巧破解，妙拓展

張新村

摘 要：解析幾何是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)之一，也是歷年高考中的重點(diǎn)和難點(diǎn)。以橢圓和雙曲線為背景的高考解答題，思路雖然明朗，但運(yùn)算要求靈活嚴(yán)謹(jǐn)，對(duì)代數(shù)運(yùn)算的要求比較高。以拋物線為背景的解析幾何問題，拋物線方程特點(diǎn)鮮明，幾何特征簡(jiǎn)潔明了，只要找到恰當(dāng)巧妙的切入點(diǎn)，巧妙運(yùn)用一些經(jīng)典、簡(jiǎn)單的結(jié)論，在解題時(shí)就有事半功倍之效。以一道拋物線兩條切線交點(diǎn)問題作為切入點(diǎn)，在課堂教學(xué)中進(jìn)行拓展探究，拋磚引玉，以期為新高考復(fù)習(xí)備考提供些許幫助。

關(guān)鍵詞：拋物線;探究;韋達(dá)定理

一、問題呈現(xiàn)

問題：已知拋物線C：x2=4y。過拋物線C上兩點(diǎn)A，B分別作拋物線的兩條切線PA，PB，P為兩條切線交點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)。若■·■，則直線OA，OB斜率之積為（ ）

分析：本題主要考查拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)，直線與拋物線相切，考查學(xué)生的運(yùn)算能力和抽象概括能力，也考查學(xué)生的核心素養(yǎng)數(shù)學(xué)，其中涉及的運(yùn)算工具是導(dǎo)數(shù)和向量。

二、問題破解

解法一：（特殊位置定結(jié)論）

本題是選擇題，并且是圓錐曲線動(dòng)態(tài)中求定值問題，

點(diǎn)評(píng)：解法一由特殊得到一般結(jié)論，對(duì)于動(dòng)態(tài)下求定值或定點(diǎn)問題，往往可以由特殊位置或特殊值鎖定結(jié)論，然后再對(duì)一般情況進(jìn)行論證;解法二則是通過解析法論證解法一的結(jié)論。兩種解法中兩個(gè)關(guān)鍵切入點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)幾何意義應(yīng)用和向量數(shù)量積的轉(zhuǎn)化。學(xué)生處理這個(gè)問題薄弱的地方就是沒有想到利用導(dǎo)數(shù)求切線斜率，大多數(shù)學(xué)生采用的是解法一。

三、拓展探究

對(duì)這個(gè)拋物線問題的講解如僅僅停留在本題表面的求解，那么就錯(cuò)失了一次很好的探究機(jī)會(huì)，教學(xué)中嘗試通過反問和提問來激發(fā)學(xué)生的思考。

問題2：本題中兩條動(dòng)直線相交于一點(diǎn)P，且垂直，除了直線OA，OB斜率之積為定值，是否還存在定性的結(jié)論？

學(xué)生能夠根據(jù)解法一求出點(diǎn)P坐標(biāo)（0，-1），從而猜想點(diǎn)P可能在定直線y=-1上運(yùn)動(dòng)，接下來就是證明切線的交點(diǎn)P在定直線y=-1上，即證兩切線交點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為定值-1。

問題3：若拋物線方程不變，P是直線y=-1上動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線分別與拋物線相切于A，B，試問直線AB是否過定點(diǎn)？

以拋物線焦點(diǎn)在y軸上為例，通過以上拓展問題的研究可以總結(jié)出如下有用信息：在直線與拋物線位置關(guān)系的問題中，若直線恒過定點(diǎn)，則必可以找到x1+x2與x1·x2的線性組合的式子;反之，若題目中給出的條件能化簡(jiǎn)為關(guān)于x1+x2與x1·x2的線性組合的式子，則可證明直線過定點(diǎn)，且定點(diǎn)不一定在坐標(biāo)軸上。

四、教后感悟

總之，如何在新高考模式下是高三復(fù)習(xí)真正高效，我想需要我們重新認(rèn)識(shí)課堂的教學(xué)建構(gòu)，目標(biāo)和過程不能僅限于學(xué)生當(dāng)前的感受，需要思考從哪個(gè)切入點(diǎn)調(diào)動(dòng)學(xué)生的活躍思維;需思考以哪個(gè)獨(dú)特的知識(shí)點(diǎn)去感染學(xué)生，引發(fā)思維碰撞;也需想好從哪里延伸開去，使學(xué)生思維活動(dòng)繼續(xù)，讓學(xué)生的思維得到充分的鍛煉，形成良好的數(shù)學(xué)品質(zhì)，培養(yǎng)核心素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

司林森.多角度巧思維：一道拋物線最值題的破解[J].高中數(shù)理化，2019（10）.