2021年美國物理奧賽電磁學(xué)試題分析與求解①

朱瑞林

(南京師范大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，江蘇 南京 210023)

1 引言

物質(zhì)的基本結(jié)構(gòu)及其相互作用一直是物理研究與教學(xué)的核心問題，近年來在全國中學(xué)生物理競賽(CPhO)、美國物理奧賽(USAPhO)和國際物理奧賽(IPhO)的試題中考查了粒子、磁單極和物質(zhì)結(jié)構(gòu)的簡化模型等，這類問題涉及到的物理概念極具前沿性，求解的關(guān)鍵在于弄清題意、準(zhǔn)確建模。對(duì)物理競賽試題進(jìn)行深入分析，有利于對(duì)問題舉一反三，促進(jìn)對(duì)物理概念的理解。本文以2021年美國物理奧賽的一道電磁學(xué)試題為例，結(jié)合命題組提供的參考答案，運(yùn)用圖像法和量綱分析法求解。希望可以加深學(xué)生對(duì)角動(dòng)量、磁矩、電磁場能量和粒子簡化模型的理解，并能熟練運(yùn)用圖像法和量綱分析法解決問題。

2 試題呈現(xiàn)

設(shè)電子的電荷量為-e、質(zhì)量為m、磁矩為μ，本題將探討能否用一個(gè)經(jīng)典的模型解釋電子的靜止能量E0=mc2。假設(shè)電子是一個(gè)電荷均勻分布的半徑為R的薄球面，而一個(gè)平面電流閉合回路的磁矩總是等于電流與回路面積的乘積。對(duì)于電子，其磁矩可以認(rèn)為是由帶電球面圍繞穿過球心的固定軸旋轉(zhuǎn)而產(chǎn)生。

(4) 根據(jù)靜止能量E0和精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)，粗略估計(jì)電子儲(chǔ)存的磁場能。提示：假設(shè)球體內(nèi)部具有大致恒定的磁場大小，球體外部的磁場忽略不計(jì)。

(5) 分析電子的電場和磁場貢獻(xiàn)的總能量，與靜止能量E0進(jìn)行對(duì)比。

3 解析

該題涉及幾個(gè)物理學(xué)中重要的物理量，如角動(dòng)量、磁矩、電場能和磁場能等，需要學(xué)生深刻理解物理概念和各物理量之間的聯(lián)系，這個(gè)題目也要求學(xué)生能準(zhǔn)確建模、掌握物理圖像、熟悉微分和量綱分析法。

第(1)小問的常規(guī)求解方法是根據(jù)磁矩的定義進(jìn)行計(jì)算。為了便于讀者理解常規(guī)求解方法以及后面的角動(dòng)量與磁矩的關(guān)系，筆者在圖1中描繪了電子的均勻帶電旋轉(zhuǎn)薄球面模型圖像。

圖1

對(duì)于第(5)小問，當(dāng)精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)α遠(yuǎn)小于1時(shí)，第(3)小問中計(jì)算的電場總能量和第(4)小問計(jì)算的磁場總能量遠(yuǎn)小于電子靜止能量E0，因此電子的經(jīng)典均勻帶電旋轉(zhuǎn)薄球面模型無法解釋電子的靜止能量。

4 關(guān)于電子自旋的一個(gè)小故事

這道題給出了電子的一個(gè)經(jīng)典的均勻帶電球體模型的解釋，顯然不符合物理事實(shí)。但這個(gè)模型在歷史上實(shí)實(shí)在在出現(xiàn)過，1922年德國物理學(xué)家施特恩和格拉赫進(jìn)行了一項(xiàng)實(shí)驗(yàn)，將高溫爐中的銀原子從一個(gè)狹縫中導(dǎo)出，通過一個(gè)不均勻的磁場，最后在屏上形成了幾條清晰的黑斑，僅從銀原子的軌道角動(dòng)量出發(fā)，無法解釋實(shí)驗(yàn)結(jié)果。1925年德國年輕物理學(xué)家克勒尼希提出：電子類似于一個(gè)帶電球體，存在自轉(zhuǎn)，以此來解釋實(shí)驗(yàn)結(jié)果。之后與物理學(xué)家泡利交流后，受到泡利的嚴(yán)厲批評(píng)，泡利指出：為了產(chǎn)生足夠的角動(dòng)量，電子在球體表面必須超光速運(yùn)動(dòng)，因而違反了愛因斯坦狹義相對(duì)論，克勒尼希因而沒有發(fā)表他的結(jié)果。同時(shí)期荷蘭物理學(xué)家烏倫貝克和古德斯米特也提出相同的想法，并指出電子有新的角動(dòng)量量子數(shù)，即自旋，自旋量子數(shù)為為電子的內(nèi)稟性質(zhì)。通過自旋量子數(shù)的引入，成功地解釋了施特恩-格拉赫實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，最終烏倫貝克和古德斯米特獲得了電子自旋的發(fā)現(xiàn)權(quán)。

5 反思與小結(jié)

在尋找物理量之間的聯(lián)系時(shí)，創(chuàng)建物理圖像有時(shí)候能起到事半功倍的作用，能深化學(xué)生對(duì)物理概念的理解。比如在第(1)小問求解磁矩時(shí)，利用圖1能使學(xué)生意識(shí)到磁矩、角動(dòng)量都是矢量，這兩個(gè)矢量都沿著轉(zhuǎn)軸Z方向，兩者一定成比例關(guān)系，經(jīng)過簡單的推導(dǎo)發(fā)現(xiàn)，比例系數(shù)恒定。此外通過圖像法，能夠把宏觀量進(jìn)行微分處理，先分解成無窮小量，再對(duì)無窮小量求和，既方便學(xué)生進(jìn)行微分、積分計(jì)算，也便于對(duì)物理概念的理解。在第(2)小問中引入了普朗克常數(shù)，會(huì)發(fā)現(xiàn)磁矩是量子化的，磁矩有一個(gè)最小的單元。此試題也體現(xiàn)了量綱分析的重要性，比如第(2)小問可以通過海森堡的不確定性原理來估算電子的半徑。試題的第(4)小問提示球體內(nèi)部具有大致恒定的磁場大小，如果考慮到無窮小環(huán)帶上電荷做圓周運(yùn)動(dòng)需要向心力的話，當(dāng)建立等式后(同時(shí)考慮線速度和角速度的關(guān)系)，可以證明薄球面內(nèi)各點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度正比于角速度和總質(zhì)量、反比于總電荷量，因而與圓電流得到的磁感應(yīng)強(qiáng)度結(jié)論相矛盾，這也反映出該試題在編制中存在欠妥之處。

本題采用了經(jīng)典的帶電球面模型，事實(shí)上精密的粒子物理實(shí)驗(yàn)指出電子是一個(gè)類點(diǎn)粒子，其半徑小于10—18m，電子的結(jié)構(gòu)仍然是物理學(xué)研究的前沿問題。