基于比例風(fēng)險模型的船舶狀態(tài)機會維修策略

李冀暉，黃錦敬，韋發(fā)清

（湛江科技學(xué)院，廣東 湛江 524094）

目前，船舶維修主要以事后維修和定期維修為主。針對一些易于監(jiān)測的關(guān)鍵部件輔以狀態(tài)維修的檢修模式，這容易造成維修過度或維修不足等問題，對船舶運行的安全性和經(jīng)濟性造成不利影響。針對船舶維修，國內(nèi)外學(xué)者進行大量研究，魯金明等[1]建立以任務(wù)可用度及系統(tǒng)可靠度為約束，最低維修費用為優(yōu)化目標(biāo)的船舶最佳維修周期模型；張剛等[2]研究基于PMS 模型的船舶設(shè)備維修保養(yǎng)策略，綜合考慮維修時間、費用和可靠性的關(guān)系；江曉俐[3]針對船體結(jié)構(gòu)維修問題，提出使用半Markov過程優(yōu)化維修方案，使船舶單位時間營運成本降至最低；Si 等[4]采用連續(xù)Markov 鏈描述工作狀態(tài)對部件退化的影響，研究部件剩余壽命分布，提出計算剩余壽命的蒙特卡洛仿真算法；楊立乾等[5]構(gòu)建船舶關(guān)鍵部件的Gamma 退化過程模型，制定船舶關(guān)鍵部件的狀態(tài)維修策略，該策略能顯著降低船舶關(guān)鍵部件的維修費用；杜黨波等[6]針對復(fù)雜設(shè)備的線性和非線性疊加的退化問題，提出一種基于維納過程的帶隨機參數(shù)和確定參數(shù)的混合退化模型，并采用Kalman 濾波技術(shù)和極大似然估計方法對模型中的隨機參數(shù)和確定參數(shù)進行求解；孫林凱等[7]研究維修次數(shù)對維修周期的影響，建立周期可變的船舶設(shè)備預(yù)防性維修模型，并用MATLAB 分析維修周期的的變化規(guī)律。這些學(xué)者從不同角度對船舶關(guān)鍵部件的狀態(tài)變化和壽命規(guī)律進行建模，并得到相應(yīng)的維修決策方案，但從部件的綜合狀態(tài)進行定性和定量分析入手，研究其壽命規(guī)律比較少見。

比例風(fēng)險模型（proportional hazard model，PHM）能將部件的狀態(tài)信息融合到壽命模型中，從而能更準(zhǔn)確評估部件的壽命規(guī)律[8]。周志才等[9]針對船舶柴油機維修問題，采用威布爾比例風(fēng)險模型描述系統(tǒng)狀態(tài)信息和失效率的關(guān)系，構(gòu)建了視情維修決策模型；文獻[10-15]分別在不同領(lǐng)域構(gòu)建基于設(shè)備狀態(tài)信息的比例風(fēng)險模型，得到各自設(shè)備的維修策略。這些學(xué)者研究比例風(fēng)險模型在不同設(shè)備領(lǐng)域的應(yīng)用，但對船舶部件的維修，尤其是船舶關(guān)鍵部件的狀態(tài)機會維修則很少見諸報道。

本研究將比例風(fēng)險模型應(yīng)用到船舶維修上，首先根據(jù)船舶部件的運行時間、檢修歷史、家族質(zhì)量史、運行環(huán)境、工作載荷和狀態(tài)信息等，利用層次分析法得到各因素的權(quán)重，進而計算出船舶部件的狀態(tài)指數(shù)，再結(jié)合部件的壽命數(shù)據(jù)估計出模型參數(shù)；同時引入機會維修思想，以減少部件拆裝等停工費用，以船舶關(guān)鍵部件的可靠度閥值為約束，建立船舶關(guān)鍵部件的狀態(tài)機會維修決策模型，以期為船舶關(guān)鍵部件的預(yù)防性檢修優(yōu)化提供決策參考。

1 比例風(fēng)險模型的建立及其協(xié)變量的確定

1.1 比例風(fēng)險模型

比例風(fēng)險模型能準(zhǔn)確表達部件壽命與狀態(tài)參數(shù)、工作載荷、外部環(huán)境、家族質(zhì)量和維修歷史等因素之間的關(guān)系，各因素在模型中以乘積的形式表示，稱為協(xié)變量[16]。比例風(fēng)險模型的基本形式為

式(1)中h0(t)為基本風(fēng)險率函數(shù)，只與時間有關(guān)；exp[γZ(t)]為協(xié)變量函數(shù)，Z(t)為t時刻的協(xié)變量，表示該時刻的設(shè)備狀態(tài)，γ是協(xié)變量的系數(shù)。由于威布爾分布廣泛適用于描述各種機械設(shè)備和部件的壽命分布，故采用威布爾分布作為基本風(fēng)險函數(shù)，其表達式為

式(2)中β和η分別為威布爾分布的形狀參數(shù)和尺度參數(shù)。將其代入式(1)，可得到威布爾比例風(fēng)險模型

從式(3)可看出，風(fēng)險率除了與威布爾分布有關(guān)外，還與協(xié)變量Z(t)有關(guān)，即與協(xié)變量函數(shù)exp（γZ(t)）成比例關(guān)系。在同一時刻，協(xié)變量不同，風(fēng)險率也不同。新部件和多次維修過的部件同時投入運行一段時間后，由于不完全維修會造成部件故障率遞增和役齡遞減[17]，故多次維修過的部件風(fēng)險率更高。在惡劣環(huán)境中運行比在平順環(huán)境中運行風(fēng)險率更高，超負荷運轉(zhuǎn)比在額定載荷以內(nèi)運轉(zhuǎn)風(fēng)險率更高等。所有這些因素都屬于風(fēng)險模型的協(xié)變量，因此如何計算確定協(xié)變量成了關(guān)鍵。

1.2 協(xié)變量的確定

協(xié)變量實際上屬于設(shè)備或部件的整體運行狀態(tài)信息，這類信息有很多，需要合理、準(zhǔn)確評估才能進行有效決策。目前，研究基于設(shè)備狀態(tài)的風(fēng)險率時，主流方法有兩種：一是基于設(shè)備健康指數(shù)的反演方法[18]，二是基于設(shè)備缺陷指數(shù)和壽命數(shù)據(jù)擬合出風(fēng)險率函數(shù)[19-20]。兩種方法分別從不同方向?qū)υO(shè)備風(fēng)險率做出描述，不管是哪種方法都需要對設(shè)備的結(jié)構(gòu)原理、歷史事件和運行狀態(tài)等進行準(zhǔn)確和深入了解。根據(jù)船舶設(shè)備管理員的經(jīng)驗和工程師的意見，綜合考慮各方面因素，確定船舶設(shè)備協(xié)變量分別由內(nèi)外部環(huán)境、檢修記錄、家族質(zhì)量史、缺陷記錄和狀態(tài)數(shù)據(jù)組成，記為Zi(t)(I=1,2,…,5)。即船舶設(shè)備協(xié)變量表示為式(4)中，γi為對應(yīng)協(xié)變量分量的權(quán)重。為對各協(xié)變量分量的權(quán)重進行合理分配，采用具有主客觀分析方法優(yōu)點的層次分析法進行權(quán)重計算[17]。

為便于評估，將船舶設(shè)備協(xié)變量的取值映射到0～ 1 之間，取值越接近0 表示設(shè)備狀態(tài)越健康，取值越接近1 表示設(shè)備狀態(tài)越差，協(xié)變量取值及其對應(yīng)設(shè)備狀態(tài)的關(guān)系（表1）。

表1 設(shè)備狀態(tài)與協(xié)變量的對應(yīng)關(guān)系Table 1 Correspondence between device state and covariate

各定性指標(biāo)根據(jù)船舶的運行狀況、維修情況、自身質(zhì)量，同時參照《船舶修理標(biāo)準(zhǔn)及技術(shù)要求》結(jié)合專家打分法確定，表2—5 分別為各定性指標(biāo)的取值標(biāo)準(zhǔn)。

表2 內(nèi)外部環(huán)境取值標(biāo)準(zhǔn)Table 2 Value standard internal and external environment

狀態(tài)數(shù)據(jù)為實時反映設(shè)備運行的狀態(tài)信息，如部件振動值、噪聲、油液狀況、溫度和壓力等，屬于定量指標(biāo)，需要根據(jù)下式計算轉(zhuǎn)化為指標(biāo)值。

式(5)中，ximax表示該指標(biāo)允許取值的上界，ximin表示該指標(biāo)的最小值，xi表示該指標(biāo)的當(dāng)前值。

表3 檢修記錄取值標(biāo)準(zhǔn)Table 3 Value standard of maintenance record

表4 缺陷記錄取值標(biāo)準(zhǔn)Table 4 Value standard of defect record

表5 家族質(zhì)量史取值標(biāo)準(zhǔn)Table 5 Value standard of family quality history

1.3 模型參數(shù)估計

威布爾比例風(fēng)險模型（式(3)）還需估計3 個未知參數(shù)β、η和γ才能最終確定。由于船舶部件在使用中有相當(dāng)部分是在尚未發(fā)生故障就被換下，壽命數(shù)據(jù)中存在截尾數(shù)據(jù)，而極大似然估計在處理不完全數(shù)據(jù)樣本時具有明顯的優(yōu)勢，故采用極大似然估計法求模型參數(shù)。似然函數(shù)的一般形式[21]為

式(6)中，r為失效數(shù)據(jù)個數(shù)，n為壽命數(shù)據(jù)的總數(shù)，n－r為截尾數(shù)據(jù)個數(shù)，ti為部件i的失效時刻，tj為部件j的截尾時刻，Z(ti)為部件i在ti時刻的協(xié)變量，Z(tj)為部件j在tj時刻的協(xié)變量，f（t i,Z（ti））為部件i在ti時刻的概率密度函數(shù)，R（t j,Z（tj））為部件j在tj時刻的可靠度。由可靠性知識，得

由1.2 節(jié)可知，在各協(xié)變量中，檢修記錄和家族質(zhì)量史在部件的維修周期開始時即已確定，故每個檢測間隔期內(nèi)不變，而缺陷記錄、內(nèi)外部環(huán)境和狀態(tài)數(shù)據(jù)有可能發(fā)生變化，故協(xié)變量Z(t)不是連續(xù)值，而是離散值。在每個檢測周期內(nèi)，協(xié)變量主要有5 種變化趨勢（圖1）：1）各協(xié)變量基本無變動，為一恒定值；2）內(nèi)外部環(huán)境逐漸惡化或狀態(tài)值緩慢增加，協(xié)變量逐漸增大；3）內(nèi)外部環(huán)境逐漸好轉(zhuǎn)或狀態(tài)值緩慢減小，協(xié)變量逐漸減??；4）在某個時刻部件突然發(fā)生缺陷或內(nèi)外部環(huán)境突然惡化，協(xié)變量階躍升高；5）在某個時刻內(nèi)外部環(huán)境突然好轉(zhuǎn)，協(xié)變量階躍降低。

圖1 協(xié)變量的5 種變化趨勢Fig.1 Five trends of covariate change

由協(xié)變量的5 種變化趨勢可知，由于階躍和漸變性的存在，每個檢測間隔期內(nèi)的協(xié)變量，如果取兩個檢測點中任一個檢測值都會造成較大誤差，而取兩個檢測點的平均值則可較好地消除誤差，即第r個檢測間隔期內(nèi)協(xié)變量為

聯(lián)合式(8)和(9)，可得到可靠度的累積表達式為

式(10)中，k為部件失效或截止時間前的檢測次數(shù)，tj為部件j失效或截止時間，tji為部件j第i次檢測時間，將式(7)、(10)代入式(6)，并兩邊取對數(shù)得

式(11)中，kj為部件j在失效或截止時間前的檢測次數(shù)。對數(shù)似然函數(shù)lnL(β,η,γ)與似然函數(shù)L(β,η,γ)具有同樣的增減性，對數(shù)似然函數(shù)取得最大值時的β*、η*和γ*也是似然函數(shù)的最大值點。在此采用具有快速收斂性的牛頓法進行求解[22]。首先將式(11)分別對β、η和γ求偏導(dǎo)數(shù)，令

再對一階偏導(dǎo)數(shù)求二階偏導(dǎo)數(shù)，得到Hesse 矩陣如下：

用牛頓法構(gòu)造迭代公式：

式(14)中，k為迭代次數(shù)，當(dāng)k=0 時，β0、η0和γ0為初始值，設(shè)定初始值后由迭代公式即可求出參數(shù)估計值。

2 基于狀態(tài)的機會維修決策

2.1 機會維修策略

在制定維修決策時，首先確定維修要達到的目標(biāo)，通常是要求部件達到最大可用度、最小維修費用率或安全性等目標(biāo)。對于關(guān)鍵部件，一旦發(fā)生故障會產(chǎn)生嚴(yán)重后果，所以首要考慮安全性，即保證部件可靠度在最低可靠度要求值以上。滿足下式

式(15)中，Rp為最低可靠度要求，當(dāng)部件可靠度小于Rp時即進行預(yù)防性維修。由于對船舶部件進行預(yù)防性維修時會產(chǎn)生停機損失費、固定維修成本以及機會損失成本，為減少這類損失，盡可能將多個部件進行集中維修，在有部件做預(yù)防性維修時，可對可靠度符合下式的其他部件進行適當(dāng)?shù)臋C會維修。

式(16)中，Ro為部件的機會維修可靠度閥值?；跔顟B(tài)的機會維修決策過程如圖2。

圖2 狀態(tài)機會維修決策流程Fig.2 Status opportunity maintenance decision process

2.2 船舶關(guān)鍵部件維修費用率

在船舶關(guān)鍵部件的狀態(tài)機會維修過程中，如出現(xiàn)非預(yù)期故障，則對部件進行故障維修，在觀察周期內(nèi)，部件i總維修費用為

式(17)中，C0為固定維修費用，Cif為部件i的故障維修費用，Cip為部件i的預(yù)防性維修費用，Mif為部件i在觀察周期內(nèi)的故障維修次數(shù)，Mip為部件i在觀察周期內(nèi)的預(yù)防性維修次數(shù)，Mio為部件i在觀察周期內(nèi)的機會維修次數(shù)。

在觀察周期內(nèi)，船舶關(guān)鍵部件的總維修費用率為

式(18)中，Z為船舶關(guān)鍵部件的總維修費用率（單位：元/ d），Ti為部件i各維修間隔期總和，n為船舶關(guān)鍵部件總數(shù)，Ri(t)為部件i在時刻t的可靠度，Rip為部件i的最低可靠度要求。

3 實例分析與討論

3.1 船舶關(guān)鍵部件參數(shù)

利用調(diào)研某船舶維修公司得到的船舶維修數(shù)據(jù)，對某型船舶主傳動系統(tǒng)的齒輪箱、尾軸前軸承和后軸承3 個關(guān)鍵部件進行分析，其中齒輪箱裝有溫度計，部分安裝有振動傳感器，水潤滑軸承的水冷卻系統(tǒng)管路裝有壓力表作為監(jiān)測儀器，實時監(jiān)測各部件的工作狀態(tài)。通過對各部件狀態(tài)數(shù)據(jù)、維修記錄、運行工況等信息收集整理后，運用1.2 節(jié)方法計算各部件壽命時間點的協(xié)變量，先利用層次分析法計算得到各部件協(xié)變量權(quán)重分配（表6），再應(yīng)用式(4)計算得到部件各時刻的協(xié)變量。其中各部件壽命或監(jiān)測終點與相應(yīng)協(xié)變量數(shù)據(jù)見表7—9。

表6 各部件協(xié)變量權(quán)重Table 6 Weight of the covariates of each component

表7 齒輪箱壽命及協(xié)變量Table 7 Gearbox life and covariates

表8 尾軸前軸承壽命及協(xié)變量Table 8 Tailshaft front bearing life and covariates

表9 尾軸后軸承壽命及協(xié)變量Table 9 Tailshaft rear bearing life and covariates

可看出，部件在各個時間點都有相對應(yīng)的協(xié)變量，故障時間較早的部件協(xié)變量也相應(yīng)較大，表示其安全隱患較大，壽命較短，反之亦然。根據(jù)式(14)，利用MATLAB R2016a 編程仿真，得到三個部件的參數(shù)估計值（表10）。

表10 各部件參數(shù)估計值Table 10 Estimated parameters of each component

3.2 船舶關(guān)鍵部件機會維修策略

齒輪箱、尾軸前軸承和后軸承屬于船舶主傳動系統(tǒng)的關(guān)鍵部件，其安全性有較高要求，其最低可靠度要求分別為0.80、0.75、0.75，設(shè)定機會維修可靠度閥值后可按第2 節(jié)介紹的方法對各部件進行預(yù)防性機會維修。本研究利用一組部件壽命和狀態(tài)數(shù)據(jù)為例進行說明，各部件可靠度變化趨勢見圖3—5。

圖3 齒輪箱可靠度變化Fig.3 Gearbox reliability variation diagram

由可靠度的累積表達式(10)可知，依次記錄各監(jiān)測時間點的協(xié)變量即可求得部件在各監(jiān)測點的可靠度，當(dāng)某部件可靠度降低到接近其最低可靠度要求時，可適當(dāng)縮短監(jiān)測周期。本研究中，在船舶運行到277 d 時，尾軸后軸承可靠度降低到預(yù)防性維修可靠度閥值處（圖5）；同時，尾軸前軸承可靠度處于其機會維修區(qū)間（圖4），為減少部件裝拆等固定維修成本和停機次數(shù)，可將前軸承和后軸承一起進行維修；而齒輪箱的可靠度處于機會維修可靠度閥值上方（圖3），故無需維修。

圖4 前軸承可靠度變化Fig.4 Front bearing reliability variation diagram

圖5 后軸承可靠度變化Fig.5 Rear bearing reliability variation diagram

3.3 船舶關(guān)鍵部件維修策略對比

為比較不同維修策略的優(yōu)劣，將本研究模型與船舶關(guān)鍵部件傳統(tǒng)預(yù)防性維修策略、狀態(tài)預(yù)防維修策略和協(xié)變量只考慮狀態(tài)數(shù)據(jù)的機會維修策略進行對比，分別編號1—4，優(yōu)化各維修策略在觀察周期內(nèi)的總維修費用率。表11 為某船舶修造公司同型號船的各部件單次維修平均費用。

表11 船舶關(guān)鍵部件的維修費用Table 11 Maintenance costs of ship’s key parts元

以調(diào)研收集到的數(shù)據(jù)作為分析對象，假定各部件按順序依次進行維修或更換，以結(jié)束時間最短的部件壽命累加為觀察周期，本研究后軸承的累加壽命為最短，當(dāng)?shù)?2 個軸承進行維修后不再進行觀察。其中，傳統(tǒng)預(yù)防性維修策略以定期維修或更新為主，輔以故障修的方式，其維修周期在維修費用率最小化后可得。狀態(tài)預(yù)防維修策略只考慮各部件的單獨維修，以部件最低可靠度為閥值，對各部件進行預(yù)防性維修[23]，而不考慮不同部件維修之間的經(jīng)濟相關(guān)性，即機會維修。而協(xié)變量只考慮狀態(tài)數(shù)據(jù)的機會維修的策略，協(xié)變量只計算可觀察到的儀表上的狀態(tài)數(shù)據(jù)，如溫度、振動、壓力等，不考慮家族質(zhì)量和維修記錄等前期數(shù)據(jù)，具體計算方法可參考文獻[13-14]。表12 為各維修策略的優(yōu)化結(jié)果，表中各維修次數(shù)為系統(tǒng)總維修次數(shù)。

表12 各維修策略的優(yōu)化結(jié)果Table 12 Optimization results of each maintenance strategy

傳統(tǒng)預(yù)防性維修根據(jù)各部件的整體壽命規(guī)律執(zhí)行定周期維修，缺乏對具體部件狀態(tài)的考慮，容易造成對較健康部件的過度維修，而對前期缺陷較嚴(yán)重的部件又不能及時維修。狀態(tài)預(yù)防維修策略不考慮部件間的機會維修，容易造成固定維修費用和停機損失的增加。而協(xié)變量只考慮狀態(tài)數(shù)據(jù)的機會維修策略，容易對部件前期狀態(tài)較差的部件欠考慮，所以其預(yù)防性維修次數(shù)相對較少，而故障維修次數(shù)反而偏多。

本研究建立的狀態(tài)機會維修模型，其協(xié)變量考慮多個因素，故能更好地反映部件具體狀態(tài)和整體壽命規(guī)律，從而能有效避免維修過剩和維修不足。而部件之間的機會維修可節(jié)約固定維修成本和停機次數(shù)，提高船舶的在線運營率。

4 結(jié)論

1）充分考慮檢修記錄、家族質(zhì)量史、缺陷記錄、內(nèi)外部環(huán)境和狀態(tài)信息對船舶關(guān)鍵部件的壽命影響，運用具有主客觀分析方法優(yōu)點的層次分析法計算各指標(biāo)的權(quán)重。同時研究協(xié)變量在每個檢測周期的變化規(guī)律，選取每個檢測周期首尾兩個檢測點的協(xié)變量平均值作為該周期的協(xié)變量。在此基礎(chǔ)上建立兼顧部件壽命規(guī)律和個體狀態(tài)的比例風(fēng)險模型，最后用極大似然估計法估計模型的3 個未知參數(shù)。

2）由部件壽命周期各檢測點的協(xié)變量，運用可靠度的累積表達式容易計算出部件在各檢測點的可靠度。根據(jù)各部件的最低可靠度要求，設(shè)定機會維修可靠度閥值，通過對比各部件的可靠度變化關(guān)系，引入狀態(tài)機會維修策略，可以降低船舶的固定維修費用和停機損失。以船舶齒輪箱、尾軸前軸承和后軸承為例，對比分析了四種維修策略，結(jié)果表明，本文提出的模型與其余三種維修策略相比，分別可以節(jié)省9.4%、4.1%、3.4%的維修費用。本研究建立的比例風(fēng)險模型，其協(xié)變量的計算具有一定的主觀性，較大程度上依賴于決策者的經(jīng)驗和技術(shù)水平，今后的研究可從建立更科學(xué)和客觀的協(xié)變量分析計算方法著手，提升模型的易用性。