中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的質(zhì)變與量變

高涵 趙華新

摘 要：文章首先就哲學(xué)與數(shù)學(xué)的關(guān)系進(jìn)行討論，然后引入哲學(xué)中具體的質(zhì)變量變進(jìn)行研究，指出在中學(xué)數(shù)學(xué)中質(zhì)變量變的體現(xiàn)以及如何更好地將質(zhì)變量變方法融合應(yīng)用到中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)當(dāng)中。

關(guān)鍵詞：哲學(xué);量變質(zhì)變;中學(xué)數(shù)學(xué)

基金項(xiàng)目：延安大學(xué)研究生教育教學(xué)改革項(xiàng)目（項(xiàng)目編號(hào)：YDYJG20190033）。

時(shí)代的飛速發(fā)展使得人們愈來(lái)愈看重知識(shí)的學(xué)習(xí)以及創(chuàng)新，數(shù)學(xué)中具有濃厚的哲學(xué)色彩，包含著豐富的哲學(xué)思想，如整體與部分、數(shù)形結(jié)合、抽象與具體、特殊與一般。數(shù)學(xué)與哲學(xué)密切相關(guān)，在中學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，如何把握好數(shù)學(xué)和哲學(xué)的關(guān)系，對(duì)我們的教學(xué)顯得尤為重要。

很多時(shí)候，數(shù)學(xué)與哲學(xué)是密不可分的，很多數(shù)學(xué)著作中體現(xiàn)出了哲學(xué)思想，同時(shí)很多哲學(xué)著作中也體現(xiàn)出了數(shù)學(xué)的思想。從古至今，有很多著名的數(shù)學(xué)家同時(shí)也是當(dāng)時(shí)很有影響力的哲學(xué)家，他們不光研究數(shù)學(xué)，也研究哲學(xué)。比如馬克思、恩格斯不僅確立了馬克思的哲學(xué)思想，而且他們對(duì)數(shù)學(xué)的研究和發(fā)展也起到了重要的指導(dǎo)和推動(dòng)作用。他們也直接研究過(guò)數(shù)學(xué)，在辯證法的研究中，他們直接考察了無(wú)窮小量[1]。

恩格斯還說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)，是辯證的輔助工具和表現(xiàn)形式?！盵2]可見(jiàn)哲學(xué)和數(shù)學(xué)，它們自誕生之日起就結(jié)下了不解之緣。哲學(xué)是研究世界上一切事物（當(dāng)然也包括數(shù)學(xué)）普遍規(guī)律的學(xué)科，當(dāng)哲學(xué)的研究方向指向數(shù)學(xué)領(lǐng)域之時(shí)，往往會(huì)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)研究所不能發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。當(dāng)人們無(wú)法用數(shù)學(xué)實(shí)現(xiàn)對(duì)事物的本質(zhì)理解的時(shí)候，哲學(xué)往往具有很強(qiáng)的預(yù)見(jiàn)效果。這種理解常常指導(dǎo)人們，使人們能夠正確地把握未來(lái)數(shù)學(xué)的發(fā)展方向。這里我們著重談?wù)撜軐W(xué)中唯物辯證法里的質(zhì)變與量變問(wèn)題。

一、質(zhì)量互變規(guī)律在中學(xué)教材中的體現(xiàn)

物質(zhì)辯證法認(rèn)為，在事物內(nèi)部矛盾的影響下，事物的發(fā)展有兩種基本的變化形式：量變和質(zhì)變。事物的發(fā)展始于量變，量變會(huì)導(dǎo)致質(zhì)變。自然在變化，舊的事物變成新的事物 [3]，這是量變向質(zhì)變的轉(zhuǎn)化，基于新的質(zhì)量，新的量變已經(jīng)開(kāi)始。量變帶來(lái)質(zhì)變，質(zhì)變又帶來(lái)新的量變，周而復(fù)始，無(wú)限循環(huán)，形成事物無(wú)限發(fā)展的過(guò)程。在中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)中，我們要善于運(yùn)用這一規(guī)律，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)所體現(xiàn)的概念和定理，然后在課堂上有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的這種辯證思維。

在數(shù)學(xué)中，在純量增加或減少到某個(gè)節(jié)點(diǎn)的情況下，就會(huì)出現(xiàn)從量變到質(zhì)變的跳躍，這樣的事例在中學(xué)數(shù)學(xué)中有不少體現(xiàn)。例如，在同學(xué)們學(xué)習(xí)數(shù)軸時(shí)，我們可以把0看作一個(gè)節(jié)點(diǎn)，它是唯一的中性數(shù)，越過(guò)這一點(diǎn)，數(shù)的領(lǐng)域?qū)⒊蔀樗膶?duì)立域。不僅在代數(shù)中如此，在幾何中也是如此：圖形中某種數(shù)量關(guān)系的變化會(huì)導(dǎo)致某一點(diǎn)的質(zhì)變。在幾何里，我們給定一個(gè)正方形，我們把正方形本身的性質(zhì)看成一個(gè)節(jié)點(diǎn)，只要將其一組對(duì)邊的長(zhǎng)增加（或減少）一個(gè)任意小的長(zhǎng)度，它的許多獨(dú)特的性質(zhì)立即被破壞或喪失，即也就是圖形的性質(zhì)起了質(zhì)的變化。

我們?cè)趯W(xué)習(xí)幾何的時(shí)候，從二維向量到三維向量，甚至更多維向量，由于維數(shù)的增加，導(dǎo)致由量變引起了質(zhì)變，使得平面變成了空間，甚至變成了更為抽象的“體”的概念，從而也就有了我們?cè)谡J(rèn)識(shí)立體圖形的時(shí)候，在空間里要學(xué)會(huì)畫(huà)出的圖形的主視圖、左視圖和俯視圖。

正如自然界中的變化是一個(gè)量變與質(zhì)變不斷積累的過(guò)程，量從量變到質(zhì)變的轉(zhuǎn)變是對(duì)變化過(guò)程本身的繼承，在質(zhì)變之后，又開(kāi)始了新一輪的量變。在這種情況下，每次在某個(gè)時(shí)間點(diǎn)的所有更改都是基于先前的更改而開(kāi)發(fā)的。像我們?cè)谥袑W(xué)數(shù)學(xué)解題時(shí)，我們最先講解一道題簡(jiǎn)單的解法，隨著知識(shí)層面的增加，到了一定的質(zhì)點(diǎn)我們就可以引申出更加簡(jiǎn)單快捷高效的解題方法來(lái)進(jìn)行求解，而往往這些解題方法也是大多數(shù)學(xué)生在求解數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)所要進(jìn)行學(xué)習(xí)的。

二、質(zhì)量互變規(guī)律在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用

量變質(zhì)變規(guī)律我們最終都要在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的課堂上實(shí)戰(zhàn)應(yīng)用，而此哲學(xué)規(guī)律又起著引導(dǎo)學(xué)生思維的重要作用。

（一）有利于形成清晰的數(shù)學(xué)概念

實(shí)際上，數(shù)學(xué)理論的教育過(guò)程是從量變到質(zhì)變的過(guò)程，學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程也是從量變到質(zhì)變的積累過(guò)程，相較于中學(xué)數(shù)學(xué)來(lái)說(shuō)，學(xué)生容易對(duì)一些概念定理理解不清楚。比如從認(rèn)識(shí)正數(shù)到逐步認(rèn)識(shí)正分?jǐn)?shù)、認(rèn)識(shí)零，再逐步認(rèn)識(shí)復(fù)數(shù)，在這一概念的認(rèn)識(shí)過(guò)程中，數(shù)的大小變化就是量變。作為對(duì)數(shù)字、數(shù)學(xué)接觸多的成人來(lái)說(shuō)，數(shù)的大小變化很自然，而作為中學(xué)生從認(rèn)識(shí)直觀可數(shù)的數(shù)，到認(rèn)識(shí)“看不見(jiàn)”“不存在”的數(shù)，再到逐步認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)的意義，認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)的性質(zhì)，是質(zhì)變。這整個(gè)過(guò)程，也正是由質(zhì)變到量變的過(guò)程。

（二）有利于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力

人們常說(shuō)，實(shí)際上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的就是“解決問(wèn)題”，而解決問(wèn)題的關(guān)鍵就是要找到合適的解決問(wèn)題的思路。數(shù)學(xué)思維方法就是幫助構(gòu)建解決問(wèn)題思路的指導(dǎo)原則，對(duì)此，讓學(xué)生掌握一些基本的思維方法，提高他們的元認(rèn)知水平，是培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題能力和解決問(wèn)題能力的重要途徑。例如在學(xué)習(xí)“角度”這一章節(jié)時(shí)，我們可以把90。的角度看成一個(gè)變化的節(jié)點(diǎn)，構(gòu)造了這一思路之后，我們?cè)趯W(xué)習(xí)銳角與鈍角時(shí)，我們就說(shuō)小于90。的角為銳角，大于90。的角為鈍角。同學(xué)們把握清楚90。的角的概念之后，再進(jìn)行引申學(xué)習(xí)銳角和鈍角的概念。

再者我們?cè)趯W(xué)習(xí)多邊形的內(nèi)角和這一節(jié)內(nèi)容時(shí)，我們最開(kāi)始學(xué)習(xí)的是三角形內(nèi)角和，有了三角形內(nèi)角和的知識(shí)之后，我們?cè)賹?duì)圖形進(jìn)行變化，把最開(kāi)始三角形內(nèi)角和為180?？闯梢粋€(gè)質(zhì)的節(jié)點(diǎn)，對(duì)于多邊形按照節(jié)點(diǎn)進(jìn)行分割，看可以分成幾個(gè)三角形，然后再乘以180。就是多邊形的內(nèi)角和了。

（三）有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力

在學(xué)習(xí)“經(jīng)過(guò)一點(diǎn)可以做多少條直線”這一節(jié)，定義是經(jīng)過(guò)一點(diǎn)可以作無(wú)數(shù)條直線，而經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，卻只能作唯一的一條直線。我們可以引申：經(jīng)過(guò)三個(gè)點(diǎn)，甚至更多的點(diǎn)呢？這樣可以鍛煉同學(xué)們的數(shù)學(xué)思維，即它可能作出唯一的一條直線，也可能作不出任何一條直線。再有圓規(guī)作圖時(shí)，我們說(shuō)經(jīng)過(guò)一點(diǎn)或兩點(diǎn)，可以作出無(wú)數(shù)個(gè)圓，而經(jīng)過(guò)不共線的三點(diǎn)，卻只能作出唯一的一個(gè)圓。這里，點(diǎn)的個(gè)數(shù)變化就是量變，而能否作出唯一的一個(gè)圓卻是質(zhì)變。也就是說(shuō)，可以以在數(shù)學(xué)課程中慢慢滲透質(zhì)量互變的理念，讓學(xué)生的分析和解決問(wèn)題的基本能力有一個(gè)質(zhì)的飛躍。

（四）有助于激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的濃厚興趣

大多數(shù)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)，總感覺(jué)數(shù)學(xué)枯燥乏味，這大大降低了他們對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，而質(zhì)量互變?cè)谟谝龑?dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中質(zhì)和量的點(diǎn)，能夠變枯燥為有趣，從而讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的魅力，增加他們對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)探索的興趣，化抽象為簡(jiǎn)單，這樣也可以大大提高學(xué)生們的成績(jī)。質(zhì)變量變方法進(jìn)行教學(xué)的關(guān)鍵在于從最簡(jiǎn)單的節(jié)點(diǎn)出發(fā)，然后進(jìn)行引申擴(kuò)展，從一個(gè)點(diǎn)到多個(gè)點(diǎn)，從一種解題方法到另一種解題方法，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的探索求知精神，從而更加喜歡數(shù)學(xué)。

當(dāng)然，在數(shù)學(xué)課中引入哲學(xué)思想時(shí)，教師應(yīng)該首先要精心設(shè)計(jì)和有機(jī)結(jié)合知識(shí)，更重要的是有意識(shí)地、巧妙地啟發(fā)學(xué)生理解數(shù)學(xué)的各種定理和哲學(xué)思想，不要只是機(jī)械地使用它，比如一些數(shù)學(xué)解題思路學(xué)生習(xí)慣死記硬背，稍微改變一下題目形式學(xué)生往往容易出錯(cuò)。數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)不僅體現(xiàn)在教材中，也體現(xiàn)在教師教學(xué)的課堂上，希望在此基礎(chǔ)上，教師繼續(xù)對(duì)數(shù)學(xué)思想的有效教學(xué)進(jìn)行不斷探索，能靈活運(yùn)用哲學(xué)思想于我們的教學(xué)中才是我們的最終目的。

參考文獻(xiàn)

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[3]趙冬，丁黎明.哲學(xué)思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].淮北職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2014，13（6）：61-62.