高中立體幾何中的平面幾何應(yīng)用淺析

甘恒源

摘 要：在高中階段的學(xué)科中，立體幾何占據(jù)了重要的比例，并且學(xué)好立體幾何也有助于形成完善的學(xué)科思維和邏輯思維，在高中立體幾何中平面幾何作為主要的基礎(chǔ)，需要結(jié)合高中立體幾何的特點對平面幾何的特點以及解題思路進(jìn)行深入的分析以及研究，從而在腦海中構(gòu)建完善的知識體系，提高學(xué)習(xí)效果和學(xué)習(xí)質(zhì)量。在實際學(xué)習(xí)中，要對高中立體幾何和平面幾何的特點進(jìn)行對比性的分析，明確兩者的差異性，為后續(xù)的學(xué)習(xí)指明正確的方向。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);立體幾何;平面幾何

在高考試卷中，高中立體幾何中的平面幾何考核的范圍在不斷的擴(kuò)大，在幾何中，主要是研究現(xiàn)實世界中物體的形狀大小和位置關(guān)系的學(xué)科，要通過直觀感知和認(rèn)證思維來探索出幾何圖形的特點以及性質(zhì)，在學(xué)習(xí)的過程中少不了三維空間的思維，要清楚的認(rèn)識空間圖形，并且還要根據(jù)空間想象能力和圖形語言運用能力進(jìn)行深入的學(xué)習(xí)和分析，從而全面的掌握高中數(shù)學(xué)立體幾何中平面幾何的相關(guān)內(nèi)容。

一、平面幾何和立體幾何的關(guān)系

在高中數(shù)學(xué)中幾何學(xué)占據(jù)了重要的比例，幾何學(xué)是研究現(xiàn)實世界中物體形狀和大小位置關(guān)系的數(shù)學(xué)學(xué)科，幾何學(xué)又分為平面幾何和立體幾何，從整體上看，平面幾何和立體幾何之間的關(guān)系是比較密切的，平面幾何是最早的幾何學(xué)，主要是研究平面上的直線和二次曲線的性質(zhì)，平面幾何中的相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行了公式化的處理，能夠了解重要的數(shù)學(xué)思想，比如在實際學(xué)習(xí)的過程中，三維空間占據(jù)了重要的比例，假如具備了完善的三維空間的話，那么會從平面幾何的內(nèi)容很自然的過渡到立體幾何中[1]。對于立體幾何來說，主要是對三維空間解析，幾何的主要思想研究二次平面的幾何分類問題，比如涉及橢球面和錐面等相關(guān)內(nèi)容，在代數(shù)學(xué)中還包含了不變量的問題，從中可以看出立體幾何所涵蓋的范圍是比較廣的，所涉及的知識范圍具有復(fù)雜性的特征。

在高中數(shù)學(xué)教材中，在例題幾何中的平面幾何內(nèi)容主要是從局部到整體來進(jìn)行幾何內(nèi)容學(xué)習(xí)的，在教材中先給了平面的基本性質(zhì)以及換法，之后再研究兩條直線以及直線和平面之間的關(guān)系，在后續(xù)學(xué)習(xí)的過程中，還涉及了平面和平面之間的位置關(guān)系，著重地研究了平行和垂直的基本判定和主要的性質(zhì)，在后續(xù)教材中還涉及了有關(guān)空間向量和夾角與直線的距離問題，主要是通過公理化的體系運用嚴(yán)密邏輯的推理方法來驗證相關(guān)的知識的，在教材中主要是以圖形結(jié)構(gòu)作為主要的主線，從整體到局部來彰顯平面幾何的內(nèi)容，在進(jìn)行空間幾何學(xué)習(xí)的過程中需要觀察三視圖和直觀圖，這從側(cè)面來看也屬于平面幾何中的內(nèi)容，從平面幾何的角度來認(rèn)識立體幾何，從而使空間想象能力和邏輯思維能力能夠得到有效地提高[2]。在實際學(xué)習(xí)的過程中，要先了解圖形的面積和體積的計算公式之后，再了解兩條直線與直線和平面之間的位置關(guān)系，引入了向量法來解決立體幾何的問題，不僅可以降低學(xué)習(xí)過程中存在的難度，還可以深刻地掌握在幾何空間中所涉及的知識點。在對立體幾何進(jìn)行學(xué)習(xí)時，可以通過平面幾何的角度形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S，從構(gòu)建主義作為主要的指導(dǎo)進(jìn)行深入的探索以及研究，從操作確認(rèn)和思辨論證方面探索出立體幾何和平面幾何之間的關(guān)系，為后續(xù)的學(xué)習(xí)奠定堅實的基礎(chǔ)。在實際學(xué)習(xí)的過程中，需要和實際進(jìn)行緊密地聯(lián)系，結(jié)合平面圖形的特征來對立體幾何圖形進(jìn)行深入的分析以及研究，運用幾何語言對抽象性的內(nèi)容進(jìn)行生動性的分析，結(jié)合圖形構(gòu)建觀察模型，在實際學(xué)習(xí)的過程中學(xué)習(xí)體驗是比較豐富的，并且從平面圖形入手，對立體幾何進(jìn)行分析和研究，降低了思考的難度。

在學(xué)習(xí)的過程中先接觸的是立體幾何方面的內(nèi)容，能夠了解生活中比較常見的空間立體幾何，了解結(jié)構(gòu)方面的特征，在腦海中建立完善的空間概念，之后，在學(xué)習(xí)空間中點線面之間的關(guān)系，這樣一來通過平面幾何能夠?qū)αⅢw幾何進(jìn)行反向的推導(dǎo)，在知識內(nèi)容學(xué)習(xí)的過程中也會是比較容易的，有感性認(rèn)識上升到理性認(rèn)識，不僅可以符合認(rèn)知規(guī)律，還能夠具備可操作性的特征。在學(xué)習(xí)完這一章內(nèi)容之后可以獨立性的畫出有關(guān)建筑物的直觀圖，并且通過三視圖來對立體幾何進(jìn)行深入的分析以及研究，運用這一原理來探究有關(guān)其他物體的體積，從而將理論和實踐進(jìn)行有機(jī)的結(jié)合，并且在了解平面幾何和立體幾何之間的關(guān)系，認(rèn)識到平面幾何原來是立體幾何在二維空間下的投影，進(jìn)一步的加深對這兩部分知識內(nèi)容的印象[3]。在實際學(xué)習(xí)的過程中，還需要融入有關(guān)算法思想方面的內(nèi)容，從而提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，符合認(rèn)知水平和認(rèn)知規(guī)律，對知識呈現(xiàn)方式進(jìn)行進(jìn)一步的揭示，了解一些本質(zhì)性的內(nèi)容，從而深刻地掌握平面幾何和立體幾何之間的關(guān)系。

二、立體幾何的學(xué)習(xí)思路

在進(jìn)行立體幾何學(xué)習(xí)的過程中，離不開對平面幾何的分析，在實際學(xué)習(xí)的過程中可以通過類比或者是歸納等解決方法明確解答問題的主要思路，類比法主要是通過兩個或者是兩個以上的事物對相似屬性進(jìn)行推導(dǎo)和研究，從特殊到特殊的推理方法屬于橫向性的思維，主觀性是比較強(qiáng)的類比推理可以對新舊知識進(jìn)行有效地遷移，并且對新舊知識進(jìn)行有效地匯總，從而使得在進(jìn)行立體幾何學(xué)習(xí)的過程中能夠從平面幾何自然而然地過渡到立體幾何中，操作性和科學(xué)性是比較強(qiáng)的[3]。立體幾何是平面幾何的延續(xù)，在概念的建立和定理的證明方面都延續(xù)了平面幾何方面的知識內(nèi)容，因此在實際學(xué)習(xí)的過程中，在對立體幾何進(jìn)行學(xué)習(xí)時要通過平面圖形的構(gòu)建，構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，從平面圖形入手，對立體圖形進(jìn)行深入的分析和研究，從而最快的解答出問題的答案。在實際解答問題的過程中，可以從平面的一些定義入手，對立體幾何進(jìn)行反向的分析，比如：“在平面中，過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行在空間中過平面外一點，有且只有一個平面與已知平面平行。”“三條平行線截兩條直線所得的4條線段成比例，三個平行平面截兩條直線，所得的4條線段成比例?！钡?，這些定理都是從平面幾何反向推導(dǎo)立體幾何，從中可以看出平面幾何和立體幾何之間的關(guān)系是比較緊密的。在實際解題的過程中，要從平面幾何的特點以及含義入手進(jìn)行反向性的推導(dǎo)，不僅可以從平面入手對立體圖形進(jìn)行分析以及研究，還可以提高最終解題的效果以及質(zhì)量。

在推理的過程中，需要根據(jù)自身所學(xué)習(xí)到的知識內(nèi)容，從已知到未知完成整個推理過程，并且對正確性的論證進(jìn)行反復(fù)的驗證，在推理的過程中，主要是由前提條件和結(jié)論兩部分組成，論證方法主要是按照形式進(jìn)行論證，或者是按照思考的方法進(jìn)行直接和間接的分析，在進(jìn)行解題的過程中，需要通過平面幾何和立體幾何研究對象進(jìn)行相互的對比，從而了解平面圖形和立體圖形之間的關(guān)系，結(jié)合相關(guān)性質(zhì)的證明思路來類比到立體圖形的正面思路，正從而完成整個類比過程。

綜上所述，在平面幾何中所涉及的內(nèi)容是比較豐富的，并且平面幾何和立體幾何之間的關(guān)系較為密切，在日常解題的過程中，要從邏輯思維入手進(jìn)行反復(fù)的類比和推理，將類比推理法滲透到例題幾何學(xué)習(xí)中，從平面圖形反向推導(dǎo)立體幾何圖形，不僅需要嚴(yán)密的推理方法，還要從一個全新的角度進(jìn)行解題，在日常解題的過程中要學(xué)習(xí)這種獨特的思維方法，用類比的方法了解平面幾何和立體幾何之間的關(guān)系，從而探索出一條新的解題之路。

三、空間向量在立體幾何中的應(yīng)用

在對立體幾何進(jìn)行解題的過程中向量是最有效地解決方法，可以利用向量將幾何問題轉(zhuǎn)換為代數(shù)問題，從而對整個解題過程進(jìn)行簡單化的處理，在高中幾何題中有很多問題的證明和解答，從日常解題效果來看，運用向量法的效果是比較簡單的，并且也可以更加直觀的解答出問題的答案，在實際解答的過程中，需要從平面幾何入手添加一些輔助線，再根據(jù)向量的解題思路來進(jìn)行計算，這樣一來不僅可以使整個解題過程變得更加簡單，在預(yù)算方面也沒有較大的難度，因此在立體幾何中可以通過空間向量將立體幾何和平面幾何進(jìn)行有機(jī)的結(jié)合，從而提高最終解題的科學(xué)性和有效性。方向向量和法向量可以確定直線和平面之間的位置，在解題的過程中，可以利用直線的方向向量和平面的法向量來對立體空間中的直線和平面的位置進(jìn)行精準(zhǔn)性的表示，明確各個部分之間的位置關(guān)系，在解題的過程中可以利用直線的方向向量表示空間兩條直線平行或者是垂直的關(guān)系，利用平面的法向量來表示空間兩平面是否是平行和垂直關(guān)系的，這給實際的解題帶來了新的思路。通過空間向量在幾何解題中的運用能夠更快探索出問題的本質(zhì)，空間向量在立體幾何中的運用是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)，在解題的過程中需要利用向量代數(shù)的方法來解決立體幾何中的難題，將立體幾何中的難題劃分到平面幾何中來進(jìn)行解答，將空間元素的位置關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)榫唧w性的數(shù)量關(guān)系，并且根據(jù)自身的邏輯思維能力進(jìn)行數(shù)值的計算，利用規(guī)范性的內(nèi)容將一些直觀的內(nèi)容進(jìn)行完整地展現(xiàn)，從而提高解決問題的能力，使得立體幾何的解題難題降低。

四、高中立體幾何中平面幾何的延續(xù)

在立體幾何中平面幾何的相關(guān)內(nèi)容得到了有效地擴(kuò)展以及延伸，比如關(guān)于平行關(guān)系的傳遞性，在平面幾何中，只是局限于同一平面上的位置關(guān)系，在立體幾何中涉及了不同平面多條直線之間的關(guān)系，在空間直線中，平面和平面之間是平行的，在空間平行關(guān)系方面具有擴(kuò)展性和延續(xù)性的特征，但不少問題歸根結(jié)底都是要通過平面幾何來進(jìn)行解決，比如異面直線間的距離問題最終需要歸結(jié)到兩點間的線段長度問題，各種立體圖形的判定和性質(zhì)也歸納為一些平面的判定和性質(zhì)，進(jìn)行立體幾何計算和解答逐漸的轉(zhuǎn)向為平面幾何的問題來進(jìn)行解決，當(dāng)然不同問題的解決方法存在著較大的差異性，但是大體的思路是從立體幾何到平面幾何的過渡。在平面幾何中立體幾何在空間有無數(shù)個平面，某一個平面上的幾何問題，就是平面幾何所研究的重點問題，在立體幾何中很多結(jié)論都可以在平面幾何中通過類比推理的方法進(jìn)行分析，在立體幾何中，在分析問題和解答問題時，要明確平面幾何和立體幾何之間的聯(lián)系以及差異，掌握類推的規(guī)律以及方法，從而形成正確的類推思維，發(fā)展自身的解題思維，要善于運用相關(guān)的知識點將平面幾何中的結(jié)論延續(xù)到立體幾何中。并不是所有的平面幾何結(jié)論都可以推到立體幾何中，在分析的過程中，需要在推廣之后有一個反復(fù)的驗證和修改的過程，根據(jù)自身的空間想象能力，提高空間幾何解題的效果以及質(zhì)量，在實際解題的過程中，要將幾何法和向量法進(jìn)行有機(jī)的結(jié)合，運用各種所學(xué)到的知識來進(jìn)行，解題將兩者取長補(bǔ)短，對幾何中的數(shù)據(jù)進(jìn)行縝密的計算以及驗證，完成整個推理過程。

結(jié)束語

在高中幾何學(xué)中，立體幾何和平面幾何之間的關(guān)系是比較明確的，通過平面幾何可以對立體幾何的性質(zhì)進(jìn)行反向性的推導(dǎo)，通過立體幾何也可以對平面幾何中的位置關(guān)系進(jìn)行深入的分析和研究。因此在解題的過程中，需要全面的了解立體幾何和平面幾何之間的關(guān)系以及相關(guān)的性質(zhì)，徹底的領(lǐng)悟平面圖形和立體圖形之間的區(qū)別以及聯(lián)系，為后續(xù)的學(xué)習(xí)奠定堅實的基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)

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