獨立驅動電動汽車模型參考自適應穩(wěn)定性控制

李家林，奧 迪，王 楊，熊 銳

（1. 廣東工業(yè)大學 機電工程學院，廣州 510006，中國；2. 澳門大學 科技學院，澳門 999078，中國；3. 吉林大學汽車仿真與控制國家重點實驗室，長春 130012，中國）

四輪獨立驅動電動汽車 (electric vehicles, EV)[1]不僅節(jié)能環(huán)保，而且可以通過輪轂電機將驅動力矩和制動力矩直接快速地傳遞給4個車輪，準確地識別出車輪的速度、扭矩、車輪側角等優(yōu)勢，有助于提高車輛行駛過程中的側向穩(wěn)定性[2-7]和駕駛安全性。

據統計[8]，在2019年中國交通事故死亡人數中，機動車交通事故死亡人數約5.7萬人，其中汽車交通事故死亡人數約4.3萬人。因此，為減少由于車輛失控而導致交通事故的數量和嚴重性，對駕駛控制技術研究現狀[9]進行深入分析總結，很多研究學者提出了各種不同的控制器[10-12]來提高汽車穩(wěn)定性。

文獻[13]提出了一種不完全依賴被控對象模型準確性的方法，將模糊控制應用于非線性系統。但該方法過于依賴專家經驗，實用性有待進一步拓展。文獻[14]提出了一種模型預測的控制方法，其動態(tài)性能好，對于模型的精度要求低，但由于系統模型實時迭代計算復雜，難以保證控制器的實時性。文獻[15]提出了一種在對抗外部干擾有明顯作用的非奇異快速終端滑?？刂品椒?，但在控制過程中，由于驅動力矩高頻抖振，進而引發(fā)系統高頻抖振現象，從而導致驅動電機的疲勞磨損[16]，降低控制器性能。但以上文獻中并未考慮系統參數的不確定性的影響，因此本文通過自適應控制來降低系統參數的不確定性。

針對汽車穩(wěn)定性控制領域，文獻[17]考慮到車輛主動前輪轉向和縱向滑移率，通過設計自適應率來控制制動力分配給各個車輪，以達到車輛穩(wěn)定狀態(tài)。文獻[18]利用模型參考算法中的自適應律來估計車輛前后輪側偏剛度的變化，以確?？刂破鞯聂敯粜?，提高車輛橫向動力學的自適應控制。

文獻[19]提出了一種新型的自適應隨機映射神經網絡控制算法，使用該算法應用于主動前輪轉向，能夠快速適應參數時變的被控系統。在實際應用中，百度Apollo無人駕駛[20]項目運用模型參考自適應 (model reference adaptive control, MRAC) 控制算法在路徑追蹤和自適應不同的轉向系統方面也取得了不錯的效果，但以上自適應控制器并未在汽車直接橫擺力矩控制中應用。此外，由上述自適應控制器所輸出的橫擺力矩無法直接分配至4個車輪，因此基于不同目標的力矩分配也是亟待解決的問題。

文獻[21]中，采取前后車輪比例制動的控制策略，將所得橫擺力矩按比例分配至各個車輪，雖有一定的控制效果，但其未考慮輪胎利用率等問題。在文獻[22]中，利用基于零空間的控制重新分配方法，并考慮每個車輪的輪胎利用率的約束，但由于計算量較大，對控制器要求高，現有條件難以滿足。

為了提高車輛行駛安全性，本文提出了一種基于MRAC的直接橫擺力矩控制的方法。在上層控制器中，利用二自由度車輛模型和一組假定的參數來設計穩(wěn)定性控制器，并利用Lyapunov函數穩(wěn)定性分析得到自適應估計率來解決由于車輛在行駛過程中重要參數不恒定的問題。在下層力矩分配控制器中，考慮車輛輪胎利用率和電機輸出限制，利用二次規(guī)劃法進行優(yōu)化分配，其不僅運算速度快，而且能處理多約束條件問題，以保證動態(tài)響應的實時性。最后，本文在雙移線高低附著因數工況下利用CarSim與Simulink聯合仿真。

1 車輛模型

1.1 汽車動力學模型

本文采用簡化的線性單軌車輛模型作為車輛理想模型，并以此設計橫擺力矩控制器。其二自由度線性車輛模型如圖1所示。

圖1 二自由度線性車輛模型

在圖1中，Kf、Kr分別為前后輪側偏剛度；β、ω分別為質心側偏角和橫擺角速度；m為車身總質量；La、Lb分別為前后軸長度；L為軸長；Vx、Vy分別為縱向、側向速度；δ為前輪轉向角；αf、αr分別為前后輪側偏角；I為車輛質心。

在該模型中做出了如下幾個假設：

1） 前輪轉向角很小；

2） 忽略所存在的各類阻力以及懸架系統動力學影響（空氣、滾動以及摩擦）；

3） 輪胎性能和輪胎力在線性區(qū)域內。

二自由度線性車輛模型的運動微分方程如下：

式中：Iz為繞Z軸的轉動慣量；ΔMz附加橫擺力矩。

化簡得到狀態(tài)空間方程式為：

式中：

在車輛以恒定速度穩(wěn)定向前以及過彎時，二自由度車輛模型ω與β的理想值可表示為：

考慮道路附著情況，上述理想值需加以限定并進行修正，通過修正后的表達式為：

1.2 車輪模型

本文選用魔術輪胎公式(magic formula)[23-24]輪胎模型進行輪胎建模。該輪胎模型在文獻中被廣泛采用，并已被證明足夠準確，可以預測實際的輪胎動力學。魔術輪胎公式[25]數學表達式如下：

式中：κ為輸入變量（車輪滑移率λ或輪胎側滑角α/rad）；Y(κ)為輸出變量輪胎縱向力Fxij/N或側向力Fyij/N；Sh、Sv分別為曲線的水平和垂直方向漂移；G、C、D、E分別為剛度因子、形狀因子、顛因子和曲率因子。

分析擬合實驗數據得到：魔術輪胎縱向力Fxij、側向力Fyij和輪胎垂向力Fzij。橫、縱向力零點處的剛度因子為H，H=GCD，分別在縱向力和側向力因子后加下標x、y表示。

Fxij、Fyij表達式中的因子分別為：

4個車輪的垂向力可表示為：

式中：Fzij為各輪垂向力；i= f,r;j= l,r;ax、ay為橫向和縱向加速度；hmc為質心高度。

2 上層控制器

針對系統參數不確定的情況，本文在上層控制器中推導出一個使得跟蹤誤差漸近收斂，并且與系統參數無關的控制率。一般情況下，自適應參數估計不會完全收斂到與系統參數的真實值相等，但在過程中通過實時更新可無限接近其真實值，同時為保證控制率收斂，自適應控制器的控制輸入、狀態(tài)量和參數估計在運行過程中需保持有界。因此，為更好的估計未知系統參數、提高車輛行駛穩(wěn)定性以及行駛舒適性[26]，提出了一種模型參考自適應直接橫擺力矩控制器。系統控制構架具體設計如圖2所示。

圖2 系統控制架構圖

2.1 MRAC推導

根據二自由度車輛運動模型，由式（2）可簡化系統狀態(tài)空間方程為：

系統實際狀態(tài)量為x與理想狀態(tài)變量xd，設跟蹤誤差e及其導數為：

聯立式（10）、（11）得動態(tài)誤差方程：

由式（13）可得系統控制率為：

聯立式（13）、（15）得動態(tài)誤差為：

在控制率（15）中，K*、L*不能直接計算，因此對系統控制率未知參數進行估計得參數估計誤差為：

根據未知系統參數估計值，設計自適應控制率為：

由式（12）、（13）、（17）、（18）得動態(tài)誤差方程可改為：

當矩陣L*正定，ρ= 1，當矩陣L*負定，ρ= 1，因此，定義矩陣Ω如下，且始終為正定矩陣。

2.2 MRAC穩(wěn)定性證明

本文采用Lyapunov直接法來證明所提出控制器的穩(wěn)定性，在MRAC控制器證明中，為建立更好的參數調節(jié)機制，保證系統能夠收斂穩(wěn)定，匹配到一個更為合理的Lyapunov函數至關重要。故定義Lyapunov方程為：

式中：P、Ω為正定對稱矩陣，則V＞0；tr為矩陣的跡。

由Hurwitz矩陣性質可得：

式中：Q任意正定對稱矩陣。

對Lyapunov矩陣進行求導得

聯立式（22）、（23）得

簡化得

根據矩陣的跡的性質得

聯立式（25）、（26）得

根據對稱矩陣以及矩陣的跡的性質得：

聯立式（27）、（28）、（29）得

聯立式（30）、（31）、（32），可得

由V≥0，且，可知控制輸入和自適應控制率在有限時間內使得參數和狀態(tài)量保持有界，跟蹤誤差接近于零，進而趨于穩(wěn)定。這說明了本控制器滿足穩(wěn)定性要求。

3 下層控制器

在此節(jié)設計中，本文將上層控制器的輸出力矩有效地分配至各個車輪，達到最佳分配效果，從而使車輛在行駛中更為穩(wěn)定。其輪胎力作為車輛穩(wěn)定性的重要參考因素，當輪胎利用率[27]達到最低時，其利用潛能越大。本文僅考慮對輪胎驅動效能的側向力進行控制，目標函數可寫為：

由δ較小，cosδ≈ 0，可得上層控制器輸入變量ΔMz與總縱向力需求Fx的約束條件：

轉變?yōu)榫仃囆问綖?/p>

式中：H為效率矩陣；Tw為左右輪距；r為車輪半徑，其余見下式：

受輪轂電機最大轉矩約束條件為

式中：Tqmax為輪轂電機最大轉矩。

聯立式（34）、（36）、（38）得標準二次型：

為最大限度地提高控制效果，以實現車輛行駛穩(wěn)定性。本文利用二次規(guī)劃法[28]進行目標函數求解，將上述MRAC力矩ΔMz分配到各個車輪，為簡化步驟及減少運算時間，其優(yōu)化目標函數可改為下式：

式中：Wv為分配需求權重矩陣，Wv= diag[1 1 1 1]；Wτ為控制向量權重矩陣，Wτ= diag[10 10 10 10]；τref=[0 0 0 0]T。

目標函數J中，以車輛穩(wěn)定為目的，將目標函數值盡可能的降至最小。本文選用Matlab優(yōu)化工具箱中的函數“ Quadprog ”求解器來實時計算最優(yōu)的縱向力[29]。

4 Carsim與Simulink聯合仿真驗證

為驗證上述算法有效性，利用Carsim與Simulink在高、低附工況下進行聯合仿真驗證。其雙移線工況根據國際乘用車穩(wěn)定性測試標準[30]而來。本文選取車輛參數如表1所示。

表1 車輛參數

4.1 控制器參數設置

由于對于控制器增益矩陣并無通用的調節(jié)技術，選擇不同的Hm和P矩陣可對應產生不同的結果。為保證MRAC控制器的有效性，滿足Lyapunov證明條件下，本文對控制器的參數進行標定得到一組合理的參數，其MRAC增益矩陣

4.2 雙移線工況（高附、低附）

本文分別在道路附著因數μ為0.85和0.40的工況下，以Vx= 80 km/h進行聯合仿真。通過在無控制情況、SMC方法和MRAC方法下進行穩(wěn)定性比較，其中SMC采用文獻[31]中的滑模控制算法。仿真得橫擺角速度、質心側偏角、X-Y軸位移圖以及橫擺力矩圖，如圖3所示（圖3在下頁）。

如圖3a所示：MRAC方法的橫擺角速度在峰值上較SMC方法下降了17.1%、無控制狀態(tài)下降了19.4%；MRAC方法的質心側偏角在峰值上較SMC方法下降了34.5%、較無控制狀態(tài)下降了54.8%；在期望軌跡上Y軸的峰值最小，波形更接近于參考軌跡；其所得橫擺力矩的波形圖也較SMC更為平滑。

如圖3b所示：由于附著因數低，路面能夠提供的附著力有限，車輛以Vx= 80 km / h的行駛過程出現一定的波動情況。對比SMC和無控制的效果中，在MRAC控制下有效地限制了ω與β的變化，其中ω在峰值上較SMC下降了7.1%、無控制狀態(tài)下降了16.1%；β在峰值上較SMC下降了26.5%、較無控制狀態(tài)下降了64.3%；在期望軌跡對比中，在MRAC下軌跡更符合駕駛意圖，依舊表現出了良好的控制效果；同時，橫擺力矩消除SMC了抖振，且所需峰值更低。為更加直觀的量化控制器性能，本文使用平均絕對誤差(mean absolute error, MAE)來評價。其計算公式為：

圖3 不同附著條件下的狀態(tài)量比較

式中：error為采樣時間的跟蹤誤差值；n為樣本數量。

通過計算可得在高低附工況下的橫擺角速度、質心側偏角以及X-Y位移軌跡的MAE值如表2所示。

表2 雙移線工況平均絕對誤差MAE

在高附工況下，所提出的MRAC與傳統的SMC相比，跟蹤橫擺角速度ω、質心側偏角β以及X-Y位移軌跡Dy的MAE分別降低了43.0%、37.1%和17.5%；在低附工況下，跟蹤橫擺角速度、質心側偏角以及X-Y位移軌跡的MAE分別降低了25.3%、23.2%和12.5%。進一步說明了本文所設計的MRAC穩(wěn)定性控制算法具有更好地控制效果。

5 結 論

本文針對車輛模型中系統參數不確定性的問題，設計了一種基于MRAC的橫擺力矩穩(wěn)定性分層控制算法。在上層控制器中，通過自適應律對車輛系統參數進行實時估計，獲得期望的附加橫擺力矩；在下層控制器中，考慮到輪胎利用率、電機最大扭矩輸出約束以及道路附著力約束，利用二次規(guī)劃對目標函數進行求解，將附加橫擺力矩進行合理地分配至4個車輪，保證分配力矩的實時性。最后采用Matlab/Simulink與汽車動力學仿真軟件Carsim進行聯合仿真測試。

結果表明：本文所提出的MRAC控制算法與傳統滑模算法相比，一方面克服了滑模算法帶來的抖振，降低了質心側偏角、橫擺角速度以及縱向位移的大??；另一方面通過自適應律實時估計來抑制系統的不確定性擾動，改善了控制器的效能，進而提高了車輛行駛的安全性以及可靠性。

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