兩時(shí)滯廣義Logistic模型的Hopf分支與混沌

李順異, 熊梅,唐興蕓

(1.黔南民族師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,貴州 都勻 558000;2.黔南民族師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院復(fù)雜系統(tǒng)與計(jì)算智能重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,貴州 都勻 558000)

1 引言

英國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家,人口學(xué)家馬爾薩斯(Malthus)在其出版的《人口論》一書中,認(rèn)為人口按照幾何級(jí)數(shù)增長(zhǎng),建立了著名的單種群增長(zhǎng)模型N′(t)=rN(t),其中r為種群的凈增長(zhǎng)率.考慮到環(huán)境因素對(duì)種群增長(zhǎng)的影響,1838年比利時(shí)學(xué)者Verhulst提出了Logistic模型N′(t)=rN(t)[1?N(t)/Nm],其中Nm為環(huán)境容納量.種群的增長(zhǎng),不僅受到環(huán)境因素的影響,還受到種群內(nèi)部相互作用的影響.種群內(nèi)部的相互合作,如群體防衛(wèi),群體捕食等對(duì)種群的增長(zhǎng)起著積極作用,而種群內(nèi)部的相互競(jìng)爭(zhēng),如密度制約,擁擠效應(yīng)等對(duì)種群的增長(zhǎng)起著消極作用.種群內(nèi)部的相互作用對(duì)種群的增長(zhǎng),不是立刻體現(xiàn)出來的,而是需要一定時(shí)間的,即種群內(nèi)部的相互合作和競(jìng)爭(zhēng),對(duì)種群的增長(zhǎng)有一定時(shí)間的滯后效應(yīng)[1].

文獻(xiàn)[2]構(gòu)建了時(shí)滯單種群模型[2]

其中b∈R,a>0,c>0.當(dāng)b>0時(shí),種群的競(jìng)爭(zhēng)時(shí)滯與合作時(shí)滯是相同的τ,當(dāng)b<0時(shí),可視為對(duì)經(jīng)典的時(shí)滯單種群Logistic的推廣.文獻(xiàn)[2]研究了模型(1.1)正解關(guān)于正平衡點(diǎn)N?振動(dòng)性及正平衡點(diǎn)N?全局漸進(jìn)吸引的充分條件.時(shí)滯作用是系統(tǒng)不穩(wěn)定的一個(gè)重要因素,往往會(huì)使穩(wěn)定的平衡點(diǎn)失穩(wěn)而出現(xiàn)周期波動(dòng),進(jìn)而出現(xiàn)更為復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為,如擬周期振動(dòng),混沌等[3-8].考慮到種群的競(jìng)爭(zhēng)時(shí)滯與合作時(shí)滯不一定是相等的(τ1不一定等于τ2),即使只有競(jìng)爭(zhēng)時(shí)滯作用,不同形式的競(jìng)爭(zhēng),其時(shí)滯也不一定相等.本文在模型(1.1)的基礎(chǔ)上構(gòu)建兩時(shí)滯廣義Logistic模型

運(yùn)用特征根方法研究模型正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性,討論其發(fā)生局部Hopf分支和穩(wěn)定性切換的條件,分析分支點(diǎn)關(guān)于系統(tǒng)參數(shù)的單調(diào)性和極限性質(zhì),并給出數(shù)值模擬佐證理論結(jié)果.

2 平衡點(diǎn)局部穩(wěn)定性分析

模型(1.2)有唯一的正平衡點(diǎn)

其在N?處的線性化方程為

特征方程為

當(dāng)τ1=τ2=0時(shí),由方程 (2.2)得

由Routh-Hurwitz判別法知正平衡點(diǎn)局部穩(wěn)定.

3 局部 Hopf分支分析

3.1 情形 1 τ1>0,τ2≡0.

3.2 情形 2 τ1≡0,τ2>0.

4 數(shù)值例子及結(jié)論

在模型(1.2)中,令a=2,c=2.5,N(0)=0.5,得b?=?2.5820.取b=?4.5b?,由情形 2得,τ1≡0,;取b=?0.9,由情形 3得,τ(0)=0.4702,都在N?附近發(fā)生 Hopf分支 (圖 1(b),(c)).

圖1 模型 (1.2)的動(dòng)力學(xué)行為:(a)τ2≡0,,;(b) τ1 ≡ 0,,;(c)τ1≡ τ2= τ,τ=0.45< τ(0),τ=0.49> τ(0)

由分支值關(guān)于參數(shù)b的單調(diào)性和極限性質(zhì)知

這表明情形1(bb?,τ1≡0)和情形 3(τ1≡τ2)對(duì)任何的正數(shù)τ?>0,都存在適當(dāng)?shù)膮?shù)b,使得τ=τ?成為第一分支值.情形 1(bb?)都屬于條件分支,分支值關(guān)于參數(shù)b的單調(diào)性相反;而情形2是無條件分支,分支值關(guān)于參數(shù)b嚴(yán)格單調(diào)遞減.

令b=?4.5,τ1=0.64∈Sτ1,由 (3.19)式得ω1=2.31838,ω2=1.88341,由 (3.20)式得分支值(圖2).

圖 2 Fτ2(τ1)(ω)=0 和分支值示意圖

關(guān)于τ2的局部穩(wěn)定域由5個(gè)小區(qū)間構(gòu)成,當(dāng)τ1=0.64,τ2從0開始增加時(shí),模型(1.2)將經(jīng)歷5次穩(wěn)定性切換,最終變得不穩(wěn)定.

進(jìn)一步,令b=1.5,當(dāng)τ2=0.3時(shí)作出種群N(t)關(guān)于τ1在區(qū)間 [0.6,1.0]上變化的分支圖(圖3),由圖3知,模型經(jīng)歷了倍周期分支到混沌的動(dòng)力學(xué)行為(圖4).

圖 3 當(dāng) τ2=0.3時(shí),種群N(t)關(guān)于 τ1的分支圖

圖4 當(dāng)τ2=0.3時(shí),模型(1.2)的典型動(dòng)力學(xué)行為:τ1=0.7,0.78,0.82,1,2倍周期→4倍周期→8倍周期→混沌

本文基于種群內(nèi)部相互競(jìng)爭(zhēng)與合作的基本關(guān)系,構(gòu)建了具有兩個(gè)離散時(shí)滯的廣義Logistic模型,詳細(xì)討論了各種情況下系統(tǒng)發(fā)生Hopf分支和穩(wěn)定性切換的充分條件.數(shù)值例子展示了系統(tǒng)諸如穩(wěn)定性切換,倍周期分岔,混沌等復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象.