荷載工況多目標(biāo)下鋼筋混凝土深梁的拓?fù)淅瓑簵U模型設(shè)計(jì)

張鵠志，黃垚森，郭原草，徐文韜

(1.湖南科技大學(xué)土木工程學(xué)院，湖南 湘潭 411201；2.湖南科技大學(xué)結(jié)構(gòu)抗風(fēng)與振動(dòng)控制湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南 湘潭 411201)

在鋼筋混凝土(簡(jiǎn)稱(chēng)RC)深梁構(gòu)件配筋設(shè)計(jì)問(wèn)題上，GB 50010—2010 《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》(2015版)建議的基于試驗(yàn)數(shù)據(jù)的半經(jīng)驗(yàn)設(shè)計(jì)方法存在配筋結(jié)果較保守、力學(xué)理論支撐不足等缺點(diǎn)；而其他國(guó)家的規(guī)范，如美國(guó)[1]，則有拉壓桿模型等應(yīng)力設(shè)計(jì)方法的建議。研究表明，漸進(jìn)演化類(lèi)算法等拓?fù)鋬?yōu)化方法是構(gòu)建拉壓桿模型的一種可靠且有效的思路[2-5]，但這類(lèi)方法大多基于某特定的單一荷載工況目標(biāo)開(kāi)展優(yōu)化，無(wú)法滿足工程結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中考慮自重荷載、人群荷載、風(fēng)雪荷載、地震荷載等多種復(fù)雜荷載工況的需求。因此，研究多荷載工況目標(biāo)下的鋼筋混凝土深梁等復(fù)雜受力構(gòu)件優(yōu)化設(shè)計(jì)方法很有必要。

結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化算法中工程應(yīng)用較多的有兩類(lèi)，一類(lèi)是漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化類(lèi)算法，源自Xie等[6]在1993年提出的漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化(簡(jiǎn)稱(chēng)ESO)。該算法基于應(yīng)力分布進(jìn)行迭代優(yōu)化，逐步刪除結(jié)構(gòu)中的低效或無(wú)效單元，演化出結(jié)構(gòu)拓?fù)?。這類(lèi)算法之后又根據(jù)不同的演化方向和淘汰機(jī)制衍生出遞增結(jié)構(gòu)優(yōu)化[7]、雙向結(jié)構(gòu)優(yōu)化[8]、遺傳演化結(jié)構(gòu)優(yōu)化[9](簡(jiǎn)稱(chēng)GESO)等，特別是GESO，引入概率性淘汰機(jī)制，抑制了ESO棋盤(pán)格現(xiàn)象等缺陷并提高了這類(lèi)算法的全局尋優(yōu)能力。另一類(lèi)是Bendsoe等[10]提出的固體各向同性材料懲罰模型(簡(jiǎn)稱(chēng)SIMP)。SIMP模型具有程序設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單、便于實(shí)現(xiàn)和工程應(yīng)用等優(yōu)點(diǎn)，但灰度單元等問(wèn)題仍需進(jìn)一步解決。以上這些拓?fù)鋬?yōu)化算法在機(jī)電設(shè)計(jì)[11]、汽車(chē)制造[12]、建筑結(jié)構(gòu)[13]、工程力學(xué)[14]等領(lǐng)域都得到了一定的應(yīng)用，但運(yùn)行中均缺乏能考慮多種荷載工況的運(yùn)用方式。有學(xué)者針對(duì)該問(wèn)題展開(kāi)研究，特別是關(guān)于荷載工況多目標(biāo)下的病態(tài)荷載問(wèn)題，如秦浩星等[15]將應(yīng)變能目標(biāo)函數(shù)歸一化，獲取最優(yōu)工況權(quán)重系數(shù)，提出多工況結(jié)構(gòu)拓?fù)湔壑幸?guī)劃模型；楊德慶等[16]利用映射變換解法處理荷載工況多目標(biāo)下的病態(tài)荷載問(wèn)題。這些研究在一定程度上推動(dòng)了多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化算法的發(fā)展，但在工程應(yīng)用，特別是在土木工程領(lǐng)域，還面臨較多的困難。因此，解決荷載工況多目標(biāo)下的病態(tài)荷載問(wèn)題，借助拓?fù)鋬?yōu)化算法構(gòu)建拉壓桿模型，分析模型并據(jù)之探討構(gòu)件受力特性，以期形成深梁類(lèi)構(gòu)件的拓?fù)淅瓑簵U模型設(shè)計(jì)方法。

1 荷載工況多目標(biāo)GESO及拉壓桿模型

1.1 荷載工況病態(tài)的處理

在有限元建模分析中，面臨多荷載工況(P1，P2，…，Pn)時(shí)，如果某荷載值Pi遠(yuǎn)大于另一荷載值Pj，可能造成模型中部分單元在這兩個(gè)工況下的應(yīng)變能或應(yīng)力靈敏度存在數(shù)量級(jí)的差別，從而導(dǎo)致較小荷載工況對(duì)最后的拓?fù)浣鉄o(wú)法體現(xiàn)，即出現(xiàn)荷載工況多目標(biāo)下的病態(tài)荷載。

1.2 荷載工況多目標(biāo)GESO

荷載工況多目標(biāo)GESO中，對(duì)第k個(gè)工況下單元應(yīng)變能表達(dá)式[9]如下：

(1)

式中：Ci,k、Ti、ui——在第k個(gè)工況下第i個(gè)單元的應(yīng)變能、剛度矩陣與位移向量。

此時(shí)，荷載工況多目標(biāo)下單元應(yīng)變能靈敏度如下：

Ci=max{Ci,1,Ci,2,…,Ci,k,…,Ci,n}

(2)

(3)

式中：Vi——第i個(gè)單元的體積(面積)；l——存活單元總數(shù)。

由于優(yōu)化對(duì)象材料的密度是均勻的，因此物體的質(zhì)量與體積(面積)呈線性關(guān)系，可在優(yōu)化過(guò)程中定義性能指標(biāo)T[9]：

(4)

利用式(1)和式(2)實(shí)現(xiàn)以給定質(zhì)量下剛度最大為目標(biāo)的優(yōu)化，利用式(4)逐代記錄的T值完成最優(yōu)拓?fù)涞呐卸ā?/p>

荷載工況多目標(biāo)GESO的具體步驟如下：(a)建立鋼筋混凝土有限元模型，給出約束條件與荷載等價(jià)化處理后的荷載條件；(b)分別求解結(jié)構(gòu)在每種荷載工況下的平衡方程，獲取單元相應(yīng)的應(yīng)變能靈敏度；(c)提取每個(gè)單元在各荷載工況單獨(dú)作用下的應(yīng)變能靈敏度最大值，作為其在該代的靈敏度；(d)判定是否滿足停止準(zhǔn)則，若滿足，則跳出循環(huán)；否則繼續(xù)優(yōu)化；(e)選擇所有存活單元進(jìn)行雜交與變異等遺傳算子操作；(f)根據(jù)優(yōu)化準(zhǔn)則完成選擇與舍去，返回步驟(b)。

荷載工況多目標(biāo)GESO的流程圖如圖1所示。

圖1 荷載工況多目標(biāo)GESO的流程Fig.1 Flow chart of multi-objective GESO of loads

1.3 拓?fù)淅瓑簵U模型的力學(xué)計(jì)算

在將荷載工況多目標(biāo)GESO的拓?fù)浣庥糜谳o助拉壓桿模型以指導(dǎo)配筋設(shè)計(jì)時(shí)，需先求解拉壓桿模型的軸力分布，該軸力分布為各個(gè)荷載目標(biāo)下的拉壓桿模型的軸力包絡(luò)值分布。

2 鋼筋混凝土深梁算例

2.1 單側(cè)開(kāi)洞簡(jiǎn)支深梁

單側(cè)開(kāi)洞簡(jiǎn)支深梁，梁寬b=160 mm，其余尺寸如圖2(a)所示。第一個(gè)荷載工況為單獨(dú)承受向下的P1=100 kN，第二個(gè)荷載工況為單獨(dú)承受向下的P2=100 kN。利用ANSYS中的APDL二次開(kāi)發(fā)平臺(tái)來(lái)實(shí)現(xiàn)荷載多目標(biāo)GESO，利用善于處理平面應(yīng)力問(wèn)題的八節(jié)點(diǎn)單元——plane82平面單元建立鋼筋混凝土整體模型，以實(shí)常數(shù)表達(dá)梁寬信息。在該模型中，鋼筋混凝土被作為一種兼具良好拉壓性能的復(fù)合材料來(lái)模擬，泊松比取0.2，彈性模量取28 GPa，單元尺寸為20 mm×20 mm，基于線彈性分析結(jié)果進(jìn)行優(yōu)化。此外，參考文獻(xiàn)[9]的研究結(jié)論，變異率和雜交率均取0.2，最優(yōu)個(gè)體選擇率取0.3。

圖2 單側(cè)開(kāi)洞簡(jiǎn)支深梁的拓?fù)鋬?yōu)化Fig.2 Topological optimization of simply supported deep beam with a one-side opening

算例在各種不同荷載工況目標(biāo)下的拓?fù)浣馊鐖D2(b)～(f)所示。從圖2(b)(c)(e)可知，單一荷載工況下的拓?fù)浣庋莼癁檩^清晰的桿系結(jié)構(gòu)，是易于參照構(gòu)建拉壓桿模型的；而直接疊加兩個(gè)荷載工況的拓?fù)浣獾玫降膱D2(d)，是較為混沌的，據(jù)之建立拉壓桿模型較為困難。根據(jù)荷載工況多目標(biāo)GESO的具體步驟與流程圖完成荷載工況多目標(biāo)GESO，得到的圖2(f)正是兼顧兩個(gè)荷載工況目標(biāo)完成GESO所得的拓?fù)浣猓扬@示為典型的桿系結(jié)構(gòu)。從圖2(f)可以看出其與前面幾種拓?fù)浣獾娘@著區(qū)別，至少說(shuō)明荷載工況多目標(biāo)GESO，與按單目標(biāo)優(yōu)化分別獲取不同荷載工況下的拓?fù)浣?，再?gòu)椥辕B加這些拓?fù)浣獾膬?yōu)化方式，以及與按同時(shí)作用多種荷載工況的單目標(biāo)優(yōu)化相比，優(yōu)化路徑完全不同。參照?qǐng)D2(f)人工完成拉壓桿模型的建立，再展開(kāi)兩個(gè)荷載工況分別單獨(dú)作用下的拉壓桿模型結(jié)構(gòu)力學(xué)分析，桿件內(nèi)力結(jié)果及其包絡(luò)結(jié)果見(jiàn)圖3(圖中數(shù)字表示受拉時(shí)的包絡(luò)限值，括號(hào)內(nèi)的數(shù)字表示受壓時(shí)的包絡(luò)限值)。在建立拉壓桿模型時(shí)，為了使構(gòu)建的拉壓桿模型更貼近拓?fù)浣?，參考文獻(xiàn)[17]的觀點(diǎn)，拉壓桿模型并非桁架模型，在保證計(jì)算彎矩較小時(shí)，可以將這些拉壓桿模型中桿件間的連接均采用剛結(jié)點(diǎn)。由于在P1單獨(dú)作用下桿件AB彎矩最大，MAB=0.63 kN·m；在P2單獨(dú)作用下桿件CD彎矩最大，MCD=0.39 kN·m?？梢?jiàn)，不管作用哪個(gè)荷載工況，模型中的彎矩水平均相當(dāng)?shù)?，可以忽略不?jì)。假定所有桿件的抗彎剛度EI均相等時(shí)，正應(yīng)力可以忽略不計(jì)，利用該拓?fù)浣饽軌蚪⒁訮1、P2為荷載工況目標(biāo)較理想的拉壓桿模型。同時(shí)，由該模型能夠較好地滿足所設(shè)計(jì)荷載工況的受力性能表明：先等價(jià)化荷載后，再在構(gòu)建拉壓桿模型時(shí)考慮實(shí)際荷載工況條件這一思路可以避免荷載病態(tài)現(xiàn)象。

圖3 荷載多目標(biāo)GESO所建拓?fù)淅瓑簵U模型的軸力解及包絡(luò)結(jié)果(單位：kN)Fig.3 Axial force solutions and their envelope results of topological Strut-and-Tie model constructed by multi-objective GESO of loads (unit: kN)

為了進(jìn)行對(duì)比，根據(jù)圖2(b)建立拉壓桿模型，同樣完成兩個(gè)荷載工況分別單獨(dú)作用下的拉壓桿模型結(jié)構(gòu)力學(xué)分析(所有桿件抗壓剛度EA均取等值)，桿件內(nèi)力結(jié)果見(jiàn)圖4。雖然圖4(a)和圖4(b)分別與圖3(a)和圖3(b)中的軸力水平相差不大，但圖4(a)中桿件EF的E端和桿件GI的H端彎矩值已達(dá)到一定的數(shù)量級(jí)，如此高的彎矩水平顯然不符合拉壓桿模型特性，該拉壓桿模型無(wú)法滿足另一個(gè)荷載工況目標(biāo)，是不合理的。

圖4 P1工況對(duì)應(yīng)荷載工況單目標(biāo)GESO所建拓?fù)淅瓑簵U模型的軸力解(單位：kN)Fig.4 Axial force solutions of topological Strut-and-Tie model constructed by single-objective GESO of load case P1 (unit: kN)

再根據(jù)圖2(e)建立拉壓桿模型，完成兩個(gè)荷載工況分別單獨(dú)作用和共同作用下的拉壓桿模型結(jié)構(gòu)力學(xué)分析，桿件內(nèi)力結(jié)果及兩個(gè)荷載工況單獨(dú)作用的軸力包絡(luò)結(jié)果見(jiàn)圖5(圖中數(shù)字表示受拉時(shí)的包絡(luò)限值，括號(hào)內(nèi)的數(shù)字表示受壓時(shí)的包絡(luò)限值)。

a.在P1單獨(dú)作用下桿件JK彎矩最大，MJK=4.07 kN·m，在P2單獨(dú)作用下桿件LM彎矩最大，MLM=2.62 kN·m，表明僅從彎矩水平來(lái)看，不管是P1還是P2單獨(dú)作用，該P(yáng)1與P2同時(shí)作用作為單獨(dú)工況對(duì)應(yīng)的荷載工況單目標(biāo)GESO所建立的拓?fù)淅瓑簵U模型都劣于荷載工況多目標(biāo)GESO所建立的拓?fù)淅瓑簵U模型。

b.比較圖3(c)和圖5(c)的應(yīng)變能水平，假定兩種拉壓桿模型中的桿件軸向剛度均為定值抗壓剛度，按下式計(jì)算每根桿件的應(yīng)變能和模型的平均應(yīng)變能：

圖5 P1與P2共同作用工況對(duì)應(yīng)荷載工況單目標(biāo)GESO所建拓?fù)淅瓑簵U模型的軸力解及包絡(luò)結(jié)果(單位：kN)Fig.5 Axial force solutions and their envelope results of topological Strut-and-Tie model constructed by single-objective GESO of applying load cases P1 and P2 simultaneously(unit:kN)

(5)

(6)

c.在P1與P2共同作用下桿件NO彎矩最大，MNO=1.37 kN·m，但從圖5(d)可以看出，模型的軸力水平已遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于圖3(c)。所謂荷載工況多目標(biāo)，即這些荷載工況一般不會(huì)同時(shí)作用(同時(shí)作用的實(shí)際是荷載單工況目標(biāo)問(wèn)題)，所以如果直接參照?qǐng)D5(d)進(jìn)行配筋設(shè)計(jì)，明顯是極不經(jīng)濟(jì)的，此時(shí)，荷載工況多目標(biāo)下拉壓桿模型設(shè)計(jì)方法的價(jià)值就更加突顯。

2.2 3種荷載工況加載時(shí)兩端固定鉸支深梁

3種荷載工況目標(biāo)下的兩端固定鉸支深梁，梁寬b=160 mm，其余尺寸見(jiàn)圖6(a)。3種荷載工況分別為單獨(dú)承受向下的P1=100 kN、P2=100 kN和P3=100 kN。荷載工況多目標(biāo)GESO所得的拓?fù)浣馊鐖D6(b)所示。

圖6 3種荷載工況加載時(shí)的簡(jiǎn)支深梁荷載工況多目標(biāo)GESO拓?fù)鋬?yōu)化Fig.6 Topology optimization of simply supported deep beam loaded by three points by multi-objective GESO of loads

圖7所示的拓?fù)浣獬霈F(xiàn)了少量不對(duì)稱(chēng)的細(xì)節(jié)，這是由于GESO中引入了遺傳算法，優(yōu)化過(guò)程具有概率性所引起的，此外，計(jì)算浮點(diǎn)誤差時(shí)也可能造成這種現(xiàn)象。從傳力路徑的角度上看，桿件的主要傳力路徑集中在幾根主斜壓桿上，這些主斜壓桿均對(duì)稱(chēng)；其余為次要傳力路徑支桿，不對(duì)稱(chēng)的情況也主要發(fā)生在這些支桿上。出于簡(jiǎn)化，以圖6(b)的右側(cè)部分為主要參考，參照?qǐng)D6(b)建立如圖7(a)所示的拉壓桿模型。在完成結(jié)構(gòu)力學(xué)分析(所有桿件EA均取等值)時(shí)，發(fā)現(xiàn)這些支桿的內(nèi)力水平遠(yuǎn)低于主要桿件，基本可以忽略。進(jìn)一步簡(jiǎn)化忽略支桿，建立精簡(jiǎn)后的拉壓桿模型，如圖7(b)所示，并得到軸力包絡(luò)結(jié)果。經(jīng)計(jì)算，該拉壓桿模型結(jié)點(diǎn)彎矩很小，可以忽略。從圖7(b)可以看出，該拉壓桿模型下，內(nèi)力水平和分布均較合理，傳力3種荷載工況下的傳力路徑均明確且簡(jiǎn)潔，證明了荷載工況多目標(biāo)GESO的穩(wěn)定性及面臨更多荷載工況目標(biāo)時(shí)的優(yōu)化能力。

圖7 3點(diǎn)加載簡(jiǎn)支深梁的拓?fù)淅瓑簵U模型Fig.7 Topological Strut-and-Tie models of simply supported deep beam loaded by three points

在以上荷載工況多目標(biāo)GESO算法和拓?fù)淅瓑簵U模型建立方式下，一方面，不同邊界條件下的深梁所得到的拉壓桿模型軸力解結(jié)果均未出現(xiàn)對(duì)某一荷載工況作用的忽略，即有效避免了荷載病態(tài)現(xiàn)象，說(shuō)明等價(jià)化荷載后再構(gòu)建拉壓桿模型時(shí)，考慮實(shí)際荷載工況條件這一思路是可行的；另一方面，由于GESO對(duì)棋盤(pán)格現(xiàn)象良好的抑制能力，依據(jù)其拓?fù)浣饨⒗瓑簵U模型是一條直觀可行的思路。

2.3 鋼筋混凝土深梁的配筋建議

由文獻(xiàn)[4]深梁的配筋設(shè)計(jì)試驗(yàn)結(jié)果可知拉壓桿模型設(shè)計(jì)的深梁，一方面能保證承載力，另一方面能節(jié)省鋼筋用量，同時(shí)更加符合深梁的復(fù)雜受力特性。此外，由于GB 50010—2010《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》(2015版)踐行極限狀態(tài)設(shè)計(jì)法，認(rèn)為受拉混凝土在開(kāi)裂后退出工作，荷載通過(guò)鋼筋拉桿及未開(kāi)裂混凝土構(gòu)成的壓桿進(jìn)行傳遞[17]。結(jié)合本文算例，經(jīng)荷載工況多目標(biāo)GESO建立的拓?fù)淅瓑簵U模型及其結(jié)構(gòu)力學(xué)分析結(jié)果，給出如圖8所示的配筋建議方案，其中圖3(c)和圖7(b)的拉壓桿結(jié)果可分別參考圖8(a)和圖8(b)進(jìn)行配筋設(shè)計(jì)。

圖8 鋼筋混凝土深梁的鋼筋布置建議Fig.8 Reinforcement layout suggestions for RC deep beams

3 結(jié) 論

a.在荷載工況多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)，先等價(jià)化荷載以求取拓?fù)浣獠?jù)之建立拉壓桿模型，再逐一輸入每個(gè)實(shí)際荷載工況值完成力學(xué)分析，取桿件軸力包絡(luò)值作為設(shè)計(jì)參考，可以有效解決病態(tài)荷載問(wèn)題。

b.在GESO的每一代遺傳演化前，每個(gè)單元取其在各工況單獨(dú)作用下的應(yīng)變能最大值作為該代靈敏度參數(shù)，GESO算法即被拓寬至可以處理荷載工況多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題。

c.根據(jù)拓?fù)浣饨⒗瓑簵U模型并完成力學(xué)分析，以模型桿件內(nèi)力水平及分布為指標(biāo)進(jìn)行比較，各種荷載工況單目標(biāo)優(yōu)化方式得到的拓?fù)浣舛剂佑诤奢d工況多目標(biāo)GESO，表明荷載工況多目標(biāo)GESO的全局尋優(yōu)能力較強(qiáng)。

d.荷載工況多目標(biāo)GESO可以較有效地抑制棋盤(pán)格現(xiàn)象，獲取較清晰的桿系結(jié)構(gòu)拓?fù)浣?，依?jù)其建立拉壓桿模型是一種直觀可行的方法。