反應(yīng)擴散方程及其應(yīng)用研究進展

閆寶強 程紅梅 房欽賀 夏 洋

(山東師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 250358, 濟南 )

1 引 言

數(shù)學(xué)作為一門基礎(chǔ)學(xué)科, 為其他學(xué)科的進步提供了很多理論支持. 近年來, 隨著生物學(xué)中實驗技術(shù)的快速發(fā)展, 許多生物學(xué)中的數(shù)據(jù)需要用到數(shù)學(xué)理論、統(tǒng)計理論還有計算方法來分析和模擬, 以便能了解生物的發(fā)展過程以及某些傳染病的傳播機制. 因此, 生物數(shù)學(xué)成為應(yīng)用數(shù)學(xué)中較為活躍的一個研究分支. 對于生物數(shù)學(xué)的研究, 一般從下面兩個方面來開展, 一方面是通過建立數(shù)學(xué)模型、分析數(shù)學(xué)模型, 利用已有的數(shù)學(xué)理論來了解和預(yù)測生物過程; 另一方面是通過建立的模型發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學(xué)問題, 尋求新的數(shù)學(xué)研究方向和研究方法.著名數(shù)學(xué)家Friedman[1]討論了生物數(shù)學(xué)中一些具有挑戰(zhàn)性的問題, 其中就提到了一個非常重要的數(shù)學(xué)工具——偏微分方程. 目前, 偏微分方程的研究也因為生物數(shù)學(xué)的快速發(fā)展被注入了新鮮血液. 反應(yīng)擴散方程作為經(jīng)典的四大偏微分方程之一, 也因為其濃厚的實際背景而快速發(fā)展.

1937年, Kolmogorov等人[2]和Fisher[3]分別研究了下面的反應(yīng)擴散方程

(1)

其中,f(u)=u(1-u),x∈R,t>0.模型(1)可以描述外來入侵物種的行波現(xiàn)象或者動物在一維無窮棲息地上優(yōu)良基因的傳播過程.Fisher等人核心工作是研究方程(1)的行波解, 即形如u(x,t)=φ(x-ct)的特解, 其中, 常數(shù)c>0表示波速, 函數(shù)φ(x-ct)為傳播過程中的波形. 這一類行波解具有平移不變性,該性質(zhì)表明了在傳播過程中, 波的形狀不會改變. 此后, 反應(yīng)擴散方程的行波解問題逐漸發(fā)展為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要研究內(nèi)容之一. 因為行波現(xiàn)象廣泛存在于生物學(xué)、物理學(xué)、化學(xué)和傳染病學(xué)等領(lǐng)域中[4-8], 所以該問題具有很重要的實際意義.行波解可以描述生物學(xué)中新物種的入侵、物理學(xué)中從一個平衡態(tài)到另一個平衡態(tài)的轉(zhuǎn)化過程、化學(xué)反應(yīng)中物質(zhì)濃度的變化、傳染病的傳播過程等等. 這些過程的共同特點是以有限速度傳播并保持傳播形狀不變.

對于反應(yīng)擴散方程行波解的研究結(jié)果已有很多,古典的研究方法是將行波方程轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的常微分方程, 再利用相平面分析法得到其存在性和唯一性[9,10]. 對于已知行波解存在性的反應(yīng)擴散方程, 很自然地要考慮其行波解的穩(wěn)定性. Aronson等人[11]研究了非線性項滿足單穩(wěn)型(存在一個穩(wěn)定的平衡點和一個不穩(wěn)定的平衡點, 即經(jīng)典的Fisher-KPP型)、燃燒型和雙穩(wěn)型(存在兩個穩(wěn)定的平衡點, 又稱Allen-Cahn型)等類型的反應(yīng)擴散方程的連接兩個平衡點的行波解的存在性和穩(wěn)定性,并考慮了該行波解在高維空間中的穩(wěn)定性[12]. 后來, Matano等人[13,14]考慮了連接兩個穩(wěn)定平衡點的行波解的穩(wěn)定性以及解的長時間行為，通過構(gòu)造合適的上下解, 再應(yīng)用比較原理得到了相應(yīng)的穩(wěn)定性結(jié)論. 這也是最近考慮行波解應(yīng)用最多的方法之一. 對于穩(wěn)定性理論的研究, Chen等人[15]使用上下解結(jié)合擠壓技巧得到了相應(yīng)的結(jié)論. 同時, Mei等人[16]采用能量估計的方法來考慮行波解的穩(wěn)定性,并將相關(guān)結(jié)果作了進一步的推廣.研究行波解的穩(wěn)定性理論，還有另一個常用的重要方法就是對積分算子進行相應(yīng)的譜理論分析[17-19].

近幾年, Lou[20]對空間生態(tài)學(xué)中的一些反應(yīng)擴散方程模型做了詳細(xì)的總結(jié), 但是沒有重點給出特殊的行波解的研究情況. 本文主要通過介紹相應(yīng)的反應(yīng)擴散方程模型的行波解,以便了解和研究傳染病模型中擴散項和時滯項對行波解存在性和穩(wěn)定性的影響以及相應(yīng)的動力學(xué)行為. 目前, 種群動力學(xué)研究的一個重要趨勢是其與生物學(xué)其它研究方向的深度融合, 如物種進化、疾病傳播、細(xì)胞生物學(xué)、癌癥研究、抗藥性研究等方面. 本文試圖通過建立和實際更加接近的一系列反應(yīng)擴散方程模型, 把空間生態(tài)學(xué)、空間中的疾病傳播、進化理論等方面有機融合起來, 探討在該領(lǐng)域的進一步研究前景,并給出一些關(guān)于外界環(huán)境變化對生物模型影響的數(shù)學(xué)問題.

2 局部反應(yīng)擴散方程行波解的研究進展

帶有局部擴散項的Allen-Cahn方程

(2)

其中,Δ為標(biāo)準(zhǔn)的拉普拉斯算子.

當(dāng)n=1時, 系統(tǒng)(2)可以記成下面的形式

考慮該方程連接兩個穩(wěn)定的平衡點±1的行波解u(x,t)=φ(x-kt), 其中k為常數(shù). 也就是, 考慮函數(shù)φ(ξ)(ξ=x-kt)滿足如下條件的解：

φ''(ξ)+cφ'(ξ)+f(φ(ξ))=0,ξ∈R,

(3)

φ(±∞)=?1，

(4)

φ(0)=0.

(5)

對于連接這兩個平衡點的行波解u(x,t)=φ(x-kt)，Aronson等人[11]研究了行波解的存在性、唯一性和穩(wěn)定性.

當(dāng)n≥2時, 記空間變量為(x,y,z),x∈Rn-2,y∈R,z∈R,方程(2)可以記為

(6)

Aronson等人所考慮的行波解是波型中最簡單的平面波.后來,雙穩(wěn)的Allen-Cahn方程的非平面波也引起了大家的研究興趣,例如二維V型波和三維錐型波. 這些高維行波解都是在平面行波解φ(ξ)存在的基礎(chǔ)上得到的. 也就是說需要平面行波解存在的假設(shè)條件.

假設(shè)2存在常數(shù)k∈R和函數(shù)φ(ξ)∈R2滿足方程(3)-(5).

當(dāng)n=2時, 方程(6)存在如下的二維V型行波解.

定理1[22]假設(shè)1和假設(shè)2成立, 對任意的常數(shù)c滿足|c|>|k|, 存在函數(shù)V(y,z-ct)滿足方程(6)和

定理2[22]令u0(y,z)滿足

那么方程(6)的解u(y,z,t;u0)滿足

Ninomiya等人[23]繼續(xù)考慮了該行波解V(y,z-ct)的全局漸近穩(wěn)定性.

顯然, 當(dāng)n>2時, 函數(shù)V(y,z-ct)仍然滿足方程(6). 因此,u(x,y,z,t)=V(y,z-ct)仍為方程(6)的解. 盛偉杰等人[24]考慮了該行波解V(y,z-ct)在高維空間下的穩(wěn)定性.

當(dāng)n≥3時, 記空間變量為(x,y,z),x∈Rn-3,y∈R2,z∈R,方程(2)可以記為

(7)

令m≥3為給定的正整數(shù), 常數(shù)c>k, 記

令向量

為曲面{z=τ(Ajy1+Bjy2)}的單位標(biāo)準(zhǔn)向量, 記hj(y1,y2)=τ(Ajy1+Bjy2),

(8)

Sj={(y1,y2,hj(y1,y2))∈R3|(y1,y2)∈Ωj},

其中,j=1,2,…,m.令

D(γ)={(y1,y2,z)∈R3|dist((y1,y2,z),Γ)≥γ},

其中,γ≥0.

Taniguchi[25]給出了當(dāng)n=3時, 方程(7)的三維錐型行波解V(y1,y2,z-ct)的存在性.

定理3[25]當(dāng)n=3時, 令常數(shù)c>k,h(y1,y2)為(8)式中所定義的. 假設(shè)1和假設(shè)2成立, 則方程(7)存在解V(y1,y2,z-ct)滿足

其中,D(γ)為上文所定義的形式,并且

Taniguchi[26]考慮了該錐型行波解V(y1,y2,z-ct)的唯一性和穩(wěn)定性. 當(dāng)n>3時, 定理3中的函數(shù)V(y1,y2,z-ct)為方程(7)的錐型行波解.當(dāng)n>3時, 繼續(xù)考慮該錐型行波解V(y1,y2,z-ct)的高維穩(wěn)定性. 為了簡單, 記V(y1,y2,z-ct)為V(y1,y2,s)，且滿足

Vy1 y1+Vy2 y2+Vss+cVs+f(V)=0,

其中,s=z-ct.

定理4[27]令n≥4, 假設(shè)1和假設(shè)2成立, 設(shè)函數(shù)u0(x,y1,y2,z)在Rn上光滑有界并且滿足

那么, 以函數(shù)u0(x,y1,y2,z)為初始函數(shù)的方程(7)的解u(x,y1,y2,z,t)滿足

定理5[27]令n≥4,假設(shè)1和假設(shè)2成立, 設(shè)u0(x,y1,y2,z)函數(shù)為

u0(x,y1,y2,z)=V(y1,y2,z-v0(x)),

(9)

其中,v0∈L1(Rn-3)∩L∞(Rn-3), 那么, 以u(x,y1,y2,z,0)=u0(x,y1,y2,z)為初始函數(shù)的方程(7)的解u(x,y1,y2,z,t)滿足

其中, 常數(shù)C>0依賴于函數(shù)f,‖v0‖L1(Rn-3)和‖Vz‖L∞(R3).

定理6[27]令n≥4, 假設(shè)1和假設(shè)2成立, 設(shè)函數(shù)u0(x,y1,y2,z)滿足方程(9), 其中v0≥0,v0≠0,或者v0≤0,v0≠0, 那么, 存在常數(shù)C1>0,C2>0,使得以函數(shù)u0(x,y1,y2,z)為初始函數(shù)的方程(7)的解u(x,y1,y2,z,t)滿足

其中,tm=m(m!)2/4.

Cheng等人得到了三維錐型行波解在高維空間下的穩(wěn)定性及其收斂速度. Kurokawa等人[28]考慮了n≥4時方程(2)的高維錐型行波解V(x-e·ct)的存在性.

3 非局部反應(yīng)擴散方程行波解的研究進展

Murray[29]提到了物種的擴散是自由和隨機的, 而不是按照固定的模式運動的. 因此, 用局部拉普拉斯算子來表示空間擴散現(xiàn)象會存在很多缺陷,也不能夠準(zhǔn)確地描述研究對象的時空行為.采用一些特殊的積分算子來表示空間中的非局部擴散現(xiàn)象, 能夠更加準(zhǔn)確地描述所考慮的實際問題.

Chen[15]研究了一類非局部算子方程

ut(x,t)=A[u(·,t)](x),x∈R,t>0,

(10)

其中,A為非局部算子, 映空間變量·為x的函數(shù), 不依賴于時間t, 可以生成L∞(R)中的半群, 同時滿足平移不變性.利用算子的平移不變性, 可得A映常函數(shù)為常函數(shù), 映射I記為值域為I的函數(shù), 則存在函數(shù)f(·)滿足

A[α1]=f(α)I,?α∈R.

(11)

同時, 假設(shè)f滿足

f∈C1(R),f(0)=f(1)=0,f'(0)<0,f'(1)<0.

(12)

也就是說,0、1為A的兩個穩(wěn)定平衡點.考慮連接0、1的行波解u(x,t):=U(x-ct)滿足

(13)

假設(shè)31)A是平移不變的, (11)式中定義的f滿足(12)式;

2) 如果ut≥A[u],vt≤A[v],u(·,0)≤(≠)v(·,0), 則u(·,t)>v(·,t),?t>0;

3) 存在常數(shù)K1,K2, 概率測度ν, 使得對任意函數(shù)u,v滿足-1≤u,v≤ 2,且

其中,A'為A的Frechet導(dǎo)數(shù).Chen[15]得到了局部算子方程(10)的行波解的存在性、唯一性和穩(wěn)定性.

定理8[15](唯一性) 假設(shè)3成立, 方程(10)存在行波解(U,c)滿足下面的性質(zhì)

考慮方程(10)行波解的穩(wěn)定性時, 需要滿足下面的假設(shè)條件4.

假設(shè)41)A是平移不變的, 對某正常數(shù)a-,a+,0 0, 在區(qū)間(0,a-)∪ (1,2)上滿足f< 0;

2) 存在定義在[1,∞)上的非增正函數(shù)η(m), 使得對任意滿足

-1≤u,v≤ 2,ut≥A[u],ut≤A[v],u(·, 0)≥v(·,0)

的u(x,t),v(x,t), 都有

3) 對假設(shè)3中定義的K1,K2,ν,u,v,有

定理9[15](穩(wěn)定性) 若假設(shè)3和假設(shè)4成立, 方程(10)存在滿足相應(yīng)性質(zhì)(13)的行波解(U,c), 則存在正常數(shù)k, 使得當(dāng)u0∈L∞(R1)時滿足0≤u0≤ 1和

時, 以u(·，0)=u0(·)為初值的解u(x,t)滿足

||u(·,t)-U(·-ct+ξ)||L∞(R)≤Ke-kt.

考慮方程(10)滿足性質(zhì)(13)的行波解的存在性時, 需要滿足下面的假設(shè)條件5.

假設(shè)51)A是平移不變的, 存在a∈(0,1),當(dāng)u∈(-1,0)∪(a,1)時，f(u)>0,

當(dāng)u∈(0,a)∪(1,2)時，f(u)<0,f′(0)<0,f′(1)<0,f′(a)>0.

2) 存在定義在[0,∞)×[0,∞)上的正連續(xù)函數(shù)η(x,t), 使得對任意的u(x,t),v(x,t)滿足-1≤u,v≤2,ut≥A[u],vt≤A[v],u(·, 0)≥v(·,0)時, 都有

3) 存在正常數(shù)K1,K2,K3, 概率測度ν, 使得對任意的u(x,t),v(x,t)滿足-1≤u,v≤2時, 對任意的x∈R都有

4) 對任意滿足0≤u0≤1, ||u0||C3(R)<∞的函數(shù)u0(·)，以函數(shù)u0(·)，為初值的方程(10)的解u(x,t)滿足

定理10[15](存在性) 假設(shè)5成立, 則方程(10)存在滿足相應(yīng)性質(zhì)的行波解(U,c).

Carr等人[30]考慮了非局部的Fisher-KPP方程

ut=J*u-u+f(u),x∈R,

其中,f(0)=f(1)=0,f(u)>0 ,u∈ (0,1). Carr等人給出了方程在0和1之間有界的行波解的唯一性. Carr等人首先給出了行波解的一個估計, 并研究該估計對所有滿足0≤u(x,t)≤1的行波解都成立. 為了證明滿足這些條件的行波解的唯一性, Carr等人又引入了Ikehara′s定理, 也就是拉普拉斯變換的Tauberian定理,構(gòu)造了輔助函數(shù)

利用引入的拉普拉斯變換的性質(zhì), 尋找矛盾進而得到唯一性的結(jié)論. Coville等人[31]研究了非局部反應(yīng)擴散方程行波解的傳播速度, 利用變分公式給出了行波解的速度的表達式，并研究了一維積分微分方程

(14)

其中L為一個非局部擴散算子, 形式如下

(15)

J是一個偶的正積分核,f是一個給定的非線性項. 同時,變分公式(15)還可以應(yīng)用到更一般的算子

Lu=auxx+b[J*u(x)-u(x)]-dux-eu(x),

其中,a,b,e≥0,(a,b)≠(0,0),d∈R，并且積分核函數(shù)J滿足

(16)

定理11[31]如果f為雙穩(wěn)型和燃燒型的非線性項, 核函數(shù)J滿足條件(16)和下面的條件

(17)

則問題(14)存在解(u,c*), 并且在平移意義下, 該解是唯一的, 也就是說, 如果(v,c')為另一個解, 則c*=c', 并且u(x)=v(x+y)對于固定的y成立. 如果f為單穩(wěn)型的非線性項, 核函數(shù)J滿足條件(16)和下面的條件

(18)

則存在最小波速c*>0, 使得

1) 如果c≥c*, 問題(14)存在解(u,c), 并且u'>0;

2) 如果c0的解(u,c).

定理12[31]令L為由(15)定義的作用在X={w∈C1(R)|w是遞增的，w(+∞)=1,w(-∞)=0}上的算子. 假設(shè)(16)和(17)成立,f為雙穩(wěn)型或者燃燒型, 滿足

則波速c*滿足

假設(shè)(16)和(18)成立,f為單穩(wěn)型, 則最小波速c*滿足

非局部反應(yīng)擴散方程行波解的存在性、唯一性、穩(wěn)定性以及波的傳播速度等問題已被廣泛研究[32-34]. 在此基礎(chǔ)上Cheng等人[35]考慮了單穩(wěn)的反應(yīng)擴散方程行波解的存在性,唯一性和穩(wěn)定性, 得到了類似的結(jié)論;同時還考慮了帶有非局部擴散項和非局部時滯的雙穩(wěn)的反應(yīng)擴散方程行波解的穩(wěn)定性[36]. 以積分算子J為擴散項的非局部反應(yīng)擴散方程和以古典的拉普拉斯算子為擴散項的局部反應(yīng)擴散方程是密切相關(guān)的. 如果取核函數(shù)J=δ+δ'', 其中,δ為Diracdelta函數(shù), 那么該積分算子就可以退化為局部的拉普拉斯算子.

4 傳染病模型行波解的研究進展

Kermack等人[37]提出了如下的傳染病模型

(19)

模型(19)對傳染病的數(shù)學(xué)動力行為的研究起著很重要的作用,Kendall[38]在1965年考慮了依賴于空間的積分微分方程

其中, 核函數(shù)K(x-y)≥0表示位置y的染病個體對位置x處的易感個體的影響, 滿足

后來,Mottoni 等人[39]考慮了個體的空間移動, 也就是帶有拉普拉斯擴散項的模型

(20)

當(dāng)空間無界,μ=σ=0并且K(·)為常數(shù)β和δ函數(shù)的乘積時, 系統(tǒng)(20)減弱為下面的反應(yīng)擴散模型

(21)

1994年, Hosono等人[40]考慮了帶有擴散項的模型(21), 給出了相應(yīng)的行波解的存在性的結(jié)論,即如果R0>1， 那么當(dāng)

時, 系統(tǒng)(21)存在滿足

S(-∞)=S0,S(+∞)=ε,I(±∞)=0

的行波解(S(x-ct),I(x-ct)), 其中ε

最近帶有非局部擴散項的反應(yīng)擴散方程模型的相應(yīng)性質(zhì)被廣泛研究, Yang等人[41]考慮了下面的帶有非局部擴散項的模型

實際生活中, 有很多疾病存在一定的潛伏期.潛伏期在數(shù)學(xué)模型中被稱為時滯, 由于它的出現(xiàn), 系統(tǒng)不再是微分方程, 而是泛函微分方程，因此, 研究起來將有一定的困難[42-44]. Wang等人[45]考慮了如下的模型

Wang等人得到了上述系統(tǒng)的行波解的存在性與不存在性，進一步研究了反應(yīng)項和時滯對行波解的存在性以及波速的影響. Ducrot等人[46]證明了帶有核函數(shù)

的上述系統(tǒng)的行波解的存在性和不存在性. 對于帶有時滯的模型的行波解的研究結(jié)果詳見文獻[47-50].

Cheng等人[51]考慮了帶有非局部擴散項和反應(yīng)項的模型

的行波解的存在性. Cheng等人得到了相應(yīng)的行波解的存在性定理,該定理和相應(yīng)的局部擴散系統(tǒng)的結(jié)論相同. 因此, 疾病的傳播不依賴于個體間的非局部反應(yīng)和非局部擴散. 但是, 疾病的傳播速度卻依賴于相關(guān)干擾項，即c*依賴于染病個體的擴散速率d2, 染病個體和易感人群之間的相互作用以及疾病的潛伏時間. 同時,時滯可以降低疾病的傳播速度, 非局部反應(yīng)項和染病個體的移動項可以加快疾病的傳播速度.

5 分?jǐn)?shù)階反應(yīng)擴散方程行波解的研究進展

分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子是由穩(wěn)定的Levy過程導(dǎo)出的[52]. 由于擴散過程中跳躍的存在可以加快不穩(wěn)定狀態(tài)向穩(wěn)定狀態(tài)的入侵,因而分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子可以更好地描述一些化學(xué)反應(yīng)或者傳染病的傳播現(xiàn)象,相應(yīng)的研究模型更加接近現(xiàn)實.Engler[53]詳細(xì)研究了分?jǐn)?shù)階微分方程的解的傳播速度. Cabré等人[54]考慮了下面帶有初始函數(shù)w(x,0)=w0(x)的分?jǐn)?shù)階反應(yīng)擴散方程的初值問題

?tw(x,t)+(-Δ)αw(x,t)=w(x,t)f(w(x,t)),t>0,x∈R,

(22)

其中,Δα為α階拉普拉斯算子(α∈(0,1)),其定義為

其中P.V.為主值,函數(shù)f∈C1:[0,a]→R,a>0為常數(shù)，f在[0,a]上非增,且f(a)=0.

對任意的σ∈(0,σ*), 有

當(dāng)n=1時,可以進一步得到帶有非減初始函數(shù)的初值問題(22)的解的長時間行為.

1) 對所有的u(x,t)=v(x+te)

定理15[54]令n=1,α∈(0,1), 則方程(22)不存在非常數(shù)平面行波解. 也就是說, 方程(22)的所有在[0, 1]內(nèi)取值的解u(x,t)=v(x+te)等于0或者1，即方程

(-Δ)αv+e·v'=vf(v)

的解v滿足v≡0或者v≡1.

6 切換環(huán)境下反應(yīng)擴散方程的研究進展

在現(xiàn)實世界中, 從細(xì)菌到動物等一切生物物種的棲息地通常是非自治并且空間和時間異質(zhì)的. 物種棲息地經(jīng)常受到影響, 除了季節(jié)和地理的差異, 氣候全球變暖、工業(yè)化和過度發(fā)展也是影響因素.因為時空異質(zhì)性, 氣候變化自然會導(dǎo)致生物物種棲息地的變化. 人們自然想知道氣候變化會對地球上不同物種的種群產(chǎn)生什么樣的影響.顯然無論是對單一物種, 還是對相互作用的物種都會產(chǎn)生很大的影響. Walther等人[62]為最近氣候變化的生態(tài)反應(yīng)做出了評論. Berestycki等人[63]忽略了地球的有限性把北極想象為負(fù)無窮, 把赤道想象為正無窮.這為理論分析提供了一個很好的框架，氣候變暖及其影響可以看作是當(dāng)?shù)貧夂蜻m宜程度的變化. 對物種的種群密度分布進行追蹤, 如果一個物種保持了它的速度, 它在北方的面積擴大的范圍和在南方的面積縮小的范圍是一樣大的；如果它的速度落后了很多,就會導(dǎo)致滅絕.這兩種情況哪一種更適用? 答案取決于物種關(guān)于區(qū)域的廣泛性, 氣候變化的速度和氣候?qū)ξ锓N的影響. 如果這個物種能生存下來, 其種群的大小和形態(tài)會發(fā)生什么變化? Berestycki等人提出了一個比較現(xiàn)實的模型.以仿真為主要工具,關(guān)于這類主題的實地研究已有許多結(jié)果[64-67].

最近也有一些關(guān)于物種數(shù)量動態(tài)的數(shù)學(xué)模型的定量研究,該研究集中于一種特殊的環(huán)境變化模式, 即以恒定的速度移動. 例如, 為了理解物種轉(zhuǎn)移的分布隨時間的變化和預(yù)測物種是否能跟上氣候的變化, Elith等人[68-71]應(yīng)用了一種實用的方法描述棲息地的“移動”,即假設(shè)人口增長率r(x,t)是依賴于時間t和位置x的特殊形式r(x,t)=r(x-ct), 該形式反映了環(huán)境以恒定速度向右移動的特點. 為了能夠解決隨著氣候變化棲息地的變化物種的范圍分布和擴散等問題, Li等人[72]將上述遷移模式加到單穩(wěn)的反應(yīng)擴散方程中, 得到了如下方程

?tu(x,t)=d?xxu(x,t)+u(x,t)[r(x-ct)-u(x,t)],

(23)

其中假設(shè)增長函數(shù)r(·)是連續(xù)非減與有限分段連續(xù)可微的, 并且滿足r(-∞)<00相結(jié)合, 表明該區(qū)域適宜種群增長的生存環(huán)境正在不斷向右推進.Li等人[72]探討了物種的滅絕性和持久性的條件以及在持久存在的時候, 種群向右傳播速度的情況.Hu等人[73]考慮了在生長函數(shù)0≤r(-∞)0)還是膨脹(c<0)的情況, 并得到了模型(23)當(dāng)c∈R時, 強迫行波解的存在性.Fang等人從經(jīng)典SIS模型中推導(dǎo)出形如(23)的標(biāo)量形式的流行病模型:一種描述病原體種群隨宿主種群的遷移而擴散的模型.

相對于模型(23), 更一般的情形是方程

?tu(x,t)=d?xxu(x,t)+g(r(x-ct),u(x,t)).

(24)

Berestycki等人[8]研究了當(dāng)非線性項函數(shù)g有一個有限的緊支集時的模型(24)，結(jié)果表明環(huán)境的有利部分有一個緊支集. 隨后, Berestycki等人[76]將文獻[63]的結(jié)果擴展到更高維的空間上并且考慮具有更一般類型的擴散函數(shù)g的模型(24). Vo在文獻[77]中去掉了有利環(huán)境內(nèi)的緊支條件, 并得到了相似的結(jié)果. 最近, Berestycki等人[78]還研究了非線性反應(yīng)項g(s,u)滿足當(dāng)s→-∞時為漸近KPP型時, 模型(24)的強迫行波解的存在性. Alfaro等人[79]在研究表型特征時, 將方程(23)擴展為更一般的方程, 引入了一個非本地種內(nèi)競爭項, 采用二維競爭空間域,確定了一個關(guān)鍵的氣候變化速度,得到了種群的生長函數(shù)是擴散或消失的情形.

經(jīng)常有一個以上的生物物種共享同一個棲息地, 它們通常會爭奪棲息地的資源. 當(dāng)棲息地發(fā)生變化時(比如氣候變化), 人們自然想知道這樣的變化是如何持續(xù)的以及速度與物種的擴散和物種之間的競爭相互作用是如何影響種群動態(tài)的. Potapov等人[80]考慮了在一個移動邊界的范圍內(nèi)的Lotka-Volterra競爭模型,得到了每個物種保持持久生存和傳播的關(guān)鍵區(qū)域的大小. 隨后, Berestycki等人[81]繼續(xù)考慮了Lotka-Volterra帶有兩種都在“移動”的增長函數(shù)的競爭模型

Berestycki等人發(fā)現(xiàn)如果棲息地邊緣的速度超過了前進物種的Fisher型入侵的速度, 就會出現(xiàn)一個很大的缺口. 最近, Zhang等人[82]和Yuan等人[83]在不同的角度和假設(shè)條件下考慮了該模型的傳播動力系統(tǒng), 前者關(guān)注的是兩個物種的持久性和滅絕性, 而后者則旨在比較當(dāng)棲息地以恒定速度惡化時, 不同擴散率對這兩個物種的時空動態(tài)的影響.

最近, Li等人[84]利用在切換環(huán)境下帶有非局部擴散項方程

ut=d[J*u-u]+u[r(x-ct)-u],

(25)

探索在氣候變化背景下的物種傳播形式. Li等人證明了存在一個常數(shù)c*,當(dāng)c>c*時, 整個環(huán)境中的種群將會滅絕, 當(dāng)c

7 開放性問題

近年來, 非局部反應(yīng)擴散方程在空間生態(tài)學(xué)、物種進化、疾病傳播等眾多領(lǐng)域中有很多重要的應(yīng)用, 因此, 該問題得到了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注. 針對其行波解的存在性和穩(wěn)定性的分析,目前已取得了一系列優(yōu)秀的研究成果, 然而仍有許多問題需進一步討論.

1) 考慮切換環(huán)境下帶有非局部擴散項和時滯項的反應(yīng)擴散方程特殊解的存在性及其長時間行為,從而使得考慮的模型能更加清晰地描述實際問題,能夠?qū)夂蜃兓约艾F(xiàn)實生活中存在的潛伏期都考慮到.這樣所考慮的模型會更具有實際意義.

2) 利用單個方程已有的結(jié)論, 考慮切換環(huán)境下帶有非局部擴散項的傳染病模型的傳播機制, 考慮環(huán)境變化速率和傳染病的傳播速率之間的關(guān)系,考慮行波解的存在性和穩(wěn)定性等定性性質(zhì),從而為控制傳染病的傳播提供很好的理論依據(jù).這將是一個重要的研究方向.

3) 考慮切換環(huán)境下帶有非局部擴散項捕食模型的動力學(xué)行為, 考察兩個種群在什么情況下共存、什么情況下滅亡、什么情況下一個生存一個滅亡，考慮每種狀態(tài)的分界點的情況以及擴散速率和環(huán)境變化速率之間的關(guān)系, 進一步探索各種生物進化過程以及機制.這將會是一個非常有意義的課題.

4) 重點考慮切換環(huán)境下帶有分?jǐn)?shù)階擴散項的反應(yīng)擴散方程的行波解的性質(zhì), 建立其最值原理和比較原理等相關(guān)的理論, 利用相應(yīng)的理論考慮該平衡解的定性性質(zhì).考慮切換環(huán)境下帶有分?jǐn)?shù)階擴散項的傳染病模型的傳播機制和捕食模型的動力學(xué)行為, 利用相應(yīng)的理論討論行波解的存在性與不存在性、唯一性和穩(wěn)定性等性質(zhì). 隨著生物數(shù)學(xué)的迅速發(fā)展, 生物數(shù)學(xué)和偏微分方程的交叉領(lǐng)域?qū)⒊蔀闃O具活力的前沿地帶.