADRC抑制機(jī)械諧振的效果比加速度反饋法好，是機(jī)械諧振抑制的新方法。

1 望遠(yuǎn)鏡控制系統(tǒng)模型

望遠(yuǎn)鏡控制系統(tǒng)有兩個自由度，即方位軸系和俯仰軸系，如圖1所示。方位軸系和俯仰軸系都由永磁同步電動機(jī)、編碼器和電機(jī)驅(qū)動器組成。

圖1 望遠(yuǎn)鏡控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

望遠(yuǎn)鏡軸系可以簡化為二質(zhì)量模型進(jìn)行分析[12]。設(shè)電機(jī)的轉(zhuǎn)動慣量為JM，負(fù)載的轉(zhuǎn)動慣量為JL，軸系的剛度系數(shù)為Ks，阻尼比為bs，TM為電機(jī)產(chǎn)生的扭轉(zhuǎn)力矩，ωM為電機(jī)轉(zhuǎn)速。電流環(huán)簡化為電機(jī)的力矩常數(shù)kT，則對應(yīng)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為

(1)

方程(1)的反諧振頻率和諧振頻率分別為

(2)

當(dāng)?shù)皖l段時s→0，JM和JL之間的連接可以看作是純剛性連接，式(1)可以近似為

(3)

當(dāng)高頻段時s→∞，JM和JL之間的連接為柔性連接，JL無法跟隨輸入，相當(dāng)于負(fù)載與電機(jī)之間被脫開。式(1)可以近似為

(4)

從圖2可以看出，系統(tǒng)在反諧振頻率處系統(tǒng)的幅值迅速衰減，相角迅速增大為超前相角。在諧振頻率處幅值迅速增大，而相角迅速減小，導(dǎo)致系統(tǒng)的帶寬無法提升。曲線l1和l2之間的間距的大小由JM和JL的比重決定，JL比重越大，幅頻曲線在高頻段抬升越多，控制難度越大。

2 控制算法設(shè)計(jì)

本文采用傳統(tǒng)的串級控制結(jié)構(gòu)，位置環(huán)采用分段式控制器，速度環(huán)采用ADRC，為進(jìn)一步提高跟蹤精度采用了速度前饋控制。

1)位置環(huán)控制器設(shè)計(jì)

為了減小超調(diào)，提高系統(tǒng)的快響性，在位置控制器采用了分段式PI控制器，算法如式(5)所示

(5)

式中Error為位置誤差，Kp1為誤差大于等于0.5時比例環(huán)節(jié)系數(shù)，Kp2為誤差小于0.5時比例環(huán)節(jié)系數(shù)，Ki為積分環(huán)節(jié)系數(shù)。

2)速度環(huán)ADRC控制器設(shè)計(jì)

根據(jù)式(1)可以得出如下公式

(6)

將式(6)兩邊同時進(jìn)行兩次積分可以得到

y′=b0u+f(·)

(7)

其中，b0=kt/Jm，

將式(7)寫成狀態(tài)空間的表達(dá)形式為

(8)

將式(8)再擴(kuò)展一維可以得到

(9)

(10)

(11)

3)抑制機(jī)械諧振原理分析與對比

首先對ADRC抑制機(jī)械諧振的原理從頻域的角度進(jìn)行分析，其次將其與加速度反饋法進(jìn)行對比闡述其獨(dú)特的工作原理。

速度環(huán)ADRC原理框圖如圖3所示，系統(tǒng)受到的“總擾動”被通過反饋進(jìn)行補(bǔ)償，修正了原始被控對象。

圖3 速度環(huán)ADRC的原理框圖

當(dāng)b0=kt/JM時，根據(jù)Mason增益公式可以得到

(12)

圖4 被ESO補(bǔ)償過后的被控對象與原始被控對象的波德圖

加速度反饋法是抑制機(jī)械諧振常用的手段之一，理想的加速度反饋法的原理框圖如圖5所示，其中加速度計(jì)用微分加二階低通來代替，JMest和kTest分別為JM和kT的估算值，r為加速度計(jì)的帶寬，a為反饋增益。

圖5 理想的加速度反饋

由圖5可以得到

(13)

圖6 加速度反饋法抑制機(jī)械諧振的原理

從圖3和圖5的對比可以看出：aESO和aAFC是相等的。其區(qū)別是ESO從aESO(總加速度)中減去了au(控制量所產(chǎn)生的加速度)，將au看作是“已知加速度”，將aESO-au作為系統(tǒng)所受到的“總擾動”進(jìn)行補(bǔ)償，將整個控制信號分成了“控制量”和“擾動補(bǔ)償量”兩個通道，簡化了控制器設(shè)計(jì)。因此，ADRC與加速度反饋具有一定的相似性。

通過圖4和圖6的對比可以看出：采用ESO與采用加速度反饋法抑制機(jī)械諧振的原理不同。ESO抑制機(jī)械諧振的原理是“虛擬的”降低了負(fù)載端的轉(zhuǎn)動慣量，抬升了幅頻曲線低頻段的幅值。加速度反饋法抑制機(jī)械諧振的原理是“虛擬的”提高了電機(jī)端的轉(zhuǎn)動慣量，壓低了幅頻曲線高頻端的幅值。因此，ADRC是一種獨(dú)特的機(jī)械諧振抑制方法。

3 實(shí)驗(yàn)與結(jié)果

為了驗(yàn)證以上控制算法，本文搭建了由一臺小型望遠(yuǎn)鏡、電機(jī)驅(qū)動器和望遠(yuǎn)鏡控制單元組成的實(shí)驗(yàn)平臺，系統(tǒng)采樣率為1 000 Hz。圖7為實(shí)測與辨識軸系波德圖。

圖7 實(shí)測被控對象模型與擬合模型

本文對PI和ADRC的速度環(huán)頻率特性進(jìn)行了對比，響應(yīng)的波德圖如圖8(a)所示。由圖8(a)可知PI和ADRC的速度閉環(huán)帶寬分別為32 rad/s和48 rad/s。根據(jù)文獻(xiàn)[11]的研究結(jié)果，望遠(yuǎn)鏡速度環(huán)帶寬可以更高，但是由于采用的是電機(jī)端反饋，會導(dǎo)致電機(jī)端和負(fù)載端無法同時穩(wěn)定。為了降低負(fù)載端的振動，沒有進(jìn)一步提高速度環(huán)的帶寬。位置回路閉環(huán)波德圖如圖8(b)所示。ADRC和PI的位置閉環(huán)帶寬分別為30 rad/s和22 rad/s。望遠(yuǎn)鏡速度環(huán)閉環(huán)階躍響應(yīng)如圖8(c)所示，可以看出ADRC算法的速度環(huán)響應(yīng)速度更快，且無超調(diào)。望遠(yuǎn)鏡位置階躍響應(yīng)如圖8(d)所示。速度環(huán)采用ADRC后，位置環(huán)的帶寬得以提高。速度閉環(huán)跟蹤正弦信號的誤差如圖8(e)所示，ADRC速度跟蹤效果也好于傳統(tǒng)PI控制器。位置閉環(huán)跟蹤正弦信號的誤差如圖8(f)所示，本文提出的控制算法誤差減小了10.3″(PV)，具有更好的跟蹤性能。

圖8 速度環(huán)和位置環(huán)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果

4 結(jié) 論

本文提出了一種高精度光電望遠(yuǎn)鏡的控制算法，該控制算法采用了串級結(jié)構(gòu)，結(jié)合了分段式PI，ADRC及前饋控制三種方法。并從頻域角度探討了ADRC抑制機(jī)械諧振的原理，分析得出該方法能夠有效抑制低頻中段的機(jī)械諧振。對于高頻段的機(jī)械諧振，ADRC的抑制效果有限。最后，在實(shí)際望遠(yuǎn)鏡上驗(yàn)證了該控制算法的有效性。