格拉姆矩陣判據(jù)的推廣及應(yīng)用

路曉東 李海濤 牛 奔

(1) 山東師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，250358，濟南； 2) 山東師范大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，250358，濟南 )

1 引 言

本文考慮如下時標類型的線性時不變系統(tǒng)

(1)

其中T為時標，x(t)∈Rn為系統(tǒng)狀態(tài)，u(t)∈Rm為控制輸入，y(t)∈Rs為系統(tǒng)輸出，矩陣A∈Rn×n，B∈Rn×m，C∈Rs×n，初值為x(0)=x0，且矩陣A為回歸矩陣[1，2].

根據(jù)時標T的不同類型，系統(tǒng)(1)可以轉(zhuǎn)化為其他形式.例如，當時標T為實數(shù)集R時，系統(tǒng)(1)可轉(zhuǎn)化為常見的連續(xù)系統(tǒng)

(2)

當時標T為實數(shù)集Z時，系統(tǒng)(1)可轉(zhuǎn)化為常見的離散系統(tǒng)

(3)

在《線性系統(tǒng)理論》教材中，關(guān)于系統(tǒng)(2)的能控、能觀性的格拉姆矩陣判據(jù)如下面的引理1與引理2所述.

引理1[3]系統(tǒng)(2)是完全能控的當且僅當存在時刻t>0，使得如下格拉姆矩陣非奇異：

引理2[3]系統(tǒng)(2)是完全能觀的當且僅當存在時刻t>0，使得如下格拉姆矩陣非奇異

在《線性系統(tǒng)理論》教材中，關(guān)于系統(tǒng)(3)的能控、能觀性的格拉姆矩陣判據(jù)如下面的引理3與引理4所述.

引理3[3]若A+I非奇異，則系統(tǒng)(3)是完全能控的當且僅當存在時刻t>0，使得如下格拉姆矩陣非奇異

引理4[3]系統(tǒng)(3)是完全能觀的當且僅當存在時刻t>0，使得如下格拉姆矩陣非奇異

基于時標理論以及系統(tǒng)(1)的廣義性，本文提出統(tǒng)一的格拉姆矩陣判據(jù)，即將引理1、引理2、引理3與引理4用統(tǒng)一的數(shù)學(xué)表達式給出，以便于幫助學(xué)生更好地理解記憶以及靈活運用.

2 主要結(jié)果

u(t)=-BTeAT(0,σ(t))Wc-1x0.

由(1)式及文獻[4]的定理2.77及文獻[5]中的引理1.1.3可得

由系統(tǒng)能控性的定義，充分性得證.

由此可推出

x0TeA(0,σ(s))B=0.

(4)

由系統(tǒng)能控性的定義可知，存在合適的控制u(t)，使得

因此，可知

由(4)式可知，

這與x0不為零矛盾，說明Wc為非奇異矩陣，必要性證畢。綜上所述，定理1得證.

由系統(tǒng)能觀測的定義，充分性得證.

然后證明必要性(采用反證法).如果Wo為奇異矩陣，則存在不為零的向量x1，使得x1TWox1=0，即

因此，可知

yTy=0?y=0.

這與系統(tǒng)完全能觀測的定義矛盾，從而必要性得證.綜上所述，定理2得證.

注1當時標T為實數(shù)集R時，eA(t,0)=eAt；當時標T為實數(shù)集Z時，eA(t,0)=(I+A)t.因此定理1和定理2適用于系統(tǒng)(2)和(3)，這也說明定理1和定理2中的格拉姆矩陣是一種統(tǒng)一的形式，根據(jù)時標類型的變化，該矩陣也將退化成相應(yīng)形式.

3 數(shù)值算例

算例1考慮時標T=0.1Z下的系統(tǒng)(1)，其中參數(shù)如下：

已知

及

應(yīng)用上述兩式，經(jīng)計算可得

基于Matlab工具，可知必存在t，使得Wc和Wo為非奇異矩陣，所以上述系統(tǒng)完全能控、能觀測.

4 結(jié) 語

格拉姆矩陣判據(jù)是判斷線性系統(tǒng)能控性、能觀性的重要工具，現(xiàn)有的格拉姆矩陣判據(jù)僅適用于線性連續(xù)或線性離散系統(tǒng)，適用范圍有限.因此，提出一種普適性的格拉姆矩陣判據(jù)具有重要的理論意義.本文利用時標系統(tǒng)涵蓋連續(xù)系統(tǒng)、離散系統(tǒng)以及某些非連續(xù)非離散系統(tǒng)的特征，結(jié)合時標理論，構(gòu)造了關(guān)于時標系統(tǒng)的基于格拉姆矩陣的能控性、能觀性判據(jù).所得新判據(jù)具有廣義性與統(tǒng)一形式，不僅適用于連續(xù)型與離散型系統(tǒng)，也適用于非連續(xù)與非離散情形，便于學(xué)生記憶與理解.