非線性演化方程的切對稱群分析

高曉潤,黃晴

(西北大學數(shù)學學院,陜西 西安 710127)

1 引言

眾所周知,李群理論是分析偏微分方程的一種通用和便捷的工具.它最主要的應用之一就是求解偏微分方程的不變解.因此,應用李群理論對偏微分方程進行群分類及進一步的精確求解問題引起了人們的廣泛關注.只依賴自變量和因變量的變換,稱之為點變換.更一般的,還依賴于因變量導數(shù)的變換,稱為廣義變換.特殊的,若變換依賴于自變量、因變量和因變量的一階導數(shù),則稱之為切變換.目前,人們已經對點變換有了廣泛且深刻的研究[1-2],而關于切變換的研究卻比較少.

十九世紀數(shù)學家Sophus Lie(1842-1899)提出和發(fā)展了李群方法.此后,李群算法被認為是分析偏微分方程最強大的工具之一,主要原因是該方法可以減少變量數(shù)目,有可能導出與偏微分方程相關的群不變解,而且它也推動了其它數(shù)學物理方法的發(fā)展[3].

雖然關于廣義對稱的研究不多,但是近年來廣義對稱,尤其是切對稱,受到了越來越多的關注.目前在切對稱領域一些學者也做了許多工作.例如文獻[4]使用二階偏微分方程的切變換來求得這些方程的偽不變解.文獻[5]將切變換應用于三階常微分方程從而得到隱變換.在文獻[6]中一些切變換也被認為是偏微分方程的隱對稱的新起源.本文將優(yōu)化系統(tǒng)的概念應用于切對稱,提出一種代數(shù)分類算法.并以下面的二階非線性演化方程為例:

給出它所容許的切對稱并建立切對稱的一維優(yōu)化系統(tǒng),然后進行對稱約化,從而得到一些約化方程和群不變解.

眾所周知切對稱等價于一階廣義對稱.

定理1.1[1]如果一個廣義變換的無窮小生成子具有以下形式

那么它等價于一個切變換且該切變換的無窮小生成子形式如下

2 方程 (1)的切對稱群分析

根據(jù)廣義對稱無窮小生成準則[1],可以得到方程(1)的切對稱群.它由以下5個生成函數(shù)對應的向量場張成:

兩個切對稱生成子的交換關系由以下公式給出[7]

基于這個公式,計算V1,V2,···,V5之間的所有交換關系,并將結果列在表 1中,其中(i,j)項表示交換子[Vi,Vj].

表1 代數(shù)(2)的交換子表

伴隨表示由李級數(shù)

給出,其中[Vi,Vj]表示交換子(3),?表示參數(shù).表2給出了代數(shù)(2)的所有伴隨表示,其中 (i,j)項表示 Ad(exp(?Vi)Vj).

表2 代數(shù)(2)的伴隨表示

給定方程所容許的切對稱群有無窮多個子群,且任意無窮小生成子的線性組合還是無窮小生成子.為了能夠不處理無窮多的切對稱并完整準確地給出所研究方程的約化方程和不變解,需要得到切對稱群的所有不等價子群,即建立切對稱群的優(yōu)化系統(tǒng).

定理 2.1代數(shù)(2)的一維優(yōu)化系統(tǒng)為

證明取V的最一般形式V=a1V1+a2V2+a3V3+a4V4+a5V5.接下來利用合適的伴隨表示來簡化它.將伴隨表示Ad(exp(?1V3))與Ad(exp(?2V5))作用在V上,可以得到

當令?9=1,?10=?2時,顯然有V1與V2等價.所以可得V等價于V2.

現(xiàn)在已經證明了代數(shù) (2)的任何一維子空間都等價于定理 2.1中由W1,···,W6張成的子空間之一.為了完成定理2.1的證明,將借助不變量或半不變量[8]來說明代數(shù)(4)中任意兩個代數(shù)是相互不等價的.

引理 2.1是不變量.

證明通過計算,可以得到代數(shù)(2)的基靈型.易知在伴隨作用下基靈型是不變的.

引理2.2定義

那么B,C是不變量.

證明從表2容易看出B與C是不變量.

現(xiàn)在,根據(jù)代數(shù) (4)中的每一個Wi(i=1,···,6),可以確定不變量A,B和C,并將結果列在表3中.

表3 代數(shù)(4)的不變量

從表3易知每個Wi(i=1,···,6)都是不等價的.

3 方程(1)的對稱約化和群不變解

此節(jié)將利用方程(1)的一維優(yōu)化系統(tǒng),對方程(1)進行對稱約化,并給出相應的約化方程和不變解.

其中z=xt2+2x+t.

該情形中的方程求解比較困難,但是可以知道這是方程(1)的不變解在該分類下所必須要滿足的條件.

g′(t)=0.

因此有g(t)=c.故方程(1)有不變解

4 結論

本文研究了優(yōu)化系統(tǒng)在切對稱方面的應用,并以二階非線性演化方程(1)為例,計算了它的切對稱并建立了切對稱的優(yōu)化系統(tǒng).然后根據(jù)優(yōu)化系統(tǒng)中的等價分類,對方程進行了對稱約化,并在此基礎上獲得了一些約化方程和精確解.