平面幾何中最值問題的探究

魏華

摘要：當(dāng)研究某幾何元素在題中給定的條件下動時，求某個量的最大值或者最小值被稱作平面幾何的最值問題。常見模型有：兩點(diǎn)之間線段最短；垂線段最短；兩邊之差小于第三邊；利用勾股定理其中一邊為定值，求一邊最大即求另一邊最??；“將軍飲馬問題”“隱形圓問題”。

關(guān)鍵詞：幾何最值；平面幾何；隱形圓；幾何模型；最小值

中圖分類號：G633.6文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1992-7711（2021）15-0101

一、課題解讀

當(dāng)我們研究平面幾何的運(yùn)動問題時，某元素在給定的條件下動時，求某個量的最大值或者最小值被稱作平面幾何的最值問題。線段的長短，圖形的周長、面積，角的度數(shù)，線段和差都可以是這個幾何量。這類問題可以以初中課本所學(xué)的特殊三角形、四邊形、圓、平面直角坐標(biāo)系為背景，可以把方程、不等式、函數(shù)等重要知識聯(lián)系在一起考查。近幾年與隱形圓的結(jié)合使考題變得更綜合且具有挑戰(zhàn)性。它能較全面地考查一個學(xué)生的應(yīng)變能力、分析問題及實(shí)踐操作解決問題的能力還有空間想象能力。

最值問題常見有兩類：1.函數(shù)解法，建立一個函數(shù)關(guān)系式，利用函數(shù)特有的增減性結(jié)合背景條件給定的范圍求最值；2.幾何解法，將題目中的幾何最值問題轉(zhuǎn)化成我們常見的幾何模型，常見的模型有：兩點(diǎn)之間線段最短；垂線段最短；兩邊之差小于第三邊；利用勾股定理其中一邊為定值，求一邊最大即求另一邊最??；“將軍飲馬問題”“隱形圓問題”。

題目中至少有一個動點(diǎn)是最值問題的必要條件，因?yàn)樵趧拥倪^程中才會出現(xiàn)極限位置也就是我們說的最值。比如飲馬問題，折點(diǎn)就是那個必須存在的動點(diǎn)，并且它的運(yùn)動軌跡是一條直線，只要能發(fā)現(xiàn)這個模型，就可以作一個定點(diǎn)的對稱點(diǎn)，利用基本事實(shí)“兩點(diǎn)之間線段最短”求解即可。當(dāng)然，點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是可以變的，比如，當(dāng)點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡是一個圓或圓弧時，也就是本文重點(diǎn)要研究的“隱形圓求最值”了。

二、方法探究

1.常見類型

（1）點(diǎn)在圓周上動，研究它到圓外（或圓內(nèi)）一定點(diǎn)的最值：利用圓特有的性質(zhì)，若點(diǎn)G是圓外一定點(diǎn)，連接點(diǎn)G和圓心交圓于P、M兩點(diǎn)，則PG、MG為最小和最大值。

（2）點(diǎn)在圓周上動，研究它到圓外一直線距離的最值：過圓心作定直線的垂線垂足為G交圓于P，M兩點(diǎn)，則PG、MG為最大和最小值。

2.如何發(fā)現(xiàn)圓

此類題一般條件隱藏較深，于是如何由條件的固定搭配發(fā)現(xiàn)圓，就成了解決本類題的關(guān)鍵。一旦這個隱形圓出現(xiàn)，就會使問題思路豁然開朗，計算簡單便捷，過程清晰明了，引人入勝。

（1）利用圓的定義可以構(gòu)造一個隱形圓：若已知中給出的動點(diǎn)滿足到一定點(diǎn)距離是定值，則此動點(diǎn)的運(yùn)動軌跡就是以這個定點(diǎn)為圓心的圓或者圓弧。

例：如圖（1）Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=10，AC上一點(diǎn)F，CF=5，E為邊BC上一點(diǎn)，將△CEF沿直線EF翻折，C落在P處，問點(diǎn)P到邊AB的最小值。

解析：本題表面上是動點(diǎn)P隨著點(diǎn)E在動，但是認(rèn)真審題不難發(fā)現(xiàn)在動的過程中，點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離不變，永遠(yuǎn)等于PF，由定義可以發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡為以點(diǎn)F為圓心，CF為半徑的圓，而BC邊為圓外一定直線符合第二類。

（2）利用圓周角定理推論可以構(gòu)造一個隱形圓：若題目中有一條固定的邊所對的角始終為直角，則直角頂點(diǎn)的運(yùn)動軌跡就是一個以定邊為直徑的圓或者圓弧。

例：如圖（2）正方形ABCD中邊長是8 cm，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，AE、BF相交于點(diǎn)O，且BE=CF，求CO的最小值。

解析：由已知不難發(fā)現(xiàn)△ABE≌△BCF，可證明線段BF與AE垂直。所以在點(diǎn)E、F位置改變的過程中，點(diǎn)O的位置也在改變，但是它們始終垂直，也就是線段AB所對的∠AOB是一個定值90°，由圓周角定理可以判斷動點(diǎn)O的運(yùn)動軌跡為以AB為直徑的圓弧，而點(diǎn)C為圓外一個定點(diǎn)符合第一類。

（3）利用圓周角定理可以構(gòu)造隱形圓：若題目中有一條定邊所對的角始終是一個定角，則這個角頂點(diǎn)的運(yùn)動軌跡就是一段圓弧。

例題：如圖（3）已知等邊三角形△ABC，邊長為5，若P為△ABC內(nèi)一動點(diǎn)，且滿足∠APB= 120°，求線段PC長度的最小值。

解析：題目中很明顯告訴我們動點(diǎn)P，在運(yùn)動過程中∠APB是個定值120°，由圓周角定理可知，動點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡為以AB為弦的一段圓弧。C為圓外一定點(diǎn)符合第一類。

所以解這類題的核心思路是：狠抓不變量，即題中是否存在定點(diǎn)、定角、定長，有了上述方法的歸納，相信審題的目的就更明確，發(fā)現(xiàn)圓就更迅速，求最值就更快了。

（作者單位：河北省張家口市宣化第四中學(xué)075000）