數(shù)控機(jī)床直線同步電動(dòng)機(jī)磁懸浮系統(tǒng)反饋線性化控制的研究 *

孫云鵬 藍(lán)益鵬 徐澤來(lái) 雷 城

(沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué)電氣工程學(xué)院,遼寧 沈陽(yáng) 110870)

驅(qū)動(dòng)數(shù)控機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)的磁懸浮直線同步電動(dòng)機(jī),因?yàn)閷?dǎo)軌與進(jìn)給工作臺(tái)之間無(wú)摩擦，具有速度和精度高，使用壽命長(zhǎng)等優(yōu)勢(shì)，被廣泛用于高速高精數(shù)控機(jī)床等領(lǐng)域[1]。然而由于可控勵(lì)磁直線磁懸浮同步電動(dòng)機(jī)的氣隙磁場(chǎng)受勵(lì)磁電流與電樞電流之間的影響，存在著很強(qiáng)的電磁耦合，故對(duì)CELMSSM控制系統(tǒng)將產(chǎn)生不利影響。因此，如何提高磁懸浮系統(tǒng)控制系統(tǒng)的解耦效果和控制精度的分析與研究具有重要意義。

為了抑制耦合干擾，提高解耦效果，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)解耦控制系統(tǒng)進(jìn)行了大量的研究[2-3],并在該領(lǐng)域取得了一定的成果。文獻(xiàn)[4]在傳統(tǒng)比例積分(proportional integral，PI)控制的基礎(chǔ)上，引入動(dòng)態(tài)PI交叉解耦控制器，使系統(tǒng)對(duì)參數(shù)變化的敏感度降低，但由于多個(gè)控制器之前存在相互影響，將會(huì)增加控制器參數(shù)設(shè)計(jì)的難度。文獻(xiàn)[5-6]電流反饋解耦控制(current feedback decoupling control, CFDC)策略以及文獻(xiàn)[7-8]引入電流偏差解耦控制(current deviation decoupling control, CDDC)策略，即通過(guò)反饋電流和轉(zhuǎn)速對(duì)耦合部分進(jìn)行計(jì)算并對(duì)交直軸電壓進(jìn)行前饋補(bǔ)償，有利于提高系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。但由于受參數(shù)變化的影響較大，因此該方法的穩(wěn)定性還有待提高[9]。

反饋線性化控制(feedback linearization control, FLC)是一種非線性系統(tǒng)控制方法，在具有反饋線性化的仿射非線性系統(tǒng)得到應(yīng)用[10]。該方法以微分幾何為基礎(chǔ)，通過(guò)求解解耦坐標(biāo)變換矩陣和狀態(tài)反饋矩陣，使被控對(duì)象的非線性系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化為輸入量與輸出量之間呈線性關(guān)系的線性系統(tǒng)模型，從而實(shí)現(xiàn)非線性系統(tǒng)的解耦控制[11]。隨著FLC理論的不斷及發(fā)展，該控制方法迅速應(yīng)用于異步電機(jī)混合勵(lì)磁同步電機(jī)等交流伺服系統(tǒng)中[12-13]。

為此，本文以CELMSSM傳統(tǒng)電流控制系統(tǒng)為基礎(chǔ)，根據(jù)非線性系統(tǒng)反饋線性化理論，得出了基于反饋線性化的電流解耦控制器，利用Matlab/Simulink平臺(tái)進(jìn)行仿真，驗(yàn)證了所提控制策略的可行性和有效性。

1 可控勵(lì)磁磁懸浮直線同步電動(dòng)機(jī)的數(shù)學(xué)模型

可控勵(lì)磁直線磁懸浮同步電動(dòng)機(jī)由動(dòng)子和定子兩部分組成。動(dòng)子由鐵心和三相交流繞組組成，定子由定子鐵心和直流勵(lì)磁繞組組成。CELMSSM結(jié)構(gòu)如圖1所示。

假設(shè)滿足以下條件：

(1)假設(shè)電機(jī)鐵心材料不飽和，不考慮渦流和磁滯帶來(lái)的影響。

(2)電樞繞組與勵(lì)磁繞組所產(chǎn)生的氣隙磁場(chǎng)正弦分布，忽略高次諧波影響。

(3)通入的電樞電流為三相對(duì)稱。

則在d-q坐標(biāo)系下，可控勵(lì)磁直線同步電動(dòng)機(jī)的數(shù)學(xué)模型由磁鏈方程，電壓方程等組成[14]。其中磁鏈方程為：

(1)

式中:ψd、ψq分別為電樞繞組直、交軸磁鏈，ψf為勵(lì)磁磁鏈；Ld為直軸電感，Ld=Lmd+Lσ；Lmd為直軸電樞反應(yīng)電感；Lq為交軸電感，Lq=Lmq+Lσ；Lmq為交軸電樞反應(yīng)電感，Lσ為電樞繞組漏感；Lf為勵(lì)磁繞組自感，Lf=Lmd+Lfσ；Lfσ為勵(lì)磁繞組漏感；id為電樞繞組直軸電流，iq為電樞繞組交軸電流，if為勵(lì)磁繞組電流。電壓方程為：

(2)

式中：ud、uq分別為電樞繞組直軸、交軸電壓，uf為勵(lì)磁繞組電壓；Rs為電樞繞組電阻，Rf為勵(lì)磁繞組電阻；v為直線電動(dòng)機(jī)運(yùn)行速度；為電機(jī)動(dòng)子極距；f為電源供電頻率，v=2f。

電磁推力方程為：

(3)

式中：第二項(xiàng)(Ld-Lq)idiq是由凸極效應(yīng)造成的磁阻變化在電樞反應(yīng)磁場(chǎng)作用下產(chǎn)生的電磁推力。

懸浮力方程為：

(4)

水平方向運(yùn)動(dòng)方程：

(5)

垂直方向的運(yùn)動(dòng)方程：

(6)

式中：m是電動(dòng)機(jī)的相數(shù)；N是電樞繞組每項(xiàng)串聯(lián)的匝數(shù)；kw1是電樞繞組的基波系數(shù)；bE是動(dòng)子鐵心的有效寬度；p是極對(duì)數(shù)；δ為懸浮高度；Kc為卡特系數(shù)；Kd、Kq為直軸和交軸電樞反應(yīng)系數(shù)，Kd=2.55×10-5，Kq=1.9×10-5；M為動(dòng)子及負(fù)載質(zhì)量；F1為水平方向上的負(fù)載阻力；Fdx為水平方向上齒槽效應(yīng)、端部效應(yīng)等不確定性擾動(dòng)力的合力；Fdy為懸浮方向上的不確定性繞動(dòng)力。

式(4)中，磁懸浮力產(chǎn)生很復(fù)雜，一是勵(lì)磁磁場(chǎng)對(duì)動(dòng)子鐵心的吸引力。二是在垂直方向，由于通入直流和三相電后，兩個(gè)磁場(chǎng)會(huì)相互作用。三是電樞反應(yīng)對(duì)定子磁軛的吸引力。

2 仿射非線性系統(tǒng)

考慮輸入多輸出系統(tǒng)(MIMO)中輸入輸出維數(shù)相等的系統(tǒng)，其一般表達(dá)式為：

(5)

式中：狀態(tài)變量x·Rn；輸入向量函數(shù)u·Rm；輸出向量函數(shù)y·Rm；f為n維充分光滑向量場(chǎng)，列向量gi(i=1，…，m)為Rn中光滑向量場(chǎng)；hi(i=1,…，m)是充分光滑的標(biāo)量函數(shù)。

將單輸入單輸出系統(tǒng)(SISO)寫成仿射非線性的形式，有：

(6)

式中：x·Rn，u·R和y·R分別是系統(tǒng)的輸入和輸出，f(x)、g(x)是Rn上充分光滑的向量場(chǎng)。

對(duì)式(6)的系統(tǒng)輸出方程進(jìn)行求導(dǎo)，表達(dá)式如式(7)所示：

(7)

子系統(tǒng)相對(duì)階的求解公式如式(8)所示：

(8)

當(dāng)相對(duì)階r等于系統(tǒng)階數(shù)n時(shí)，可以進(jìn)行精確線性化，有式(9)所示的坐標(biāo)變換：

(9)

對(duì)式(9)的每一項(xiàng)求導(dǎo)，有：

(10)

引入虛擬輸入量v，并令：

(11)

因此，原非線性系統(tǒng)可以線性化為式(12)所示的積分串聯(lián)的形式：

(12)

引入的虛擬輸入量v可以按照線性系統(tǒng)理論進(jìn)行設(shè)計(jì)，由式(10)可解得系統(tǒng)的反饋控制律如式(13)所示。

(13)

3 數(shù)控機(jī)床直線同步電動(dòng)機(jī)磁懸浮系統(tǒng)反饋線性化

由式(1)～(6)可得出CELMSSM數(shù)學(xué)模型的狀態(tài)方程為：

(14)

其中Ld=Lq，因此可將式(14)簡(jiǎn)化為

(15)

(16)

其中，

由f(X)的表達(dá)式可以看出動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型中各參數(shù)之間存在耦合，這是造成系統(tǒng)非線性的主要原因。

由于該系統(tǒng)為三輸入三輸出系統(tǒng)，求該系統(tǒng)的相對(duì)階需要對(duì)id，v以及δ這3個(gè)輸出量分別進(jìn)行求導(dǎo)。首先對(duì)id求導(dǎo)：

(17)

由于式中存在輸入量ud、uf，因此求導(dǎo)結(jié)束，相對(duì)階數(shù)r1=1。

對(duì)v進(jìn)行求導(dǎo)，

(18)

由于式(18)不存才輸入量，因此需對(duì)v再次求導(dǎo)，可得

(19)

由于式中存在輸入量uq、uf，求導(dǎo)結(jié)束，相對(duì)階數(shù)r2=2。

同理對(duì)δ進(jìn)行連續(xù)求導(dǎo)可得，

(20)

(21)

由于式中存在輸入量uq、uf，求導(dǎo)結(jié)束，相對(duì)階數(shù)r3=3。

其中，

因此系統(tǒng)總的相對(duì)階r=r1+r2+r3=6，系統(tǒng)的相對(duì)階等于系統(tǒng)的階數(shù)。因此，系統(tǒng)可實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋線性化。

根據(jù)反饋線性化理論，尋找系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)型，對(duì)該系統(tǒng)進(jìn)行坐標(biāo)變換，選取新的狀態(tài)變量：

(22)

引入新的輸入變量：

(23)

取輸入為：

(24)

原非線性系統(tǒng)變?yōu)椋?/p>

(25)

狀態(tài)空間方程形式可表示為：

(26)

(27)

(28)

由式(26)～(28)可知，此時(shí)，輸出量與輸入量為線性2關(guān)系，原非線性動(dòng)態(tài)解耦成直軸電流子系統(tǒng)、水平速度子系統(tǒng)以及懸浮高度子系統(tǒng)的3個(gè)獨(dú)立線性子系統(tǒng)，輸入c1、c2、c3分別獨(dú)立控制直軸電流id、水平速度v以及懸浮高度δ，系統(tǒng)變?yōu)榫€性能控系統(tǒng)。

4 基于最優(yōu)極點(diǎn)配置的控制器設(shè)計(jì)

將式(24)代入式(16),有

(29)

再根據(jù)最優(yōu)極點(diǎn)配置法設(shè)計(jì)c1、c2、c3。按照極點(diǎn)配置法c1、c2、c3是自定的反饋增益，為了使系統(tǒng)跟隨給定id*、v*、δ*，設(shè)e1=id*-id、e2=v*-v、e3=δ*-δ,選擇的反饋增益必須使得系統(tǒng)在原點(diǎn)穩(wěn)定。

因而選?。?/p>

(30)

q1、q2、q3、q4、q5、q6為配置的反饋極點(diǎn)。當(dāng)q1、q2、q3、q4、q5、q6均大于零時(shí),將式(30)代入式(29)有

(31)

顯然可以根據(jù)勞斯判據(jù)驗(yàn)證系統(tǒng)穩(wěn)定。由公式可以看出，輸出id、v、δ受到給定id*、v*、δ*和e1、e2、e3的控制。

可控勵(lì)磁磁懸浮直線同步電動(dòng)反饋線性化解耦控制框圖如圖2所示。

5仿真結(jié)果與分析

利用Matlab/Simulink建立CELMSSM仿真模型，對(duì)CELMSSM反饋線性化控制系統(tǒng)進(jìn)行仿真研究，電機(jī)參數(shù)見(jiàn)表1。

表1 電機(jī)參數(shù)

速度給定初始幅值為0 m/s，0.5 s發(fā)生階躍，階躍幅值為1 m/s；懸浮高度初始幅值為3 mm，給定值2.5 mm；給定d軸電流為0 A，空載啟動(dòng)。當(dāng)系統(tǒng)以1 m/s的速度穩(wěn)定運(yùn)行1.5 s時(shí)，在水平方向突加100 N的負(fù)載擾動(dòng)，2.5～3 s時(shí)垂直方向突加40 N的負(fù)載擾動(dòng)。由第4章式(29)、式(30)、式(31)和相關(guān)理論，再由經(jīng)驗(yàn)以及試湊法可得到極點(diǎn)配置參數(shù)[q1q2q3q4q5q6]=[4 10 24 18 62 192]。傳統(tǒng)PI控制系統(tǒng)與輸入輸出反饋線性化控制系統(tǒng)仿真結(jié)果如圖3～5所示。

由圖3可知，輸入輸出線性化控制與傳統(tǒng)PI控制相比在啟動(dòng)時(shí)，直軸電流震蕩較小，當(dāng)施加負(fù)載擾動(dòng)時(shí)電流波動(dòng)較小。由圖4可知，水平方向上，輸入輸出線性化控制在啟動(dòng)時(shí)，水平速度無(wú)超調(diào)，水平推力峰值較小，無(wú)震蕩，當(dāng)施加負(fù)載擾動(dòng)時(shí)速度和水平推力的變化較小，恢復(fù)時(shí)間更短。由圖5可知，在垂直方向上，輸入輸出線性化控制在啟動(dòng)時(shí)，懸浮高度變化較小，當(dāng)對(duì)系統(tǒng)突加負(fù)載擾動(dòng)時(shí)，幅值變化小，懸浮力變化小。與傳統(tǒng)PI控制相比，當(dāng)施加水平負(fù)載擾動(dòng)時(shí)，懸浮高度變化更??；當(dāng)施加垂直負(fù)載擾動(dòng)時(shí)，速度變化更小，因此反饋線性化控制能夠減小系統(tǒng)耦合，提高系統(tǒng)控制性能。

仿真是對(duì)電機(jī)在實(shí)際運(yùn)行過(guò)程的模擬，例如，當(dāng)系統(tǒng)以1 m/s的速度穩(wěn)定運(yùn)行，在1.5 s時(shí)在水平方向突加100 N的負(fù)載擾動(dòng)，類似機(jī)床加工過(guò)程的進(jìn)給過(guò)程，隨著進(jìn)刀量的變化負(fù)載由0躍變到100 N。 垂直方向在2.5～3 s時(shí)突加40 N的負(fù)載擾動(dòng)，用于模擬懸浮方向負(fù)載的變化過(guò)程。

6 結(jié)語(yǔ)

為了提高CELMSSM控制性能，保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，對(duì)直軸電流id、水平速度v以及懸浮高度δ進(jìn)行線性化，將原有的系統(tǒng)分成獨(dú)立的3個(gè)線性子系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的反饋線性化?；谧顑?yōu)極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)電流、速度和懸浮高度控制器。通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)得出，在加入反饋線性化解耦控制器后，各輸出分量的抖動(dòng)減小，靈敏性提高，系統(tǒng)的動(dòng)、靜態(tài)性能得到顯著改善，仿真結(jié)果驗(yàn)證了控制策略的有效性。