基于擴展卡爾曼濾波的三軸氣浮臺質(zhì)心位置測算方法

胡奇飛，李 穩(wěn)

(中聯(lián)恒通機械有限公司，湖南 長沙 410073)

0 引言

三軸氣浮臺通過氣浮球軸承實現(xiàn)近似無摩擦的系統(tǒng)來模擬太空失重環(huán)境，需要通過調(diào)平衡裝置將質(zhì)心調(diào)節(jié)到轉(zhuǎn)動中心的位置以消除重力帶來的干擾力矩。因此，調(diào)平衡技術(shù)是實現(xiàn)高精度氣浮臺的關(guān)鍵技術(shù)。一般而言，自動調(diào)平衡技術(shù)較人工調(diào)平技術(shù)效率高、精度高，是當(dāng)前研究的熱點。

為實現(xiàn)精確調(diào)平衡，必須先測算出質(zhì)心的精確位置。通過Pro/E軟件建立氣浮臺的三維模型，可以初步計算氣浮臺的質(zhì)心位置，但由于電線、焊接點等零部件建模存在困難，這一方法無法精確計算出質(zhì)心的位置。起初，研究人員通過測量氣浮臺的擺動周期來測算質(zhì)心位置的偏移，進而進行配平。這種方法將氣浮臺等效為3D復(fù)擺[1]，但這一方法需要反復(fù)測量氣浮臺的擺動周期，所需調(diào)節(jié)時間較長。隨后，人們提出基于氣浮臺的剛體動力學(xué)方程來控制執(zhí)行機構(gòu)，調(diào)節(jié)質(zhì)心位置，文獻[2]給出了通過2個傾角傳感器實現(xiàn)水平方向自動配平的方法，文獻[3]和文獻[4]提出了在已知轉(zhuǎn)動慣量的情況下計算質(zhì)心的方法。

本文通過建立三軸氣浮臺的動力學(xué)模型，采用基于最小二乘法和擴展卡爾曼濾波處理姿態(tài)信息、計算質(zhì)心位置，求解配重滑塊位置，實現(xiàn)氣浮臺自動調(diào)平衡，并與周期反饋算法進行比較。

1 三軸氣浮臺動力學(xué)模型建立與數(shù)值仿真

1.1 三軸氣浮臺全物理仿真設(shè)備

三軸氣浮臺由支撐座、氣浮球軸承和轉(zhuǎn)動臺體三部分組成。氣浮球軸承通過球窩上布置的噴嘴噴出高壓氣體，在球窩與球頭間形成一層極薄的氣膜，實現(xiàn)三軸近似無摩擦轉(zhuǎn)動。氣浮臺采用傘形結(jié)構(gòu)，其三維模型如圖1所示。

圖1 氣浮臺三維模型 圖2 慣性坐標系和隨體坐標系

通過Pro/E建立的三維模型計算得到氣浮臺的質(zhì)量m=136.953 22 kg，其質(zhì)心位置偏移r=[0,0,-1.851 949 3×10-3] m，氣浮臺相對于轉(zhuǎn)動中心(球頭球心)的轉(zhuǎn)動慣量為：

(1)

其中：Ixx、Iyy、Izz分別為氣浮臺相對于X、Y、Z的轉(zhuǎn)動慣量；Ixy、Ixz、Iyx、Iyz、Izx和Izy均為慣量積。

臺體上布置一個兩軸傾角儀，輸出頻率為100 Hz，精度為0.002°，測量臺體角度信息，通過數(shù)據(jù)處理可測得臺體的擺動周期。

1.2 三軸氣浮臺動力學(xué)模型

以三軸氣浮臺的轉(zhuǎn)動中心作為原點建立隨體坐標系O-XbYbZb和慣性坐標系O-XIYIZI，如圖2所示。

(2)

其中：ψ為偏航角；θ為俯仰角；β為滾轉(zhuǎn)角。

對于歐拉角速度方程，有：

(3)

又有動量矩定理：

(4)

其中：M0為作用于氣浮臺的外力矩矢量和；L0為氣浮臺質(zhì)心的動量矩。

由于氣浮臺旋轉(zhuǎn)中心與質(zhì)心不重合，所以又有：

(5)

其中：r為質(zhì)心偏移量；Lc為氣浮臺相對于質(zhì)心的角動量；ω為氣浮臺相對于慣性坐標系的角速度。

Lc的計算公式為：

(6)

將式(5)和式(6)代入式(4),可得：

其中：A為角動量運算矩陣；B為軸向偏移分量；M為重力干擾力矩(這里不考慮重力以外的其他干擾力矩)，其計算公式為：

考慮到臺體轉(zhuǎn)速較慢，ω、r均為小量，只考慮主慣量情況下簡化得：

(8)

其中：rx、ry、rz分別為質(zhì)心在x、y、z軸的偏移量。

2 基于復(fù)擺模型的質(zhì)心位置測算方法

當(dāng)氣浮臺小角度擺動時，可以將臺體近似作為復(fù)擺處理。將氣浮臺的運動分解，假設(shè)只繞X軸運動，復(fù)擺周期為：

(9)

其中：I為轉(zhuǎn)動慣量。

則由式(9)可求解得到質(zhì)心在豎直方向的偏移為：

(10)

水平方向質(zhì)心偏移為：

(11)

其中：α為X軸傾角；χ為臺體轉(zhuǎn)動180°后的傾角。

通過電機上移4個外伸臂的滑塊，氣浮臺擺動周期增大，通過式(10)換算得出氣浮臺質(zhì)心，如圖3所示。

圖3(a)可以看出，氣浮臺擺動周期從22 s調(diào)整到160 s耗時15 min左右，通過式(10)和式(7)可求得垂直方向質(zhì)心偏移量約為2.78×10-5m，此時系統(tǒng)干擾力矩約為0.82×10-2Nm。由圖3(b)可以看出，水平方向質(zhì)心偏移量在加大，氣浮臺平衡性變差。

圖3 周期反饋算法氣浮臺質(zhì)心調(diào)試效果

3 基于動力學(xué)反演的質(zhì)心位置測算方法

3.1 基于最小二乘法的質(zhì)心位置測算方法

設(shè)第1個測量時間為t1，第2個測量時間為t2,Δt=t2-t1,基于式(8)，變形可求解質(zhì)心位置：

(12)

將式(12)寫為：

ΔΩ=Φr.

(13)

其中：ΔΩ為角速度增量數(shù)組；Φ為3×3矩陣。

則求廣義逆矩陣，質(zhì)心的偏差可通過最小二乘法求得為：

r=(ΦTΦ)-1ΦTΔΩ.

(14)

通過最小二乘法，計算得到質(zhì)心的位置如圖4所示，質(zhì)心測算速度比周期反饋算法快，但始終存在一定的水平質(zhì)心偏移量。

圖4 基于最小二乘法的質(zhì)心位置測算結(jié)果

3.2 基于擴展卡爾曼濾波(EKF)的質(zhì)心位置測算方法

(15)

(16)

狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為:

(17)

(18)

觀測矩陣為:

(19)

預(yù)測狀態(tài)的協(xié)方差矩陣Rk與濾波增益矩陣Kk分別為：

(21)

(22)

狀態(tài)值和協(xié)方差矩陣更新為：

(23)

由圖5可知，EKF濾波對于質(zhì)心位置的測算收斂速度與最小二乘法相差不大，都優(yōu)于周期反饋算法；但EKF濾波偏差較最小二乘法小，能更精確地測量質(zhì)心位置。

圖5 基于EKF濾波的質(zhì)心位置測算結(jié)果

4 實驗結(jié)果與分析

在三軸氣浮臺上，以氣浮臺擺動周期大于160 s為目標，此時系統(tǒng)的干擾力矩小于10-2N·m，分別采用周期反饋算法、基于最小二乘法的質(zhì)心算法和基于EKF的質(zhì)心算法進行調(diào)試。三種算法各取3次調(diào)試結(jié)果，如表1所示。

表1 三種不同算法的氣浮臺周期與質(zhì)心調(diào)試效果對比

由表1可以看出，氣浮臺擺動周期調(diào)整到160 s，周期反饋算法耗時最多，需要1 050 s左右；最小二乘法和EKF質(zhì)心算法耗時相近，為630 s左右；調(diào)整結(jié)束后，Y軸偏擺角度周期反饋算法最大，為4°～5°，EKF算法最小，為1°左右，質(zhì)心位置測算最精準。

5 結(jié)論

本文建立三軸氣浮臺的動力學(xué)模型，通過數(shù)值計算，仿真其運動過程中的角度和角速度變化。其次通過實驗測量的角度變化，計算氣浮臺的擺動周期，從而測算質(zhì)心的位置。再次，通過動力學(xué)反演的方法，采用最小二乘法和EKF處理姿態(tài)信息，并分析質(zhì)心位置的計算速度與精度。最后在氣浮臺上分別采用上述三種算法進行調(diào)試，從實驗結(jié)果分析得出，基于EKF算法的調(diào)試時間最短，質(zhì)心位置精度最高。