超聲場(chǎng)中單氣泡的平移和非球形振動(dòng)*

吳學(xué)由 梁金福

(貴州師范大學(xué)物理與電子科學(xué)學(xué)院,貴陽(yáng) 550025)

基于攝動(dòng)理論和廣義伯努利方程,推導(dǎo)出單氣泡在超聲場(chǎng)中徑向振動(dòng)方程、平移方程和氣泡形變方程.數(shù)值計(jì)算這3 個(gè)方程,可以得到氣泡半徑、氣泡中心的位移和氣泡形變隨時(shí)間的演化圖.計(jì)算結(jié)果表明:當(dāng)氣泡初始半徑和驅(qū)動(dòng)聲壓不變時(shí),氣泡中心初始平移速度增大,氣泡徑向振動(dòng)幾乎不變,但氣泡中心位移和形變量增大,氣泡非球形振動(dòng)愈加明顯.當(dāng)初始平移速度比較小時(shí),氣泡的 R0-pa 相圖中,不穩(wěn)定區(qū)域僅集中在高驅(qū)動(dòng)聲壓區(qū)域.隨著氣泡中心初始平移速度不斷增大,半徑和驅(qū)動(dòng)聲壓均較小的區(qū)域開(kāi)始呈現(xiàn)不穩(wěn)定性,且整體不穩(wěn)定空間范圍逐漸增大.另外,氣泡在聲駐波場(chǎng)中不同位置呈現(xiàn)出不同的振動(dòng)特征.離波腹點(diǎn)越近的氣泡,其徑向振動(dòng)幅度越大,但氣泡的平移和形變量變化很小,R0-pa 相圖中不穩(wěn)定性區(qū)域平面分?jǐn)?shù)之間的誤差小于4%.

1 引 言

當(dāng)強(qiáng)超聲通過(guò)液體時(shí),液體中微小氣泡(即空化核)會(huì)成長(zhǎng)為肉眼可見(jiàn)的、微米量級(jí)的氣泡,這種現(xiàn)象稱(chēng)為聲空化[1].形成的氣泡叫做空化泡.空化泡在聲場(chǎng)的作用下,其徑向運(yùn)動(dòng)表現(xiàn)出先緩慢膨脹,然后急劇塌縮,最后反彈的周期性脈動(dòng)現(xiàn)象.空化泡塌縮至最小半徑前后,其內(nèi)部會(huì)產(chǎn)生極端的高溫高壓,氣泡內(nèi)部物質(zhì)可能發(fā)生電離,導(dǎo)致光輻射,這種現(xiàn)象稱(chēng)為聲致發(fā)光[2].空化泡內(nèi)部的高溫高壓已被應(yīng)用到超聲清洗[3]、納米材料制備[4]和催化化學(xué)反應(yīng)[5]等領(lǐng)域.

聲致發(fā)光是空化泡急劇運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致的結(jié)果,空化泡動(dòng)力學(xué)一直以來(lái)是聲空化和聲致發(fā)光研究的課題之一.早在1917 年,Rayleigh[6]就建立了著名的球形空化泡動(dòng)力學(xué)模型.1954 年,Plesset[7]從流體力學(xué)基本方程組出發(fā),研究了單個(gè)球形空化泡的形狀不穩(wěn)定性.1980 年,Keller 和Miksis[8]建立了壓縮液體中空化泡的動(dòng)力學(xué)模型.1996 年,Hilgenfeldt等[9]從擴(kuò)散平衡不穩(wěn)定性方面系統(tǒng)地研究了單個(gè)空化泡的非穩(wěn)定性.2005 年,An 等[10]考慮了非球形聲壓對(duì)單泡聲致發(fā)光氣泡不穩(wěn)定性的影響,計(jì)算了氣泡的不穩(wěn)定性相圖.2013 年,Zhang 和An[11]研究了空化泡鏈中氣泡的不穩(wěn)定性,具體分析了氣泡的形狀不穩(wěn)定性、擴(kuò)散平衡不穩(wěn)定性以及位移不穩(wěn)定性.2012 年,Liang 等[12]研究了兩個(gè)氣泡在球形聲場(chǎng)非球形振動(dòng);2017 年,他們研究了兩個(gè)氣泡在非球形聲場(chǎng)中的動(dòng)力學(xué)行為[13].在這些研究中,氣泡均被假定在一個(gè)固定的位置.

但實(shí)驗(yàn)觀(guān)測(cè)結(jié)果表明,氣泡在超聲驅(qū)動(dòng)下的運(yùn)動(dòng)是非常復(fù)雜的.1998 年,Madrazo 等[14]觀(guān)測(cè)到單氣泡在超聲場(chǎng)中的非球形脈動(dòng).1999 年,Barbat等[15]觀(guān)察到兩個(gè)氣泡在聲場(chǎng)中周期性平移運(yùn)動(dòng).2007 年,Flannigan 和Suslick[16]觀(guān)測(cè)到硫酸溶液中單個(gè)快速平移氣泡的聲致發(fā)光光譜.2012 年,Cui 等[17]觀(guān)察到含不同酒精量水溶液中單個(gè)空化泡平移、抖動(dòng)行為.2019 年,Wu 等[18]研究了強(qiáng)超聲場(chǎng)中多氣泡環(huán)境下單個(gè)氣泡的振動(dòng)和平移.2021 年,Wu 等[19]用高速相機(jī)觀(guān)測(cè)到空化泡在油-水界面處的動(dòng)力學(xué)行為.這些工作說(shuō)明氣泡在超聲場(chǎng)中的動(dòng)力學(xué)行為包含了氣泡的徑向脈動(dòng)、氣泡的平移和氣泡表面的形變.為了研究氣泡脈動(dòng)、平移和形變的動(dòng)力學(xué)機(jī)制,一些學(xué)者做了很多有價(jià)值的工作.2001 年,Doinikov[20]運(yùn)用拉格朗日理論體系研究了兩個(gè)空化泡在超聲場(chǎng)中徑向脈動(dòng)和平移運(yùn)動(dòng);2002 年,Doinikov[21]研究了平面駐波聲場(chǎng)中單個(gè)空化泡平移運(yùn)動(dòng)和徑向振動(dòng).2015 年,沈壯志[22]研究了聲駐波場(chǎng)中空化泡在不同位置處的動(dòng)力學(xué)特性.2018 年,馬艷等[23]基于拉格朗日方程得到兩個(gè)空化氣泡的動(dòng)力學(xué)方程,分析了兩個(gè)氣泡的耦合振動(dòng)及其形狀的不穩(wěn)定性.2020 年,Zhang 等[24]詳細(xì)研究了兩個(gè)氣泡在聲場(chǎng)中的平移動(dòng)力學(xué)機(jī)制.這些工作只考慮了氣泡的徑向脈動(dòng)和平移或氣泡的徑向脈動(dòng)和形變兩種情況,沒(méi)有把氣泡的徑向脈動(dòng)、平移和形變進(jìn)行耦合.1995 年,Feng和Leal[25]首次建立了單個(gè)氣泡在超聲場(chǎng)的徑向脈動(dòng)、氣泡平移以及氣泡形變的動(dòng)力學(xué)耦合模型.2002 年,Reddy和Szeri[26]研究了單個(gè)氣泡的徑向脈動(dòng)、氣泡平移隨時(shí)間的演化關(guān)系.2004 年,Doinikov 等[27]研究了單個(gè)氣泡在聲駐波場(chǎng)中徑向脈動(dòng)、氣泡平移和形變?nèi)叩姆蔷€(xiàn)性耦合運(yùn)動(dòng).2009 年,Mettin 和Doinikov[28]研究了單個(gè)氣泡在高頻聲場(chǎng)中不同位置的穩(wěn)定性特征.但氣泡徑向脈動(dòng)、平移和形變之間的相互作用以及聲場(chǎng)分布對(duì)氣泡穩(wěn)定性的影響還不十分清楚.本文建立了單個(gè)氣泡徑向脈動(dòng)、平移和形變相互耦合的動(dòng)力學(xué)模型,數(shù)值計(jì)算這3 個(gè)方程，得到了氣泡初始平移速度和駐波聲場(chǎng)分布分別對(duì)氣泡的脈動(dòng)、平移、形變、非球形振動(dòng)和穩(wěn)定性的影響.

2 含脈動(dòng)、平移和形變的氣泡動(dòng)力學(xué)模型

考慮不可壓縮液體中的1 個(gè)氣泡,且液體流動(dòng)是無(wú)旋的.以氣泡中心為球坐標(biāo)原點(diǎn),如圖1 所示.氣泡在超聲波驅(qū)動(dòng)和液體黏滯力作用下,可能會(huì)沿x方向平動(dòng).根據(jù)勢(shì)流理論,液體中氣泡附近的速度勢(shì)(φ)滿(mǎn)足拉普拉斯方程?2?=0,則液體中單個(gè)空化泡附近的速度勢(shì)可以假定為[12,20]

圖1 含有氣泡脈動(dòng)、平移和形變的幾何圖形Fig.1.Geometry for single bubble with pulsation,translation and shape perturbation.

氣泡表面的方程可以表述為

如果氣泡的形狀在Z軸方向是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)的,則氣泡表面函數(shù)可以近似表示為

其中,R表示氣泡振動(dòng)的球形半徑;a2表示氣泡非球形振動(dòng)部分的振幅;?是攝動(dòng)參數(shù),其值設(shè)定小于1,保證a2小于R.為了簡(jiǎn)化,這里只取第2 階勒讓德函數(shù)(P2(μ))描述氣泡的形變,μ=cosθ.

根據(jù)方程(1)—(3),氣泡附近總的速度勢(shì)近似為

考慮氣泡的徑向脈動(dòng)、平移和形變,氣泡表面的法向速度近似滿(mǎn)足方程

其中,F≡F(r,θ,t) ,er是速度法向方向單位矢量,?表示沿r方向的梯度,表示x對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù).把方程(2)—(4)代入方程(5),然后對(duì)方程(5)進(jìn)行?泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi),可以得到

其中 P0≡P0(μ) ,P1≡P1(μ) ,P2≡P2(μ),表示R對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù).根據(jù)勒讓德函數(shù)的正交性[29],由方程(6)和方程(7)解得:

在不可壓縮的液體中,如果流體是無(wú)旋的,則液體中1 個(gè)平動(dòng)氣泡周?chē)乃俣葎?shì)滿(mǎn)足廣義伯努利方程[30]:

其中,ρ是液體密度,p和p∞分別表示液體中r處和無(wú)窮遠(yuǎn)處的壓強(qiáng).把方程(4)和方程(8)—(10)代入方程(11),然后對(duì)方程(11)進(jìn)行?泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi),利用勒讓德多項(xiàng)式的性質(zhì)[29],可以得到

其中,σ是氣泡的表面張力,p0是氣泡內(nèi)初始?jí)簭?qiáng),η表示液體的黏度系數(shù),R0表示氣泡初始半徑,h表示范德瓦耳斯排斥半徑,h=8.5/R0,γ表示氣體的絕熱指數(shù),pa和f分別表示驅(qū)動(dòng)聲壓幅度和超聲頻率.從方程(12)—(14)能明顯看出,若不考慮氣泡的平移,方程(12)就退化為著名的單氣泡動(dòng)力學(xué)Rayleigh-Plesset(RP)方程[6,31],方程(14)也退化為文獻(xiàn)[32]中的單氣泡形變方程.

值得注意的是,在推導(dǎo)方程(12)—(14)的過(guò)程中,因在假定速度勢(shì)時(shí),?0項(xiàng)只考慮了氣泡的徑向振動(dòng)和平移,所以只選取了?0中的 P0和 P1項(xiàng),分別用來(lái)描述氣泡的徑向振動(dòng)和平移,省略 P2項(xiàng).同理,對(duì)于含有?1的式子,類(lèi)比速度勢(shì)中的微擾項(xiàng),只取?1中的 P2項(xiàng)來(lái)描述氣泡的形變,省略 P0,P1,P3和P4項(xiàng).

3 數(shù)值模擬結(jié)果和討論

為了分析單個(gè)氣泡在液體超聲場(chǎng)中的脈動(dòng)、平移和形變等動(dòng)力學(xué)特性,采用龍格-庫(kù)塔法數(shù)值計(jì)算方程(12)—(14).初始條件為t=0 時(shí),R=R0,dR/dt=0 ,x=0 ,dx/dt=vx0,a2=1×10?10m,da2/dt=0.本文使用的物理量參數(shù)見(jiàn)表1.

表1 數(shù)值計(jì)算中使用的物理量參數(shù)Table 1. Physical parameters used in the numerical calculation.

3.1 初始平移速度對(duì)氣泡的脈動(dòng)、平移位移和形變的影響

為了研究初始平移速度對(duì)氣泡的脈動(dòng)、平移和形變的影響,聯(lián)合方程(12)—(17),分別計(jì)算模擬氣泡在不同初始平移速度(vx0=0,0.1,1,3,5 m/s)下,其半徑、中心平移位移和形變隨時(shí)間的演化圖像,結(jié)果如圖2 所示.可以看出,隨著初始平移速度的增加,即從0 增加到5 m/s 時(shí),氣泡半徑的大小及其周期性演化幾乎沒(méi)有變化,但位移和形變的大小不斷增大,形變的增大最終導(dǎo)致氣泡的破裂.

圖2 不同初始平移速度 vx0 下,(a)氣泡徑向半徑、(b)氣泡中心平移以及(c)氣泡表面形變隨時(shí)間的演化. R0 =4.5 μm,pa =1.15 × 105 PaFig.2.Evolutions of(a) radius,(b) translation and(c) deformation with time for a cavitation bubble with different initial translational velocity(vx0 ),respectively. R0 =4.5 μm,pa=1.15 × 105 Pa.

3.2 初始平移速度對(duì)氣泡非球形振動(dòng)的影響

為了模擬氣泡的非球形振動(dòng),把氣泡的形狀近似看成1 個(gè)軸對(duì)稱(chēng)的橢球.橢球兩個(gè)軸的伸長(zhǎng)范圍由L=a2/R決定,第3 個(gè)軸看成是恒定對(duì)稱(chēng)的.當(dāng)L=0 時(shí),氣泡的形狀是完全球形的.當(dāng)0

圖3 不同初始平移速度條件下,不同時(shí)刻氣泡振動(dòng)的形狀 (a) vx0 =0;(b) vx0 =1 m/s;(c) vx0 =3 m/s;(d) vx0 =5 m/s.其中 R0 =4.5 μm,pa =1.15 × 105 PaFig.3.Simulations of shapes of a gas bubble’s oscillation at different times under different initial translational velocity:(a) vx0 =0;(b) vx0 =1 m/s;(c) vx0 =3 m/s;(d) vx0 =5 m/s. R0 =4.5 μm,pa =1.15 × 105 Pa.

3.3 初始平移速度對(duì)氣泡非穩(wěn)定性的影響

氣泡在超聲場(chǎng)中的非穩(wěn)定性空間范圍是表征氣泡動(dòng)力學(xué)的重要指標(biāo)之一.本文采用Rayleigh-Taylor(RT)判據(jù)|a2/R|≥1 來(lái)確定氣泡的不穩(wěn)定性空間[9].RT 判據(jù)是指隨著氣泡的周期性振動(dòng),其形變量a2可能會(huì)不斷增大.當(dāng)a2大于氣泡球形半徑R時(shí),氣泡就會(huì)破滅.根據(jù)該判據(jù),計(jì)算得到4 種不同初始平移速度的R0-pa相圖,如圖4 所示.圖中藍(lán)色部分表示不穩(wěn)定性區(qū)域,灰色部分表示固定不變區(qū)域.Sa表示不穩(wěn)定區(qū)域的面積百分?jǐn)?shù),其值等于藍(lán)色區(qū)域面積與灰色區(qū)域面積(恒定)的百分比.

從圖4(a)—(d)可以看出,當(dāng)vx0較小時(shí)(圖4(a)和圖4(b)),不穩(wěn)定區(qū)域僅集中在高驅(qū)動(dòng)聲壓區(qū)域(pa≥ 0.9 × 105Pa);隨著vx0的不斷增大(圖4(c)和圖4(d)),初始半徑和驅(qū)動(dòng)聲壓均在較小的區(qū)域開(kāi)始呈現(xiàn)不穩(wěn)定性,整體的不穩(wěn)定性空間范圍逐漸增大.

圖4 不同初始平移速度下,氣泡的R0-pa相圖 (a)vx0 =0;(b) vx0 =1 m/s;(c) vx0 =3 m/s;(d) vx0 =5 m/s.pa=1.15 × 105 Pa,R0 =4.5 μmFig.4. R0- pa phase diagram of a gas bubble under different initial translational velocity:(a) vx0 =0;(b) vx0 =1 m/s;(c) vx0 =3 m/s;(d) vx0 =5 m/s. pa=1.15 × 105 Pa,R0 =4.5 μm.

3.4 聲駐波場(chǎng)中不同位置處氣泡的非球形振動(dòng)和非穩(wěn)定性

為研究聲場(chǎng)分布對(duì)單氣泡的徑向振動(dòng)、平移、形變、非球形振動(dòng)和穩(wěn)定性的影響,計(jì)算模擬氣泡在聲駐波場(chǎng)中不同位置處的動(dòng)力學(xué)行為.聲駐波場(chǎng)可以表示為pd=?pasin(wt)cos(kd) .這里的k表示聲波的波數(shù),k=1/λ=f/c,d表示氣泡到波腹點(diǎn)的距離,λ表示聲波波長(zhǎng).

圖5 給出波腹點(diǎn)不同位置處,氣泡的半徑、平移位移和形變隨時(shí)間的演化圖像.從圖5 可以看出,當(dāng)d從0 變化到λ/2 時(shí),氣泡振動(dòng)過(guò)程中徑向部分的最大半徑壓縮比R/R0從2.5 減小到1.5,如圖5(a)所示,這說(shuō)明氣泡在波腹處的振動(dòng)比較劇烈.氣泡中心的位移和氣泡形變變化較小(如圖5(b)和圖5(c)).

圖5 不同位置處,氣泡半徑、平移位移和形變隨時(shí)間的演化圖像(pa=1.15 × 105 Pa,R0 =4.5 μm,vx0 =5 m/s)Fig.5.Evolution of bubble’s radius,translation and deformation at different distance d from the antinodal point of acoustical wave.pa=1.15 × 105 Pa,R0 =4.5 μm,vx0 =5 m/s.

圖6 是對(duì)應(yīng)d在0,λ/5,λ/4 和λ/2 處,氣泡的非球形振動(dòng)圖像.t=0 是初始時(shí)刻的圖像.t=10.63 μs 是氣泡膨脹到最大半徑時(shí)的圖像.t=23.60 μs 是氣泡坍縮到最小半徑時(shí)的圖像.t=24.02,24.60,34.60 μs 是氣泡反彈階段的圖像.從圖6 可以看出,氣泡在d=0(波腹處),氣泡的形變較小.隨著d值增大到λ/2 處,氣泡的最大半徑明顯變小.當(dāng)t=35.60 μs 時(shí),氣泡扭曲最大,說(shuō)明離波腹點(diǎn)的距離越大,氣泡越容易破裂.

圖6 不同位置處,不同時(shí)刻氣泡振動(dòng)的形狀(pa=1.15 × 105 Pa,R0 =4.5 μm,vx0 =5 m/s)(a) d=0;(b) d=λ/5;(c) d=λ/4;(d) d=λ/2Fig.6.Simulations of shapes of a gas bubble’s oscillation at different times at different distances from the antinodal of acoustical wave:(a) d=0;(b) d=λ/5;(c) d=λ/4;(d) d=λ/2. pa=1.15 × 105 Pa,R0 =4.5 μm,vx0 =5 m/s.

圖7 是根據(jù)RT 判據(jù)|a2/R|≥1,數(shù)值計(jì)算得到的氣泡在聲駐波場(chǎng)中不同位置處的R0-pa相圖.從圖7(a)—(d)可以看出,4 個(gè)不同位置處的不穩(wěn)定性空間區(qū)域的面積分?jǐn)?shù)非常接近,相互之間的差值小于4%.這說(shuō)明聲駐波場(chǎng)分布對(duì)氣泡的整體不穩(wěn)定性空間范圍影響較小.

圖7 不同位置處,氣泡的 R0 -pa 相圖(pa=1.15 × 105 Pa,R0 =4.5 μm,vx0 =5 m/s)(a) d=0;(b) d=λ/5;(c) d=λ/4;(d) d=λ/2Fig.7. R0 -pa phase diagrams of a gas bubble at different distances from the antinodal of acoustical wave:(a) d=0;(b) d=λ/5;(c) d=λ/4;(d) d=λ/2. pa=1.15 × 105 Pa,R0 =4.5 μm,vx0 =5 m/s.

4 結(jié) 論

基于攝動(dòng)理論和廣義伯努利方程,建立了描述單氣泡在超聲場(chǎng)中的徑向振動(dòng)、平移和形變的數(shù)學(xué)模型.數(shù)值模擬結(jié)果表明,當(dāng)氣泡的初始半徑和驅(qū)動(dòng)聲壓幅度不變時(shí),隨著氣泡中心初始速度增大,氣泡的非球形振動(dòng)更加明顯,R0-pa相圖中非穩(wěn)定性空間范圍增大.分析了離波腹點(diǎn)不同位置處氣泡的徑向振動(dòng)、平移、形變、非球形振動(dòng)和穩(wěn)定性.在1 個(gè)聲波長(zhǎng)內(nèi),聲場(chǎng)位置對(duì)氣泡的平移和不穩(wěn)定性空間范圍影響較小,但對(duì)氣泡的徑向振動(dòng)影響較大.氣泡在波腹點(diǎn)的振動(dòng)幅度最大,距離波腹點(diǎn)越遠(yuǎn),振動(dòng)幅度越小.本文的研究結(jié)果對(duì)研究空化泡動(dòng)力學(xué)有一定的指導(dǎo)意義.