考慮個體差異的高速壓力機下死點精度可靠性建模與評估 *

陳 浩 張 蔚

(常州紡織服裝職業(yè)技術(shù)學(xué)院機電學(xué)院， 江蘇 常州 213164)

隨著科技的發(fā)展，產(chǎn)品的可靠性水平得到了不斷的提高。因此，采用傳統(tǒng)的方法獲得高可靠性產(chǎn)品的故障數(shù)據(jù)，需要較高的試驗成本與較長的試驗時間，對于高速壓力機來說也存在此類問題[1-2]。值得慶幸的是近年來傳感器、信號采集等技術(shù)的不斷發(fā)展，使得獲取產(chǎn)品性能數(shù)據(jù)成為了可能。這也推動了可靠性的研究從宏觀的故障時間角度發(fā)展到具體的性能退化角度，產(chǎn)品性能退化信息得到了充分的挖掘[3]。

在性能退化方面，針對不同的研究對象學(xué)者提出了許多模型[4-9]。這些可靠性模型可分為3類：基于維納過程的可靠性模型、基于伽瑪過程的可靠性模型以及基于逆高斯過程的可靠性模型。其中維納過程最早被用來描述產(chǎn)品的退化過程，并且應(yīng)用較為廣泛。幾十年來學(xué)者們的研究積累了豐碩的成果：Whitmore等人[10]在考慮退化數(shù)據(jù)測量誤差的基礎(chǔ)上建立了基于維納過程的可靠性評估模型；Si X S等[11-12]運用基于維納過程的可靠性評估模型預(yù)測了陀螺儀的剩余壽命；Bian L等[13-14]和Liao H等[15]將貝葉斯方法引入該模型進行了拓展性研究；徐敬勃等[16]結(jié)合工程經(jīng)驗及已有的地面壽命試驗數(shù)據(jù)，采用維納過程退化模型對動量輪產(chǎn)品的可靠性進行建模，并對其壽命進行預(yù)估與分析；李鋒等[17]建立了基于維納過程的剩余壽命在線預(yù)測模型，實現(xiàn)了依據(jù)退化數(shù)據(jù)求解剩余壽命分布，并在此基礎(chǔ)上制訂了起豎液壓缸的預(yù)防性維修方案；趙洪利等[18]基于發(fā)動機排氣溫度裕度(EGTM)數(shù)據(jù)，建立了隨機維納模型，使用嚴(yán)酷度因子修正模型，并利用該模型進行了航空發(fā)動機性能衰退研究；管強等[19]將維納過程應(yīng)用于步進應(yīng)力加速退化試驗，并利用客觀貝葉斯方法獲得了模型參數(shù)的無信息先驗，且進行了模擬分析揭示了客觀貝葉斯方法的優(yōu)良性。還有學(xué)者運用維納過程對末制導(dǎo)炮彈控制艙光耦[20]、光伏逆變器[21]等產(chǎn)品進行了壽命評估研究。在這些研究中也有學(xué)者考慮了個體差異性對可靠性評估模型的影響，最值得一提的是Peng C Y等[22]首次將個體差異作為隨機效應(yīng)引入到基于維納過程的退化可靠性模型中，認(rèn)為不同的個體有相同的波動參數(shù)，但每個產(chǎn)品的漂移參數(shù)不同，服從正態(tài)分布；劉小平等[23]在考慮了齒輪泵退化特征隨時間的波動性和個體差異性的基礎(chǔ)上，提出了一種基于二元維納過程的小樣本齒輪泵可靠壽命預(yù)測方法；但兩者都沒有考慮初始狀態(tài)的差異性。本文首先基于維納過程建立了高速壓力機下死點精度(以下簡稱精度)退化可靠性評估模型，以隨機變量的形式將初始狀態(tài)差異性和性能退化過程差異性引入可靠性評估模型，并給出基于貝葉斯理論的參數(shù)評估方法。最后，采用所建立的模型對下死點精度退化數(shù)據(jù)進行了分析，完成了基于精度退化數(shù)據(jù)的可靠性評估，評估結(jié)果表明了所建模型的有效性與可行性。

1 可靠性評估模型的建立

1.1 基于維納過程的高速壓力機動態(tài)精度可靠性評估模型

由于高速壓力機動態(tài)精度的退化過程與微粒擴散的過程比較類似；因此，可采用維納過程對高速壓力機性能退化規(guī)律進行描述。維納過程可表示為[24]

x(t)=μ(t)+σB((t))

(1)

式中：x(t)為在t時刻高速壓力機的性能指標(biāo)；μ為漂移速度；(t)為時間尺度變換函數(shù)；σ為擴散速度；B(·)為標(biāo)準(zhǔn)布朗運動，維納過程是布朗運動的數(shù)學(xué)模型。根據(jù)布朗運動的特點可知性能退化增量△x(t)服從正態(tài)分布N(μ△(t),σ2△(t))。退化失效定義為當(dāng)性能參數(shù)對時間變化達(dá)到預(yù)先規(guī)定的失效標(biāo)準(zhǔn)D時，便認(rèn)為產(chǎn)品發(fā)生失效，對應(yīng)的時間即為產(chǎn)品的壽命。將基于維納過程的可靠性評估模型記作Rs模型，其可靠度函數(shù)為

(2)

式中：Φ(?)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積分布函數(shù)。

1.2 考慮個體差異的高速壓力機動態(tài)精度可靠性評估模型

由于制造誤差的影響，高速壓力機的初始精度存在差異，即存在初始狀態(tài)差異性。假設(shè)初始狀態(tài)特征參數(shù)為x0，如果初始狀態(tài)x0的個體差異量△x0遠(yuǎn)小于失效閾值D(D=L-x0，L為失效標(biāo)準(zhǔn)值)，則初始狀態(tài)x0的個體差異可以不用考慮；否則該問題不容忽視。假設(shè)初始狀態(tài)與退化過程相互獨立，即x0差異性對上文模型的參數(shù)μ△(t)和σ2△(t)沒有影響。記x0的概率密度函數(shù)為fx0，可得到考慮初始狀態(tài)個體差異性的可靠性評估模型(計作Rx0模型)的可靠度函數(shù)，具體表達(dá)式為

(3)

除了初始狀態(tài)的差異性以外，高速壓力機性能退化過程也表現(xiàn)出個體差異性。因此還需要考慮性能退化過程差異的影響。假設(shè)高速壓力機精度退化過程的個體差異只影響分布的尺度參數(shù)，而不影響其形狀參數(shù)。換句話說，采用漂移布朗運動過程描述產(chǎn)品不同樣本的退化過程時，其表現(xiàn)出不同的尺度參數(shù)和相同的形狀參數(shù)。因此，將漂移速度參數(shù)μ看作一個隨機變量，假設(shè)其概率密度函數(shù)為fμ，可得到考慮退化過程個體差異性的可靠性評估模型(計作Rμ模型)的可靠度函數(shù)，具體表達(dá)式為

(4)

綜合考慮初始狀態(tài)與退化過程二者的個體差異性，還可以到得到綜合的可靠性評估模型(計作Rμx0模型)的可靠度函數(shù)，具體表達(dá)式為

(5)

2 可靠性評估模型的參數(shù)估計

設(shè)有m個樣本在不同時刻對其精度退化的特征量進行測試，共計測試了n+1次，測得第i樣本的第j次的性能退化的特征量為xi,j，精度退化量增量為m×n矩陣

(6)

其中：△xi,j=xi,(j+1)-xi,j(i=1,2,…,m；j=1,2,…,n)。以Rμ模型為例對式(6)的數(shù)據(jù)進行建模時，根據(jù)模型的定義可知△xi,j獨立且服從正態(tài)分布，記為△xi,j～N(μ△(t),σ2△(t))，并記μ=(μ1,μ2,...,μm)，Rμ模型的參數(shù)向量可記為θ。假設(shè)X表示觀測的所有樣本的退化信息，可得到

(7)

再根據(jù)貝葉斯理論，便可得到Rμ模型參數(shù)的聯(lián)合后驗分布

p(X,μ|θ)∝π(θ)L(X,μ|θ)

(8)

式中：p為后驗分布，π(θ)是參數(shù)集合θ的聯(lián)合先驗分布。由于難以獲得上式的解析表達(dá)式，因此采用MCMC仿真的方法抽取后驗分布模型參數(shù)的樣本值，然后可獲取模型未知參數(shù)的估計值和概率分布情況。

基于貝葉斯理論的精度退化數(shù)據(jù)分析與可靠性評估的基本框流程如圖1所示。采用經(jīng)驗或以往的數(shù)據(jù)確定先驗分布，在無先驗信息的情況下可采用大區(qū)間的均勻分布，同時對性能退化數(shù)據(jù)以似然函數(shù)形式表示，并通過貝葉斯理論將先驗分布和似然函數(shù)表示出后驗分布；然后基于MCMC方法對后驗分布進行抽樣并不斷更新模型參數(shù)的先驗分布，直至完成訓(xùn)練；最后，再進行抽樣確定未知參數(shù)的后驗分布，完成參數(shù)估計與可靠性評估。

3 高速壓力機精度退化可靠性評估

為獲取高速壓力機退化信息，對其精度退化過程進行跟蹤監(jiān)測，測試裝置如圖2所示，所測得數(shù)據(jù)如圖3所示。

在參考了文獻[25]的基礎(chǔ)上，本文假設(shè)初始狀態(tài)x0服從正態(tài)分布，即x0～N(μ0,σ0)；μ服從截尾正態(tài)分布，即μ～TN(ω,k-2)。二者的概率密度函數(shù)分別為

(9)

(10)

將式(9)、(10)分別代入式(3)～(5)，便可分別得到可靠性評估模型Rμ、RX0和Rμx0的可靠度函數(shù)，如式(11)～(13)所示。

(11)

(12)

(13)

為確定模型中的未知參數(shù)，首先使用OpenBUGS軟件對模型未知參數(shù)的后驗分布進行了MCMC抽樣，再基于后驗樣本得到模型的參數(shù)估計結(jié)果，如表1所示。

表1 參數(shù)估計結(jié)果

根據(jù)用戶加工電機定轉(zhuǎn)子硅鋼片的精度要求，確定了幾個下死點精度失效標(biāo)準(zhǔn)值L為0.020 mm、0.025 mm、0.030 mm、0.035 mm和0.040 mm。再結(jié)合表1的參數(shù)值便可得到各評估模型的可靠度曲線，如圖4所示。

由圖4可知，在不同的失效標(biāo)準(zhǔn)L下4個模型的評估結(jié)果Rs、Rμ、Rx0和Rμx0之間都存在一定的差異，為了進行進一步比較，定義一個參量Tx如下

Tx=t(Rx2)-t(Rx1)，Rx1≥Rx2

(14)

式中：t(Rx)表示可靠性度為Rx所對應(yīng)的時間，Rx1=(1+x)/2，Rx2=(1-x)/2，0≤x≤1，Tx表示可靠度Rx1與Rx2對應(yīng)時間之差，如圖5所示；由于Rx1≥Rx2，所以t(Rx1)≤t(Rx2)，因此有Tx≥0。

選取T0.9來比較各模型的評估結(jié)果，將各模型的T0.9值統(tǒng)計得到圖6，并且選取常規(guī)維納過程模型評估結(jié)果Rs的T0.9值作為參考，得到其他3個模型與之的差值如圖7所示。由圖6和圖7可知，隨著失效閾值L的增大4個模型的T0.9值也逐漸增大，即隨著失效閾值L的增大壽命分布愈加分散，并且常規(guī)維納過程模型的評估結(jié)果Rs的T0.9值最小，即該模型評估結(jié)果表現(xiàn)出的壽命分布最為集中；Rμ模型在L較小時與Rs模型結(jié)果較為接近，隨著L的增大Rμ模型T0.9值比Rs模型T0.9值越來越大，即隨著L的增大與Rs模型相比Rμ模型評估結(jié)果表現(xiàn)出的壽命分布愈加分散。與Rμ模型相比，Rx0表現(xiàn)出相反的特點，隨著L的增大Rx0模型與Rs模型評估結(jié)果愈加接近。另外，Rμx0模型相對Rs模型的T0.9差值是Rμ模型和Rx0模型相對Rs模型的T0.9差值之和，即Rμx0模型綜合了Rμ模型和Rx0模型的對評估結(jié)果的影響，是兩個模型疊加的結(jié)果。

通過上述分析可知，所建立的4個模型都能對高速壓力機的精度進行可靠性評估，Rμ模型能夠考慮退化過程差異性因素，Rx0模型能夠考慮初值狀態(tài)差異性因素，而Rμx0模型則是充分考慮了退化過程差異性與初始狀態(tài)差異性兩個因素。并且隨著失效閾值的增大，退化過程差異性對可靠性的評估影響逐漸增大，初值狀態(tài)差異性對可靠性的評估影響逐漸減小。

4 結(jié)語

在基于維納過程的可靠性評估模型的基礎(chǔ)上，分別考慮了初始狀態(tài)差異性與退化過程差異性兩個因素，建立了Rμ模型、Rx0模型以及綜合二者的Rμx0模型，并基于貝葉斯理論給出了模型參數(shù)的估計方法。運用所建立的模型對高速壓力機的精度數(shù)據(jù)進行了可靠性分析，給出了模型參數(shù)估計結(jié)果，并且完成了高速壓力機性能退化可靠性評估。對所建立的4個模型評估結(jié)果進行了比較，結(jié)果表明所建立的可靠性評估模型都可以完成高速壓力機動態(tài)精度的退化進行可靠性評估，Rμ模型能夠考慮退化過程差異性因素，Rx0模型能夠考慮初值狀態(tài)差異性因素，而Rμx0模型則是充分考慮了退化過程差異性與初始狀態(tài)差異性兩個因素。另外隨著失效閾值的增大，退化過程差異性對可靠性評估的影響逐漸增大，初值狀態(tài)差異性對可靠性的評估影響逐漸減??；隨著失效閾值的減小，退化過程差異性對可靠性評估的影響逐漸減小，初值狀態(tài)差異性對可靠性的評估影響逐漸增大。