基于改進(jìn)模糊控制的并聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動路徑跟蹤研究*

張麗君,段昌盛,赫桂梅

(1.江西財經(jīng)大學(xué) 信息管理學(xué)院,江西 南昌 330032；2.華中科技大學(xué) 電子信息與通信學(xué)院,湖北 武漢 430074； 3.武漢華夏理工學(xué)院 土木建筑工程學(xué)院,湖北 武漢 430223)

0 引 言

隨著社會科技的進(jìn)步,機(jī)器人的智能化水平也越來越高。并聯(lián)機(jī)器人是機(jī)器人種類中的一個分支,主要由基座平臺、運(yùn)動支鏈、液壓驅(qū)動系統(tǒng)、控制器及傳感器等裝置構(gòu)成。并聯(lián)機(jī)器人具有剛度大、負(fù)載能力強(qiáng)、驅(qū)動力穩(wěn)定等優(yōu)點(diǎn),廣泛應(yīng)用于農(nóng)業(yè)、醫(yī)療、海洋及航空等許多領(lǐng)域[1,2]。并聯(lián)機(jī)器人的核心部分是控制系統(tǒng),其設(shè)計好壞直接影響機(jī)器人的智能化程度和運(yùn)動精度。

近年來,為了提高并聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動路徑跟蹤精度,國內(nèi)外許多學(xué)者對并聯(lián)機(jī)器人的研究也在不斷深入。例如：文獻(xiàn)[3,4]研究了并聯(lián)機(jī)器人模糊PID系統(tǒng),采用Solidworks創(chuàng)建并聯(lián)機(jī)器人三維模型,設(shè)計了模糊PID控制器,建立并聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動仿真模型,提高了并聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動的穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[5,6]研究了并聯(lián)機(jī)器人神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)滑?？刂葡到y(tǒng),建立了并聯(lián)機(jī)器人結(jié)構(gòu)簡圖,設(shè)計了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)滑模控制器,通過MATLAB軟件對并聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動軌跡進(jìn)行仿真,提高了并聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動軌跡跟蹤精度。文獻(xiàn)[7,8]研究了并聯(lián)機(jī)器人滑模控制系統(tǒng),建立了并聯(lián)機(jī)器人結(jié)構(gòu)示意圖,設(shè)計了滑?？刂破?對控制器的穩(wěn)定性進(jìn)行了分析,對并聯(lián)機(jī)器人位姿的動態(tài)響應(yīng)進(jìn)行了測試,具有較好的控制精度。雖然過去研究的并聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動軌跡跟蹤精度有所提高,但是,在復(fù)雜未知環(huán)境中運(yùn)動時,容易受到不確定因素的干擾,導(dǎo)致跟蹤精度下降。

對此,本文建立了并聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動機(jī)構(gòu)簡圖,利用歐拉—拉格朗日方程得到并聯(lián)機(jī)器人系統(tǒng)的動力學(xué)方程,為了提高并聯(lián)機(jī)器人在復(fù)雜環(huán)境中的抗干擾能力,采用混合算法優(yōu)化模糊比例—積分—微分(proportion—integration—differentiation,PID)控制器,將優(yōu)化后的控制器用于機(jī)器人運(yùn)動路徑跟蹤,最后采用MATLAB軟件對并聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動路徑進(jìn)行仿真,對比優(yōu)化前和優(yōu)化后的跟蹤精度,為深入研究并聯(lián)機(jī)器人控制系統(tǒng)的抗干擾能力提供參考價值。

1 并聯(lián)機(jī)器人

1.1 機(jī)器人運(yùn)動學(xué)分析

并聯(lián)機(jī)器人結(jié)構(gòu)簡圖如圖1所示,根據(jù)圖1的幾何結(jié)構(gòu),對于每個運(yùn)動鏈,向量方程表達(dá)式為

圖1 并聯(lián)機(jī)器人結(jié)構(gòu)

AiBi+BiCi=AiP+PCi

(1)

點(diǎn)Ci的坐標(biāo)可通過運(yùn)動鏈AiBiCi關(guān)系式得到,如下所示

(2)

式中xci和yci為點(diǎn)Ci的坐標(biāo);xai和yai為點(diǎn)Ai的固定坐標(biāo);l為中間手臂BiCi的長度。

通過使用末端執(zhí)行器的坐標(biāo),如圖2所示,可以得到點(diǎn)Ci的坐標(biāo)為

圖2 末端執(zhí)行器

(3)

根據(jù)式(2)、式(3)可以得到

(4)

式中T2i-1和T2i分別為沿x和y方向的約束方程。

(5)

式中r為連接末端執(zhí)行器(點(diǎn)P)的中心到關(guān)節(jié)Ci的線段PCi的長度;φi為r和x方向之間的角度。

關(guān)于末端執(zhí)行器是等邊三角形,r值可以通過三角形變長得到。根據(jù)等邊三角形的幾何形狀,可以得到角度φ1=-π/6,φ2=π/2,φ3=7π/6。

通過求解上述基于xp,yp和φp參數(shù)的方程組,得到了構(gòu)成剛性機(jī)器人逆運(yùn)動學(xué)方程式為

(6)

通過求解該方程組,得到并聯(lián)機(jī)器人的直接運(yùn)動學(xué)方程如下

(7)

式中σ1=cos(θ1)×cos(θ2);σ2=cos(θ2)×sin(θ1);σ3=cos(θ1)×sin(θ2);σ4=sin(θ1+θp);σ5=cos(θ1+θp);σ6=sin(θ2+θp);σ7=cos(θ2+θp)。

1.2 機(jī)器人運(yùn)動學(xué)分析

根據(jù)拉格朗日方程[9,10]可以得到機(jī)器人動能項(xiàng)如下

(8)

式中TC,TP,TE分別為并聯(lián)機(jī)器人的圓柱、中臂和末端執(zhí)行器的動能;IP,IC為質(zhì)量慣性矩;θ′i為第i個圓柱體的角速度;mp為每個中臂的質(zhì)量;lp為圓柱體質(zhì)心和中臂之間距離;ρi為活塞質(zhì)心和接頭Ai之間距離;ρ′i為活塞沿第i個中臂軸線的平動速度;me為末端執(zhí)行器的質(zhì)量;Ie為末端執(zhí)行器質(zhì)量慣性矩;x′p,y′p分別為質(zhì)心P沿x軸和y軸的平移速度;φp為末端執(zhí)行器關(guān)于點(diǎn)P的角速度。

基于上述方程,拉格朗日函數(shù)定義為：L=T。利用歐拉—拉格朗日方程,得到系統(tǒng)的動力學(xué)方程為方程為

(9)

式中F1,F2和F3分別為并聯(lián)機(jī)器人三個棱柱作用力;bi為作用力的系數(shù)。

上述方程式可寫成如下

M(q)q″+C(q,q′)=H(q)U

(10)

式中q=[xpypφp]T為系統(tǒng)坐標(biāo)組成的向量;M(q)為慣性矩陣;C(q)為科里奧利力矢量;H(q)為輸入矩陣系數(shù);U=[F1F2F3]T為力組成的向量。

2 控制器優(yōu)化設(shè)計

2.1 混合算法

混合算法通常由二種及多種算法組成,本文采用粒子群算法和遺傳算法兩種算法組成。粒子群算法速度和位置更新公式[11]為

(11)

式中w為慣性權(quán)重系數(shù);c1,c2為粒子速度更新參數(shù);r1,r2為隨機(jī)數(shù);Vt,Vt+1分別為粒子迭代t次和t+1次的速度;Xt,Xt+1分別為粒子迭代t次和t+1次的位置;Pt和Gt分別為局部和全局最優(yōu)解。

粒子群算法慣性權(quán)重系數(shù)大多采取線性遞減方式,容易造成粒子陷入局部最優(yōu)解范圍。為了改變這種現(xiàn)狀,慣性權(quán)重系數(shù)采用S形函數(shù),其公式為

w=(wmax-wmin)/(1+e(2λ×t/T-λ))

(12)

式中wmax,wmin分別為慣性權(quán)重系數(shù)最大和最小調(diào)節(jié)系數(shù);t,T分別為迭代次數(shù)的當(dāng)前和最大值;λ為速度變化調(diào)節(jié)系數(shù)。

在粒子群算法中添加遺傳算法的交叉和變異操作,能夠快速地搜索到全局最優(yōu)解。交叉操作公式[12]為

(13)

式中r為隨機(jī)數(shù);Amk,Ank分別為第m和n個個體地最優(yōu)染色體。

變異操作公式[12]為

(14)

式中Amax,Amin分別為Aij地上界限和下界限;a為可調(diào)參數(shù)。

2.2 模糊PID控制器優(yōu)化

傳統(tǒng)PID控制方程式[13]為

(15)

式中kp,ki,kd分別為比例、積分和微分系數(shù);e(t)為誤差。

控制器輸出誤差定義為

e(t)=q(t)-qr(t)

(16)

式中q(t)為參考輸入值;qr(t)為實(shí)際輸出值。

PID控制調(diào)節(jié)參數(shù)計算方程式[14]為

kp=k′p+Δkp,ki=k′i+Δki,kd=k′d+Δkd

(17)

式中kp,ki,kd為待整定值;Δkp,Δki,Δkd為整定值。

模糊控制器[15,16]分為三個部分：1)模糊化處理,處理輸入量;2)模糊推理,處理規(guī)則庫中的經(jīng)驗(yàn)知識;3)解模糊,處理輸出量。并聯(lián)機(jī)器人控制系統(tǒng)采用混合算法優(yōu)化模糊PID控制器,其控制結(jié)構(gòu)如圖3所示。

圖3 并聯(lián)機(jī)器人控制結(jié)構(gòu)

3 運(yùn)動仿真分析

通過MATLAB軟件對并聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動路徑進(jìn)行仿真,并且與優(yōu)化前運(yùn)動路徑進(jìn)行對比和分析,仿真參數(shù)如表1所示。

表1 仿真參數(shù)

假設(shè)并聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動路徑方程式定義為

(18)

仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖4所示。假設(shè)在無干擾波形環(huán)境中,則并聯(lián)機(jī)器人位移運(yùn)動路徑跟蹤誤差如圖4(a)所示,角位移運(yùn)動路徑跟蹤誤差如圖4(b)所示。假設(shè)在有干擾波形(τ(t)=sin 2πt)環(huán)境中,則并聯(lián)機(jī)器人位移運(yùn)動路徑跟蹤誤差如圖4(c)所示,角位移運(yùn)動路徑跟蹤誤差如圖4(d)所示。

圖4 仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果

4 結(jié)束語

針對并聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動路徑跟蹤誤差較大、控制系統(tǒng)自適應(yīng)反應(yīng)速度較慢問題,設(shè)計了模糊PID控制器,采用混合算法優(yōu)化模糊PID控制器。

1)在無干擾波形環(huán)境中,優(yōu)化前和優(yōu)化后,并聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動位移和角位移路徑跟蹤誤差都較小,但是,優(yōu)化前,并聯(lián)機(jī)器人控制系統(tǒng)自適應(yīng)調(diào)節(jié)反應(yīng)速度較慢,而優(yōu)化后,并聯(lián)機(jī)器人控制系統(tǒng)自適應(yīng)調(diào)節(jié)反應(yīng)速度較快。

2)在有干擾波形環(huán)境中,采用模糊PID控制器,并聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動路徑跟蹤誤差較大,自適應(yīng)調(diào)節(jié)速度較慢,而采用混合算法優(yōu)化模糊PID控制方法,并聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動路徑跟蹤誤差較小,自適應(yīng)調(diào)節(jié)速度較快。

3)采用MATALB軟件對并聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動路徑跟蹤誤差進(jìn)行仿真,可以從理論上驗(yàn)證優(yōu)化前與優(yōu)化后的控制系統(tǒng)抗干擾能力,為研發(fā)人員提供數(shù)據(jù)參考,從而提高控制系統(tǒng)的輸出精度。