不平衡磁懸浮轉(zhuǎn)子自動(dòng)平衡仿真分析

王叢濤，郭 輝，孫 鳳

(沈陽工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院,遼寧 沈陽 110870)

0 引言

磁懸浮軸承是一種利用可控磁力將轉(zhuǎn)子懸浮于空中，使定子與轉(zhuǎn)子之間實(shí)現(xiàn)無接觸支承的一種新型高性能軸承。從產(chǎn)生磁力的方式上劃分，磁懸浮軸承可劃分為三大類，即主動(dòng)磁懸浮軸承(Active Magnetic Bearing，AMB)、被動(dòng)磁懸浮軸承(Passive Magnetic Bearing，PMB)和混合磁懸浮軸承(Hybrid Magnetic Bearing，HMB)[1]。其中，主動(dòng)磁懸浮軸承是基于閉環(huán)反饋控制的典型機(jī)電一體化產(chǎn)品，由于主動(dòng)控制的存在，使得主動(dòng)磁懸浮軸承具有剛度和阻尼可控、可補(bǔ)償轉(zhuǎn)子不平衡振動(dòng)等特點(diǎn)，因此在工業(yè)應(yīng)用中最為廣泛，目前其主要應(yīng)用于透平機(jī)械[2]、機(jī)械加工[3]、航空航天[4,5]、人工心臟[6,7]、核能發(fā)電[8]等領(lǐng)域。

而在旋轉(zhuǎn)機(jī)械中，由于材料均勻性、加工誤差等原因，再加上高精度的動(dòng)平衡成本高昂，使得轉(zhuǎn)子存在不平衡量成為普遍現(xiàn)象，不平衡量是引起旋轉(zhuǎn)機(jī)械振動(dòng)的主要原因。由于磁懸浮軸承的支承剛度相對較小，轉(zhuǎn)子的不平衡量隨著轉(zhuǎn)速的增加，離心力增大，軸承所產(chǎn)生的電磁力并不能完全約束轉(zhuǎn)子繞其幾何對稱軸旋轉(zhuǎn)，而是限制轉(zhuǎn)子繞其慣性主軸和其幾何主軸之間的某一未知軸線旋轉(zhuǎn)[9]。其中，旋轉(zhuǎn)軸偏離幾何軸產(chǎn)生不平衡位移，使系統(tǒng)產(chǎn)生振動(dòng)位移，導(dǎo)致轉(zhuǎn)子的徑向跳動(dòng)增大；轉(zhuǎn)軸偏離慣性主軸產(chǎn)生不平衡力，使系統(tǒng)產(chǎn)生振動(dòng)力，從而降低整個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。如何對不平衡振動(dòng)進(jìn)行抑制，已經(jīng)成為主動(dòng)磁懸浮軸承向更高轉(zhuǎn)速發(fā)展的主要障礙。而自動(dòng)平衡補(bǔ)償控制便是針對后者的一種主動(dòng)抑振控制方法。

本文從轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)出發(fā)，分析得出磁軸承不平衡轉(zhuǎn)子響應(yīng)表達(dá)式，解釋了自動(dòng)平衡補(bǔ)償控制的實(shí)現(xiàn)原理；并基于MATLAB的Simulink工具箱建立了主動(dòng)磁懸浮軸承系統(tǒng)模型，通過仿真驗(yàn)證了理論計(jì)算的正確性。

1 轉(zhuǎn)子不平衡響應(yīng)分析

本文研究對象為一臺(tái)五自由度主動(dòng)磁懸浮軸承實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，它由兩組徑向磁軸承與一組軸向磁軸承構(gòu)成，分別約束轉(zhuǎn)子的4個(gè)徑向自由度與1個(gè)軸向自由度。如圖1所示，首先對轉(zhuǎn)子進(jìn)行受力分析，在質(zhì)心處建立空間直角坐標(biāo)系。由于轉(zhuǎn)子為剛性轉(zhuǎn)子，將徑向磁軸承與軸向磁軸承視為無耦合，徑向磁軸承對轉(zhuǎn)子施加的兩個(gè)相互垂直的力相互獨(dú)立。其中，F(xiàn)x、Fy分別為左側(cè)磁軸承對轉(zhuǎn)子施加的水平與豎直方向的電磁力，m為轉(zhuǎn)子質(zhì)量，g為重力加速度，ω為轉(zhuǎn)子角速度。

圖1 轉(zhuǎn)子受力分析簡圖

圖2為質(zhì)心截面示意圖。由于不平衡量的存在，導(dǎo)致質(zhì)心Om與幾何中心Or不重合。

圖2 質(zhì)心截面示意圖

設(shè)fx與fy分別為不平衡量所產(chǎn)生的離心力在x、y軸上的分量，大小為：

(1)

其中：e為偏心距；t為時(shí)間。當(dāng)轉(zhuǎn)子以角速度ω旋轉(zhuǎn)時(shí)，質(zhì)心Om的加速度在坐標(biāo)軸上的投影為:

(2)

其中：x、y分別為幾何軸心在x、y軸上的位移分量；xm、ym分別為慣性軸心在x、y軸上的位移分量。在彈性支撐的狀態(tài)下，有：

(3)

z=Aeiωt.

(4)

(5)

其中：A為振幅。

由式(4)與式(5)可知，幾何中心Or的響應(yīng)頻率與不平衡量的激振頻率相同，而且相位或相等或相差180°。這說明，點(diǎn)O、Or、Om始終在一條直線上。由于磁軸承的支撐剛度較低，因此通常角速度ω>ωn，A<0，但|A|>e，O點(diǎn)落在Or與Om之間。隨著角速度ω的上升，當(dāng)ω≥ωn時(shí)，A≈-e，振動(dòng)很小，轉(zhuǎn)動(dòng)反而比較穩(wěn)定。由于偏心距的存在，導(dǎo)致轉(zhuǎn)子幾何中心存在與轉(zhuǎn)速同頻的規(guī)律性變化，控制器采集含有與轉(zhuǎn)速同頻不平衡響應(yīng)的位移信號，同時(shí)輸出帶有轉(zhuǎn)速同頻的電流控制信號，從而約束由于質(zhì)量偏心產(chǎn)生的擾動(dòng)。而這也導(dǎo)致不平衡振動(dòng)通過磁軸承傳遞至外部殼體，引發(fā)外部殼體的振動(dòng)。同時(shí)，由于線圈中存在轉(zhuǎn)速同頻的電流，導(dǎo)致功放容易飽和，降低了主動(dòng)磁懸浮軸承系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

由式(5)可知，A的大小與ωn的大小相關(guān)，當(dāng)ωn足夠小時(shí)，即剛度k足夠小時(shí)，轉(zhuǎn)子將繞著質(zhì)心軸旋轉(zhuǎn)。在上述分析中，為方便分析計(jì)算，將磁軸承假想成定剛度的理想彈性支撐。而實(shí)際磁軸承的支撐剛度是通過控制器采集位移信號實(shí)時(shí)計(jì)算出的動(dòng)態(tài)剛度，控制器將位移信號與設(shè)定的平衡位置進(jìn)行對比，通過控制算法計(jì)算從而得到對應(yīng)線圈中的電流值，控制功率放大器產(chǎn)生驅(qū)動(dòng)電流，產(chǎn)生電磁力對轉(zhuǎn)子進(jìn)行約束，因此其剛度主要由控制算法決定。由于不平衡量的存在，導(dǎo)致轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)偏離轉(zhuǎn)子的幾何中心，當(dāng)轉(zhuǎn)子圍繞其質(zhì)心軸旋轉(zhuǎn)時(shí)仍然存在偏離，這都將導(dǎo)致位移信號中存在轉(zhuǎn)速同頻的變化量。如果控制器不對由于不平衡量所產(chǎn)生位移量進(jìn)行控制，即理解為剛度k≈0 N/m，轉(zhuǎn)子即可實(shí)現(xiàn)圍繞轉(zhuǎn)子質(zhì)心軸旋轉(zhuǎn)，并且當(dāng)|A|→e時(shí)，轉(zhuǎn)子軸心軌跡半徑減小，轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)精度將有所提升。

由上述可知，不平衡響應(yīng)信號具有與轉(zhuǎn)速同頻的特點(diǎn)，同時(shí)位移信號中也存在轉(zhuǎn)速同頻的變化量，而位移信號的變化則直接導(dǎo)致控制器產(chǎn)生控制作用。通過自動(dòng)平衡補(bǔ)償控制算法濾除位移信號中的轉(zhuǎn)速同頻分量，即可削弱控制器對由于不平衡量所產(chǎn)生位移量的控制作用，從而只降低轉(zhuǎn)速頻率點(diǎn)附近的磁軸承支撐剛度。隨著徑向磁軸承線圈中的電流大小逐漸趨近穩(wěn)定，便可以認(rèn)為此時(shí)剛度k≈0 N/m，轉(zhuǎn)子此時(shí)圍繞其慣性軸旋轉(zhuǎn)。

2 基于Simulink的自動(dòng)平衡控制仿真分析

本文建立基于Simulink的主動(dòng)磁懸浮軸承控制系統(tǒng)模型如圖3所示。模型中考慮電磁力的非線性、位移傳感器誤差以及不平衡量大小與轉(zhuǎn)速對系統(tǒng)的影響，并在模型中加入以陷波濾波環(huán)節(jié)為核心的自動(dòng)平衡補(bǔ)償算法。設(shè)定轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速為12 000 r/min(200 Hz)，偏心距e=5 μm。仿真結(jié)果如圖4～圖6所示。其中，圖4為濾波前后控制器輸入位移信號頻譜圖。圖5為濾波前后軸心軌跡變化情況。圖6為濾波前后軸承豎直方向外傳力變化情況。

圖3 基于Simulink的主動(dòng)磁懸浮軸承控制系統(tǒng)仿真模型

圖4 濾波前后控制器輸入位移信號頻譜圖

圖5 軸心軌跡變化情況 圖6 軸承豎直方向外傳力變化情況

由仿真結(jié)果可知：系統(tǒng)在穩(wěn)定運(yùn)行0.5 s后開啟自動(dòng)平衡補(bǔ)償算法，補(bǔ)償算法開啟后，控制器輸入端位移信號中的轉(zhuǎn)速同頻分量被濾除，轉(zhuǎn)子軸心軌跡半徑由10 μm減小至5 μm附近，接近偏心距e，磁軸承外傳力幅值也由約15 N降低至5 N左右。

3 小結(jié)

針對主動(dòng)磁懸浮轉(zhuǎn)子不平衡振動(dòng)的問題，本文首先從理論角度分析了主動(dòng)磁懸浮振動(dòng)產(chǎn)生的原因，討論了自動(dòng)平衡補(bǔ)償控制使轉(zhuǎn)子圍繞慣性軸旋轉(zhuǎn)的原理，并通過計(jì)算得出自動(dòng)平衡補(bǔ)償控制在抑制系統(tǒng)振動(dòng)的同時(shí)，可在一定程度上提高磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)精度，適合應(yīng)用于高速磁懸浮系統(tǒng)的控制中。建立了含有自動(dòng)平衡補(bǔ)償控制算法的磁懸浮軸承控制系統(tǒng)仿真模型，并通過仿真驗(yàn)證了理論計(jì)算的正確性。