基于子結(jié)構(gòu)解耦的連接特性識(shí)別新方法1)

范新亮 王 彤 夏遵平

(南京航空航天大學(xué)振動(dòng)工程研究所,機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,南京 210016)

引言

機(jī)械結(jié)構(gòu)中廣泛存在著各種連接形式,如螺栓連接、鉚接、焊接以及膠接等.連接結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性決定著裝配體的動(dòng)響應(yīng)預(yù)測(cè)精度,因此準(zhǔn)確地對(duì)其進(jìn)行辨識(shí)顯得尤為重要.而由于連接結(jié)構(gòu)的多樣性和復(fù)雜性[1-3],難以建立其一般的解析模型[4],因此?；谧咏Y(jié)構(gòu)解耦技術(shù)并利用模態(tài)或頻響函數(shù)等測(cè)試數(shù)據(jù)對(duì)連接特性進(jìn)行辨識(shí).該技術(shù)從裝配體和殘余結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)行為中提取連接結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性[5],其中基于模態(tài)試驗(yàn)數(shù)據(jù)的方法中振型的測(cè)試誤差極易導(dǎo)致識(shí)別結(jié)果不理想[6],因此更適于有限元環(huán)境下應(yīng)用;而基于頻響函數(shù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)的方法則由于測(cè)試簡(jiǎn)單、數(shù)據(jù)信息充足且精度較高,得到廣泛關(guān)注與研究[7-12].

Okubo 和Miyazaki[13]最早將基于頻響函數(shù)的子結(jié)構(gòu)解耦技術(shù)應(yīng)用于連接特性識(shí)別,經(jīng)過不斷地發(fā)展與改善,許多方法被提出,并在一些實(shí)際結(jié)構(gòu)中得到了應(yīng)用[14-17].雖然形式不盡相同,但幾乎所有方法的辨識(shí)公式都與Ren 和Beards[18]提出的基本公式相似或等價(jià)[19],其思路均為利用實(shí)測(cè)的裝配體頻響函數(shù)與實(shí)測(cè)或有限元模型計(jì)算的殘余結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)來獲取連接特性.連接特性識(shí)別所面臨的主要難題之一是裝配體結(jié)構(gòu)界面自由度頻響函數(shù)的測(cè)量[19].對(duì)此,?eli?等[4-5]在Ren 等所提基本公式上進(jìn)行了改進(jìn),詳細(xì)討論了忽略部分界面自由度及內(nèi)部自由度對(duì)辨識(shí)結(jié)果的影響,并對(duì)比了逐頻求逆的直接法與對(duì)各個(gè)頻率點(diǎn)進(jìn)行平均的最小二乘法,然而其在忽略部分界面自由度時(shí)的辨識(shí)結(jié)果不佳.此外,采用旋轉(zhuǎn)自由度的測(cè)試技術(shù)[16]及未測(cè)頻響函數(shù)估計(jì)技術(shù)[19-20]是解決該問題的可行方案,但卻增加了測(cè)試或計(jì)算的成本,且額外地引入了測(cè)試誤差或估計(jì)誤差.連接特性識(shí)別的另一難題是辨識(shí)方程對(duì)測(cè)試噪聲的高度敏感性,即測(cè)試數(shù)據(jù)微小的誤差也可能導(dǎo)致結(jié)果與真實(shí)特性完全無關(guān),且不同形式的求解方程在辨識(shí)精度上有著較大差異[18],這是由過多的矩陣求逆以及系統(tǒng)方程本身的嚴(yán)重病態(tài)造成的.對(duì)含噪數(shù)據(jù)進(jìn)行降噪是減小噪聲干擾最直接的方法,Peeters 等[7]采用模態(tài)模型對(duì)測(cè)試頻響函數(shù)進(jìn)行濾波并應(yīng)用于子結(jié)構(gòu)解耦,盡管測(cè)試噪聲得以濾除,但濾波后的頻響函數(shù)對(duì)真實(shí)值的擬合程度仍難以控制.替代降噪技術(shù)的有Zhang 等[21-22]提出的一種噪聲自校準(zhǔn)參數(shù)辨識(shí)方法,以諧波基對(duì)噪聲校準(zhǔn)量參數(shù)化并與系統(tǒng)參數(shù)通過誤差函數(shù)共同進(jìn)行估計(jì),有效提高了參數(shù)辨識(shí)的準(zhǔn)確性.在優(yōu)化辨識(shí)公式的形式方面,Wang 等[23]減少了對(duì)噪聲有放大作用的矩陣求逆運(yùn)算,使得方法對(duì)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的適用性增強(qiáng),但由于公式中的簡(jiǎn)化使得在高頻時(shí)辨識(shí)效果不佳.Wang等[19,24]根據(jù)基本公式推導(dǎo)了統(tǒng)一形式的辨識(shí)方程,并利用該方程將實(shí)測(cè)與估算的未測(cè)頻響函數(shù)一起引入辨識(shí)過程抑制噪聲,提高了識(shí)別結(jié)果的準(zhǔn)確性,然而由于采用了逐頻求逆的直接法,在由動(dòng)剛度矩陣序列估計(jì)連接結(jié)構(gòu)物理參數(shù)的過程中將產(chǎn)生偏差.

為此,本文在子結(jié)構(gòu)解耦基本方程基礎(chǔ)上,提取其測(cè)試自由度分量并推導(dǎo)了顯含連接動(dòng)剛度矩陣的辨識(shí)方程,該方程直接利用可測(cè)的裝配體頻響函數(shù)進(jìn)行辨識(shí),而無需針對(duì)其界面自由度信息進(jìn)行未測(cè)頻響函數(shù)的估計(jì)或旋轉(zhuǎn)自由度及部分不可測(cè)界面自由度的測(cè)量.而后將該方程寫為增量格式,得到了連接特性識(shí)別的迭代形式,其殘差相對(duì)全量格式顯著減小,因而數(shù)值穩(wěn)定性更好[25],且通過迭代可使得由連接動(dòng)剛度與殘余結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)重構(gòu)的裝配體頻響函數(shù)擬合值不斷逼近于測(cè)量值.最后,將動(dòng)剛度曲線以多項(xiàng)式進(jìn)行擬合,得到了擬合系數(shù)的估計(jì)方程,并篩選合適的頻率點(diǎn)聯(lián)立方程組求解,減少了病態(tài)矩陣的求逆運(yùn)算且改善了抗噪性.彈簧質(zhì)量系統(tǒng)數(shù)值算例和雙梁連接結(jié)構(gòu)試驗(yàn)表明該方法辨識(shí)效果較好,能有效地對(duì)實(shí)際連接特性進(jìn)行識(shí)別.

1 理論背景

1.1 連接結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性識(shí)別方程

連接結(jié)構(gòu)、殘余結(jié)構(gòu)及其組成的裝配體結(jié)構(gòu)如圖1 所示,令I(lǐng) 代表殘余結(jié)構(gòu)或裝配體結(jié)構(gòu)部分內(nèi)部節(jié)點(diǎn)的自由度,J 代表殘余結(jié)構(gòu)或連接結(jié)構(gòu)全部界面節(jié)點(diǎn)的自由度,A 和R 分別代表裝配體結(jié)構(gòu)和殘余結(jié)構(gòu),則有輸入-輸出關(guān)系

圖1 連接結(jié)構(gòu),殘余結(jié)構(gòu)與裝配體結(jié)構(gòu)Fig.1 Joint,residual and assembly structure

其中XI,XJ與FI,FJ分別為裝配體結(jié)構(gòu)在內(nèi)部自由度上、界面自由度上的位移矢量與的力矢量,而X與F為由其組合而成的位移矢量與力矢量,頂標(biāo)-與^則分別代表殘余子結(jié)構(gòu)與連接結(jié)構(gòu)的相應(yīng)物理量.HA,HR和HJ分別為裝配體結(jié)構(gòu)、殘余結(jié)構(gòu)和連接結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)矩陣.

由界面自由度上位移與力的協(xié)調(diào)關(guān)系有

可得基于子結(jié)構(gòu)解耦識(shí)別連接特性的基本公式[19]

其中PR,J為篩選HR中界面自由度所在列的布爾矩陣,即PR,JTHR=[HRJIHRJJ]

連接結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性識(shí)別問題一般忽略連接結(jié)構(gòu)的內(nèi)部自由度(需滿足連接件內(nèi)部自由度上無外力的假設(shè)),且由XJ所指為完備界面自由度知

設(shè)實(shí)際對(duì)裝配體結(jié)構(gòu)進(jìn)行振動(dòng)測(cè)試的自由度上位移矢量為X*,且X*=P*TX,其中P*亦為布爾矩陣.取P*T左乘式(5)得

式(8)經(jīng)移項(xiàng)后左乘廣義逆(P*THRPR,J)+得

注意此處求取廣義逆必須滿足行大于列的條件,即要求測(cè)試自由度的數(shù)目應(yīng)大于界面自由度數(shù)目.上式兩端左乘HC并將式(6)和式(7)代入得

移項(xiàng)并在等式兩端左乘DJ得

而由AX=B的極小二乘解為X=(A)+B知上式等價(jià)于

將式(9)記為

式(10)與式(8)形式一致,其中左、右等效頻響為

式(10)即為顯含連接動(dòng)剛度DJ的辨識(shí)方程,是后文推導(dǎo)增量格式以及引入多項(xiàng)式擬合的基礎(chǔ).其中HR通過校準(zhǔn)的殘余子結(jié)構(gòu)有限元模型計(jì)算得到,因此對(duì)式(10)兩端右乘裝配體結(jié)構(gòu)振動(dòng)測(cè)試的激勵(lì)自由度布爾矩陣PI后,辨識(shí)過程所需測(cè)試數(shù)據(jù)僅為裝配體在所選測(cè)試自由度上的頻響函數(shù)P*THAPI,而無需測(cè)量或估計(jì)其界面自由度的量.且式(10)由式(5)提取測(cè)試自由度上的平衡方程后經(jīng)矩陣變換得到,界面協(xié)調(diào)條件仍成立,因此仍是精確的.此外,所選測(cè)試自由度能準(zhǔn)確辨識(shí)DJ的必要條件為擁有足夠多有效信息.

1.2 識(shí)別方程增量形式

連接結(jié)構(gòu)界面自由度數(shù)目較多時(shí),由于待求未知量的數(shù)目增加而使得辨識(shí)精度明顯下降,且噪聲對(duì)辨識(shí)結(jié)果的擾動(dòng)顯著增強(qiáng).為提高方程數(shù)值穩(wěn)定性并通過迭代逼近最佳辨識(shí)值,將式(10)變換為增量形式.若給定連接結(jié)構(gòu)動(dòng)剛度初值DJ0,欲識(shí)別其真實(shí)值DJ,由式(10)分別有

又由式(11)知右等效頻響函數(shù)的差量為

將其代入式(14)可得

其中I為單位矩陣,將上式記為

因此,由式(5),式(16)和式(17)可得識(shí)別連接特性的迭代方程

其中各迭代量為

式(18)和式(19)右乘PI后,給定有限元模型計(jì)算數(shù)據(jù)HR、裝配體測(cè)試數(shù)據(jù)P*THAPI與初值后,即可由迭代更新連接結(jié)構(gòu)動(dòng)剛度.

全量形式的辨識(shí)公式(10)以殘余結(jié)構(gòu)與裝配體頻響函數(shù)的殘差為極小化目標(biāo)函數(shù),增量式(18)則以范數(shù)遠(yuǎn)小于前者的裝配體頻響函數(shù)測(cè)試值與初始擬合值的殘差為目標(biāo)函數(shù),參數(shù)識(shí)別的數(shù)值穩(wěn)定性得到提高[25],且減小了噪聲對(duì)辨識(shí)結(jié)果的干擾.

1.3 動(dòng)剛度曲線多項(xiàng)式擬合

若采用直接法[5]逐個(gè)頻率點(diǎn)依次求解式(18),對(duì)含噪聲矩陣(且在界面自由度較多時(shí)常因測(cè)試自由度信息不足而呈現(xiàn)病態(tài))求逆后將使誤差放大.且連接結(jié)構(gòu)對(duì)裝配體結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性的影響在部分頻率點(diǎn)幾乎可以忽略,使相應(yīng)頻率點(diǎn)的辨識(shí)結(jié)果對(duì)噪聲極為敏感[16].為此,以多項(xiàng)式函數(shù)擬合動(dòng)剛度曲線,代入式(18)得到關(guān)于擬合系數(shù)的方程,并選擇合適的頻率點(diǎn)聯(lián)立求解,則原問題轉(zhuǎn)化為頻域內(nèi)極小化殘差函數(shù)的參數(shù)估計(jì)問題.

連接結(jié)構(gòu)動(dòng)剛度矩陣第m行第n列(m,n=1,2,···,NJ,NJ為界面自由度數(shù)目)對(duì)應(yīng)元素DJmn(ωk)可用多項(xiàng)式函數(shù)表示為(1+iωkβ)α0mn-ωk2α2mn,其中β為剛度比例阻尼系數(shù),ωk為第k個(gè)頻率點(diǎn),而擬合系數(shù)α0mn,α2mn實(shí)際上為連接結(jié)構(gòu)剛度矩陣、質(zhì)量矩陣的對(duì)應(yīng)分量,則DJ的增量可寫為

取ej為振動(dòng)測(cè)試時(shí)篩選位移矢量X中第j個(gè)激勵(lì)自由度所在行的位置向量,在式(18)兩端右乘ej得

將式(20)代入(21)得

對(duì)上式兩端進(jìn)行矩陣的列拉直得

式中V(·) 表示矩陣的列拉直即為第g個(gè)迭代步的殘差向量,而為殘差關(guān)于擬合系數(shù)的靈敏度矩陣,γ(g)則為擬合系數(shù)增量.

式(22)對(duì)應(yīng)于頻率點(diǎn)ωk以及第j個(gè)激勵(lì)自由度,對(duì)k(k=1,2,···,Nf,Nf為頻率點(diǎn)數(shù)目)及j(j=1,2,···,NI,NI為激勵(lì)自由度數(shù)目)組合可得頻域上多輸入多輸出的參數(shù)估計(jì)方程組f(g)=S(g)γ(g).當(dāng)所聯(lián)立的頻率點(diǎn)及激勵(lì)自由度包含足夠多系統(tǒng)有效信息時(shí),可有效減小待估計(jì)參數(shù)較多(即連接結(jié)構(gòu)界面自由度較多)時(shí)靈敏度矩陣的病態(tài)程度,且通過聯(lián)合全頻域上所有測(cè)點(diǎn)與激勵(lì)點(diǎn)的信息可提高辨識(shí)的準(zhǔn)確性.

方法迭代收斂性的證明[21]過程為,若所選測(cè)試自由度集、激勵(lì)自由度集、頻率點(diǎn)集使得形成的S(g)滿秩,記且

αT為真實(shí)擬合系數(shù)時(shí),相應(yīng)殘差f(αT)為0,即αT是迭代方程(23)的不動(dòng)點(diǎn).而

且由S(g)滿秩即S(g)TS(g)可逆及有界性知存在常數(shù)M1,M2使得

故||α(g+1)-αT||≤M1M2||α(g)-αT||2=d(g)||α(g)-αT||,當(dāng)任意α(g)滿足||α(g)-αT||＜1/M1M2時(shí),有d(g)＜1,迭代方程(23)為壓縮映射,α(g)將收斂至不動(dòng)點(diǎn)αT.由此表明給定了合適的連接特性初值后,方法將收斂于真實(shí)值.

1.4 算法實(shí)現(xiàn)

1.4.1 方程歸一化及頻率點(diǎn)的選擇

式(22)中系數(shù)矩陣Sj的各列之間存在顯著的幅值差異,導(dǎo)致其條件數(shù)較大,因此按式(24)(25)對(duì)其各列進(jìn)行歸一化

其中[],r與[]r,分別代表矩陣第r列與第r行,norm(.)代表對(duì)列取范數(shù).

實(shí)際測(cè)試試驗(yàn)中,共振區(qū)受噪聲污染小,且對(duì)參數(shù)變化靈敏度更高[26],故信號(hào)信噪比較低時(shí)可僅選擇共振區(qū)的頻率點(diǎn)參與辨識(shí)過程,當(dāng)信噪比較高時(shí)則可選擇給定帶寬的共振區(qū)鄰域.此外,由于式(22)以裝配體頻響函數(shù)測(cè)量值與擬合值的殘差范數(shù)為極小化目標(biāo),因此可將其幅值相關(guān)性系數(shù)[27]作為篩選頻率點(diǎn)的準(zhǔn)則: 相關(guān)性較好的頻率點(diǎn),其殘差較小且可信度較高;反之,相關(guān)性較低則說明該頻率點(diǎn)可能受噪聲污染較為嚴(yán)重,且殘差較大不利于準(zhǔn)確辨識(shí).幅值相關(guān)性系數(shù)αa計(jì)算式為

其中,? 代表取實(shí)部,σmin為所允許的相關(guān)性最小值,實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)取σmin＞0 時(shí)識(shí)別效果較好.

1.4.2 連接結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性識(shí)別流程

連接特性辨識(shí)流程如圖2 所示,具體過程如下.

圖2 連接結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性辨識(shí)流程Fig.2 Workflow of the joint dynamic properties identification

步驟1: 確定完備界面自由度及其對(duì)應(yīng)的布爾矩陣PR,J,裝配體結(jié)構(gòu)的測(cè)試自由度及其對(duì)應(yīng)的布爾矩陣P*,激勵(lì)自由度及其對(duì)應(yīng)的位置向量ej(j=1,2,···,NI).

步驟2: 根據(jù)激勵(lì)自由度ej及測(cè)試自由度P*對(duì)裝配體結(jié)構(gòu)進(jìn)行振動(dòng)測(cè)試,得到測(cè)試頻響函數(shù)P*THAej.選擇共振區(qū)(或其鄰域)內(nèi)的頻率點(diǎn)序列L1并利用校準(zhǔn)后的殘余子結(jié)構(gòu)有限元模型計(jì)算相應(yīng)頻響函數(shù)HRP*,HRPR,J.置g=0.

根據(jù)式(26)在 L1中選擇參與辨識(shí)過程的頻率點(diǎn) L2.

步驟4: 由式(11)、式(19)計(jì)算所選頻率點(diǎn)序列 L2對(duì)應(yīng)的左、右等效頻響函數(shù)HEl*,HEr*ej及轉(zhuǎn)換矩陣TE*(g) .

步驟5: 計(jì)算頻率點(diǎn)序列 L2中ωk處的靈敏度矩陣及殘差向量代入式(22),對(duì)k和j組合形成超定方程組f(g)=S(g)γ(g),并進(jìn)行歸一化.求解擬合系數(shù)增量γ(g)后得到ΔDJ(g),更新連接動(dòng)剛度矩陣DJ(g +1)=DJ(g)+ΔDJ(g),置g=g+1.

步驟6: 重復(fù)步驟3～5,直至滿足停止準(zhǔn)則,即||f(g)||≤ε,輸出連接結(jié)構(gòu)動(dòng)剛度矩陣的擬合系數(shù).

當(dāng)殘余結(jié)構(gòu)有限元模型規(guī)模較大時(shí),其頻響函數(shù)HRP*,HRPR,J的計(jì)算量較大且是決定算法效率的關(guān)鍵一環(huán),因此需在迭代前計(jì)算頻率點(diǎn)序列 L1對(duì)應(yīng)的HR.且該模型須經(jīng)過精細(xì)的校準(zhǔn),否則HR將包含較大的誤差,導(dǎo)致錯(cuò)誤的識(shí)別結(jié)果.

2 算例分析

2.1 仿真算例

為驗(yàn)證所提方法的正確性及抗噪性,以具有10 個(gè)平動(dòng)自由度的簡(jiǎn)單線性多自由度系統(tǒng)(圖3)進(jìn)行數(shù)值仿真.將其視為由連接結(jié)構(gòu)與兩個(gè)殘余子結(jié)構(gòu)組成的裝配體(殘余子結(jié)構(gòu)1、2 分別在自由度處與連接結(jié)構(gòu)耦合),且該連接結(jié)構(gòu)同時(shí)包含質(zhì)量、剛度及阻尼效應(yīng).系統(tǒng)各參數(shù)為1.0×107N/m,殘余結(jié)構(gòu)與連接結(jié)構(gòu)的剛度比例阻尼系數(shù)β均取1.0×10-7.

圖3 連接結(jié)構(gòu)與殘余結(jié)構(gòu)耦合Fig.3 Coupling of joint and residual structure

裝配體結(jié)構(gòu)計(jì)算的頻響函數(shù)添加噪聲后作為測(cè)試值HAej,殘余結(jié)構(gòu)計(jì)算的頻響函數(shù)作為所需HR.連接動(dòng)剛度矩陣所取初值DJ0為

在無噪聲情形下,由本文方法利用測(cè)試頻響函數(shù)P*THAej(P*不包含界面自由度按1.4 中所述流程進(jìn)行辨識(shí),并與利用完備頻響函數(shù)HAej由逐頻求逆的直接法[5]進(jìn)行對(duì)比.由圖4(a)知兩種方法辨識(shí)的DJ與HR重構(gòu)的裝配體頻響函數(shù)均與真實(shí)值完全一致,驗(yàn)證了所提方法僅利用所選測(cè)試自由度(無需包含完備的界面自由度)上的裝配體頻響函數(shù)識(shí)別連接特性的正確性.

為檢驗(yàn)所提方法的抗噪性,在前述算例的頻響函數(shù)真實(shí)值中加入10%的白色噪聲與10%的有色噪聲后再次進(jìn)行識(shí)別,由圖4(b)知兩種方法在測(cè)試噪聲較小的共振區(qū)識(shí)別效果均較好,而在其余噪聲較大的頻率點(diǎn),所提方法的準(zhǔn)確度高于直接方法.對(duì)比兩者所識(shí)別DJ的對(duì)角元素與非對(duì)角元素可知(圖5),本文方法辨識(shí)結(jié)果受噪聲的影響遠(yuǎn)小于直接法.

圖4 裝配體結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)重構(gòu)值與真實(shí)值對(duì)比Fig.4 Comparison of reconstructed and accurate assembly FRF

圖5 所辨識(shí)連接結(jié)構(gòu)動(dòng)剛度實(shí)部的對(duì)比Fig.5 Comparison of real part of the identified joint dynamic stiffness

2.2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

2.2.1 膠接

為驗(yàn)證所提方法識(shí)別實(shí)際連接結(jié)構(gòu)的有效性,首先對(duì)一個(gè)T 形結(jié)構(gòu)進(jìn)行了實(shí)驗(yàn).該裝配體結(jié)構(gòu)由兩根相同的長(zhǎng)為500 mm、寬為50 mm 的梁(殘余結(jié)構(gòu))在與一鐵塊在界面處膠接而成,且忽略連接界面的非線性行為.實(shí)驗(yàn)中采用了N-Modal 模態(tài)測(cè)試系統(tǒng),PCB 力錘以及PCB 三軸傳感器.測(cè)試頻率范圍設(shè)置為1000 Hz,取1600 條譜線.如圖6 所示,裝配體結(jié)構(gòu)采用彈性繩懸掛的方式模擬自由-自由邊界條件,傳感器位于梁I 中心位置,在均勻分布的126 個(gè)測(cè)試點(diǎn)上進(jìn)行錘擊,獲得其頻響函數(shù)P*THAPI.辨識(shí)公式中(P*THRPR,J)+要求測(cè)試自由度數(shù)目大于連接結(jié)構(gòu)自由度數(shù)目,然而為抑制噪聲[24]并避免P*THRPR,J出現(xiàn)零列或呈現(xiàn)病態(tài),應(yīng)布置更多包含結(jié)構(gòu)有效信息的測(cè)試自由度.

圖6 含一處連接的耦合結(jié)構(gòu)及其測(cè)試裝置Fig.6 The coupled structure with one joint and its test setup

采用Shell63 板單元對(duì)殘余結(jié)構(gòu)建模,并按材料參數(shù)劃分為兩個(gè)組.利用自由狀態(tài)的測(cè)試數(shù)據(jù)對(duì)單根梁進(jìn)行模型修正[27-31]后,有限元模型計(jì)算的頻響函數(shù)與其測(cè)試值匹配程度較高(圖7),由此得到校準(zhǔn)的殘余結(jié)構(gòu)有限元模型.其材料參數(shù)如表1 所示,其中D與E代表密度與彈性模量,且殘余結(jié)構(gòu)與連接結(jié)構(gòu)的剛度比例阻尼系數(shù)均取為1.0 × 10-7.由該校準(zhǔn)模型計(jì)算得殘余結(jié)構(gòu)頻響HRP*和HRPR,J.

表1 梁I 和II 的模型材料參數(shù)Table 1 The material parameters of Beam I and Beam II

圖7 校準(zhǔn)的殘余子結(jié)構(gòu)有限元模型計(jì)算頻響與測(cè)試值對(duì)比Fig.7 Comparison of the residual structure's FRF: calibrated FEM and experimental model

殘余結(jié)構(gòu)與連接結(jié)構(gòu)的耦合如圖8 所示.連接結(jié)構(gòu)兩端的虛擬節(jié)點(diǎn)分別通過MPC 約束依賴于梁I、梁II 被膠接區(qū)域內(nèi)的節(jié)點(diǎn),使得虛擬節(jié)點(diǎn)的平移及轉(zhuǎn)動(dòng)自由度上的位移代表了膠接區(qū)域內(nèi)節(jié)點(diǎn)的位移均值,且虛擬節(jié)點(diǎn)上的力被均勻分配至膠接區(qū)域內(nèi)的節(jié)點(diǎn)上[1].初值DJ0的取法為: 以密度為90 000 kg/m3、彈性模量為3.0×107Pa 的梁?jiǎn)卧B接兩虛擬節(jié)點(diǎn),其形成的動(dòng)剛度矩陣作為與HR所重構(gòu)的裝配體頻響函數(shù)初始擬合值與測(cè)試值對(duì)比如圖9 所示.

圖8 T 形梁的連接結(jié)構(gòu)與殘余結(jié)構(gòu)耦合Fig.8 Coupling of Joint and residual structure of T-Beam

圖9 迭代前裝配體頻響函數(shù)重構(gòu)值與測(cè)試值對(duì)比Fig.9 Comparison of reconstructed and experimental assembly FRF before iteration

按1.4 中所述流程識(shí)別得到的DJ擬合系數(shù)常數(shù)項(xiàng)、二次項(xiàng)作為連接結(jié)構(gòu)的剛度、質(zhì)量矩陣,與殘余結(jié)構(gòu)有限元模型重組可得到修正的裝配體有限元模型,其頻響函數(shù)結(jié)果與測(cè)試值匹配較好(圖10),表明本文方法能有效識(shí)別實(shí)際連接結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性.值得注意的是,由于實(shí)際連接結(jié)構(gòu)剛度、質(zhì)量矩陣的對(duì)稱性、稀疏性及其他特性將對(duì)DJ的擬合系數(shù)產(chǎn)生一系列約束,需在辨識(shí)方程中予以考慮.迭代過程中共振區(qū)序列 L1中各頻率點(diǎn)的裝配體重構(gòu)頻響與測(cè)試頻響的幅值相關(guān)性如圖11 所示,可見其隨著迭代步的增加而不斷提高,即殘差范數(shù)||f(g)||逐漸減小,驗(yàn)證了算法的收斂性.

圖10 迭代后裝配體頻響函數(shù)重構(gòu)值與測(cè)試值對(duì)比Fig.10 Comparison of reconstructed and experimental assembly FRF after iteration

圖11 頻響函數(shù)相關(guān)性的迭代歷程Fig.11 Iterative process of FRF correlation

2.2.2 螺栓連接

為進(jìn)一步驗(yàn)證所提方法對(duì)較復(fù)雜連接動(dòng)力學(xué)特性的識(shí)別能力,對(duì)一個(gè)包含兩處螺栓連接的雙梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行了實(shí)驗(yàn).該裝配體結(jié)構(gòu)由兩根相同的長(zhǎng)度為500 mm 的L 形梁(殘余結(jié)構(gòu))通過螺栓連接而成,測(cè)試中使用的數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)如圖12 所示.測(cè)試頻率范圍設(shè)置為2500 Hz,取1600 條譜線.裝配體結(jié)構(gòu)以海綿墊支撐以模擬自由-自由邊界條件,三軸傳感器位于螺栓附近,在均布的138 個(gè)測(cè)試點(diǎn)上進(jìn)行錘擊,獲得其頻響函數(shù)P*THAPI.采用Shell63 板單元對(duì)單根L 形梁建模,并按材料參數(shù)劃分為3 個(gè)組.經(jīng)模型修正后得到校準(zhǔn)的殘余結(jié)構(gòu)有限元模型,其計(jì)算的頻響函數(shù)與測(cè)試值吻合較好(圖13).材料參數(shù)如表2 所示,且殘余結(jié)構(gòu)與連接結(jié)構(gòu)的剛度比例阻尼系數(shù)均取為1.0 × 10-7.利用該模型可較準(zhǔn)確地計(jì)算出包含完備界面自由度信息的殘余結(jié)構(gòu)頻響函數(shù).

表2 梁I 和II 的模型材料參數(shù)Table 2 The material parameters of Beam I and Beam II

圖13 殘余結(jié)構(gòu)校準(zhǔn)后模型頻響與測(cè)試值對(duì)比Fig.13 Comparison of the residual structure's FRF: calibrated FEM and experimental model

殘余結(jié)構(gòu)有限元模型與連接結(jié)構(gòu)的耦合如圖14所示,與實(shí)驗(yàn)一類似,通過MPC 約束將梁I、梁II 的螺栓壓緊區(qū)域內(nèi)的節(jié)點(diǎn)與連接結(jié)構(gòu)耦合,其中壓緊區(qū)域取螺栓直徑的兩倍范圍.該結(jié)構(gòu)包含兩處相同的連接,取約束方程使得兩者連接參數(shù)相同,即由于兩處連接無共同自由度,因此總體連接動(dòng)剛度矩陣為初值的取法為:以密度為7900 kg/m3、彈性模量為1.8×1011Pa的梁?jiǎn)卧B接虛擬節(jié)點(diǎn),其動(dòng)剛度矩陣作為與HR重構(gòu)的裝配體頻響函數(shù)初始擬合值與測(cè)量值對(duì)比如圖15 所示.

圖14 L 形梁的連接結(jié)構(gòu)與殘余結(jié)構(gòu)耦合Fig.14 Coupling of Joint and residual structure of L-Beam

圖15 迭代前裝配體頻響函數(shù)重構(gòu)值與測(cè)試值對(duì)比Fig.15 Comparison of reconstructed and experimental assembly FRF before iteration

同樣地,所辨識(shí)連接結(jié)構(gòu)與殘余結(jié)構(gòu)重組得到裝配體結(jié)構(gòu)有限元模型,其頻響函數(shù)結(jié)果與測(cè)量值對(duì)比如圖16 所示,盡管在550～ 650 Hz 的高頻段有所差異,但150～ 550 Hz 的頻率范圍內(nèi)均匹配較好.由此證明了所提方法能有效地對(duì)較復(fù)雜的多處連接特性進(jìn)行識(shí)別.圖17 為動(dòng)剛度曲線相對(duì)初值歸一化的擬合系數(shù)隨迭代的變化,可以發(fā)現(xiàn)部分參數(shù)振蕩較為明顯,裝配體結(jié)構(gòu)動(dòng)響應(yīng)對(duì)這些參數(shù)通常有低敏感性的特點(diǎn)因而易受噪聲干擾且難以準(zhǔn)確辨識(shí),也正因該特點(diǎn),其辨識(shí)誤差對(duì)對(duì)連接結(jié)構(gòu)預(yù)測(cè)裝配體動(dòng)力學(xué)特性的準(zhǔn)確性影響較小[16].

圖16 迭代后裝配體頻響函數(shù)重構(gòu)值與測(cè)試值對(duì)比Fig.16 Comparison of reconstructed and experimental assembly FRF after iteration

圖17 擬合系數(shù)的迭代歷程Fig.17 Iterative process of fitting coefficient

3 結(jié)論

本文提出一種新的連接特性識(shí)別方法,直接利用可測(cè)的裝配體頻響函數(shù)進(jìn)行辨識(shí),避免了旋轉(zhuǎn)自由度及部分不可測(cè)界面自由度的測(cè)量或估計(jì).通過具有收斂性質(zhì)的增量方程增加了界面自由度數(shù)目較多時(shí)辨識(shí)的數(shù)值穩(wěn)定性;并以多項(xiàng)式擬合動(dòng)剛度曲線,在所選頻率點(diǎn)上聯(lián)立方程得到參數(shù)估計(jì)公式,減少了對(duì)病態(tài)矩陣的求逆,提高了辨識(shí)結(jié)果的準(zhǔn)確性.通過數(shù)值仿真算例了驗(yàn)證所提方法的正確性及抗噪性,通過含膠接、螺栓連接等結(jié)構(gòu)的試驗(yàn)驗(yàn)證了方法識(shí)別較復(fù)雜的實(shí)際連接結(jié)構(gòu)特性的有效性.