關(guān)于高中數(shù)學(xué)探索型問(wèn)題的教學(xué)探究

張金標(biāo)

摘 要：隨著新課標(biāo)的推進(jìn)，高中數(shù)學(xué)教學(xué)在不斷的改革創(chuàng)新。本人從近幾年高考數(shù)學(xué)中出現(xiàn)較頻繁的題型問(wèn)題出發(fā)，著重探討高中數(shù)學(xué)探索型問(wèn)題的思維模式，探索提高高中數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量，培養(yǎng)高中學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力的教學(xué)模式。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);探索;教學(xué)

近年來(lái)，探索型問(wèn)題不斷地出現(xiàn)在高考中，這是由于這類問(wèn)題，不但是對(duì)已學(xué)的知識(shí)進(jìn)行一次更深層次的理解和熟記，而且對(duì)學(xué)生各種能力的提高有著十分積極的意義。中學(xué)數(shù)學(xué)探索型問(wèn)題常見(jiàn)有以下兩類：

一、創(chuàng)新型

這類題型由于新穎，學(xué)生平時(shí)很或沒(méi)有接觸，考查學(xué)生臨場(chǎng)的分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力。所謂創(chuàng)新是指背景新穎，或情景新穎，或給出方式新穎，在常見(jiàn)中有新意，對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法的應(yīng)用上卻有深度，必須進(jìn)行深入的分析探索，才能找到解題途徑。

例1、設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，令稱Tn為數(shù)列a1，a2，…，an的“和諧數(shù)”，已知數(shù)列a1，a2，…，a2021的“和諧數(shù)”為2022，那么數(shù)列1，a1，a2，…，a2021的“和諧數(shù)”為?????? 。

分析：題目中涉及的一個(gè)數(shù)列的“理想數(shù)”是該數(shù)列前n項(xiàng)和構(gòu)成的新數(shù)列{Sn}中前n個(gè)數(shù)的算術(shù)平均值.注意到所求“和諧數(shù)”的生成數(shù)列比已知“和諧數(shù)”的生成數(shù)列多了一項(xiàng)，因此，只要找出所求“和諧數(shù)”與已知“和諧數(shù)”的關(guān)系，問(wèn)題即可獲解。

解：設(shè)An=S1+S2+…+Sn，從而A2021=2021×2022。

所以：

。

小結(jié)：此題自主定義了一個(gè)數(shù)列的“和諧數(shù)”，著重考查了對(duì)“和諧數(shù)”的認(rèn)識(shí)和理解.我們根據(jù)“和諧數(shù)”的定義，利用整體思想，架設(shè)了未知和已知之間的橋梁，為快速求解問(wèn)題奠定了基礎(chǔ)。

二、開(kāi)放型

這類題型沒(méi)有給出具體結(jié)論，需要學(xué)生理解題意，通過(guò)觀察、比較、分析、推理、判斷等系列探究活動(dòng)，從而確定需要的結(jié)論，且還需要論證結(jié)論的正確性，所以解法無(wú)常規(guī)可循，必須充分運(yùn)用綜合的數(shù)學(xué)能力。

例2.已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)a1=1，公比q=0.75的等比數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和。

（1）用Sn表示Sn+1;（2）是否存在正整數(shù)b和m，使得成立？若存在，求出b和m;若不存在，說(shuō)明理由。

解：（1）由Sn=4[1-（0.75）n]，得：Sn+1=4[1-（0.75）n+1]=0.75Sn+1。

（2）為了探求正整數(shù)b和m的存在性，我們可以執(zhí)果索因，使用分析法。

要使，只需.因?yàn)?，所以，故只?（A）

根據(jù)（A）可以看出，原命題可轉(zhuǎn)化為：是否存在正整數(shù)m，使得在1.25Sm-1和Sm之間存在一個(gè)正整數(shù)b？

所以，我們需考察1.25Sm-1與Sm的表達(dá)式.注意到：1.25Sm-1=4-5·（0.75）m，Sm=4[1-（0.75）n]。

所以，當(dāng)m≥6時(shí)，1.25Sm-1>3，Sm<4，不存在正整數(shù)b滿足條件;故只需考慮m=1～5的情形。

經(jīng)驗(yàn)證可得：存在正整數(shù)m=3，b=2或m=5，b=3時(shí)滿足條件。

通過(guò)以上幾個(gè)案例的分析，我們可以看到探索型問(wèn)題對(duì)于培養(yǎng)高中學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力具有重要作用。那么，作為高中數(shù)學(xué)一線老師，在教學(xué)中該如何指導(dǎo)學(xué)生解答探索型問(wèn)題？如何通過(guò)探索型問(wèn)題的教學(xué)來(lái)不斷培養(yǎng)高中學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力？多年的教學(xué)實(shí)踐，給我感觸最深的是以下兩點(diǎn)：

（一）教學(xué)時(shí)，多進(jìn)行一題多解的訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生思維的多向性

人只有在實(shí)踐中感到有問(wèn)題，感到有解決問(wèn)題的必要，才會(huì)開(kāi)動(dòng)腦筋積極地進(jìn)行思考。教師要引導(dǎo)學(xué)生思考問(wèn)題要多角度、多層次地進(jìn)行思考。解題時(shí)，不能只滿足于一種解法，教師應(yīng)多鼓勵(lì)學(xué)生多角度思考，尋求其他解法。

例3.已知奇函數(shù)，c>0，a是正整數(shù)），f（1）>0.4，且f（x）有最大值0.5。

（1）求函數(shù)f（x）的解析式;（2）是否存在過(guò)點(diǎn)P（1，0）的直線L與函數(shù)y=f（x）的圖象只交于M、N兩點(diǎn)，且M、N兩點(diǎn)的中點(diǎn)恰為點(diǎn)P，若存在，求直線L的方程;若不存在，說(shuō)明理由。

解析：（1）由f（x）為奇函數(shù)可得：b=0.又因?yàn)閏>0，a是正整數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，f（x）<0;當(dāng)x>0時(shí)，f（x）>0.因此，f（x）的最大值0.5一定在x>0時(shí)取得。

當(dāng)x>0時(shí)，，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)c·x2=1時(shí)取得。

所以，.又，所以，.結(jié)合c>0，a是正整數(shù)，可得：a=c=1.所以，。

（2）對(duì)于“是否存在型”的問(wèn)題，通法為：假設(shè)存在，根據(jù)題意推出矛盾，或者從某些結(jié)論出發(fā)，推出其存在的必要條件，再論證是否充分。

解法一：假設(shè)存在滿足條件的直線L，設(shè)M（x0，y0），因M、N兩點(diǎn)的中點(diǎn)為（1，0），則N（2-x0，-y0）.又M、N兩點(diǎn)都在函數(shù)的圖像上。

代入列方程組，消去y0，解得：x0=1±√2.所以

所以，直線L的方程為：x-4y-1=0.L的存在性還要論證其充分性。

把x=4y+1函數(shù)方程，易求得除上面的M、N對(duì)應(yīng)的解外的另一解（-1，-0.5），共三組解。

這樣直線L與函數(shù)y=f（x）的圖象共有三個(gè)交點(diǎn)，這與題意“只交于兩點(diǎn)”矛盾.所以滿足條件的直線L不存在。

以上解法的過(guò)程中，沒(méi)有應(yīng)用函數(shù)f（x）的奇函數(shù)性質(zhì)，若利用奇函數(shù)條件，可把問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為：是否存在直線l：y=b，使得l與y=f（x）有兩個(gè)距離為2的交點(diǎn).這樣得到其他不同的探究過(guò)程。

如果根據(jù)“只交于M、N兩點(diǎn)”的結(jié)論，這里可以采用以下較方便的解法。

解法二：若直線L的斜率不存在時(shí)，則L：x=1，易求得L與函數(shù)f（x）的圖像只交于一點(diǎn)，不滿足題意;因直線L過(guò)（1，0）點(diǎn)，所以設(shè)其方程為：y=k（x-1），代入函數(shù)方程，消去y整理得：kx3-kx2+（k-1）x-k=0（A）

對(duì)于方程（A），當(dāng)k=0，則方程僅有一解，不合題意。

當(dāng)k≠0，則方程（A）的實(shí)根個(gè)數(shù)可能為1個(gè)或3個(gè)，不可能有2個(gè)，所以滿足條件的直線L不存在。

點(diǎn)評(píng)：敏銳的觀察力，豐富的想象力，是解答探索型問(wèn)題的法寶。

（二）教學(xué)時(shí)，多進(jìn)行一題多變的訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性

“一題多變”是指在一道問(wèn)題得以解答，學(xué)生的求知欲得到暫時(shí)的滿足時(shí)，我們老師再在原題的基礎(chǔ)上對(duì)題目的某條件或結(jié)論加以適當(dāng)?shù)母脑欤股厦娴慕獯鸱椒ú荒苡?，引?dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并提出新問(wèn)題，擺脫思維定式的影響，進(jìn)行類比、聯(lián)想。前段時(shí)間在網(wǎng)上看到一位老師給出如下例題和處理教學(xué)。

例4、已知非負(fù)實(shí)數(shù)a、b、c不全相等，證明：

證明：

左邊=

在引導(dǎo)學(xué)生給出上述證明之后，可提出：若把改成比它較大的數(shù)，那又該如何證明呢？教學(xué)時(shí)，不妨讓學(xué)生思考一會(huì)兒，或許很多同學(xué)會(huì)模仿上述證法，但不能如愿，此時(shí)教師可引導(dǎo)學(xué)生作如下思考：式子可看成一個(gè)平方和的算術(shù)根，那么容易想到基本不等式來(lái)證明。

證明：

左邊=

又>，∴不等式成立。

正在學(xué)生高興地松一口氣之時(shí)，不妨又把結(jié)論中的改成比它較大的數(shù)，那么由于，上述證法又失效。這時(shí)不妨引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想與哪個(gè)知識(shí)相近?？砂l(fā)現(xiàn)“當(dāng)a，b為正實(shí)數(shù)時(shí)，可視為兩條邊長(zhǎng)為a、b且?jiàn)A角為120°的三角形的第三條邊的長(zhǎng)度”，從而可轉(zhuǎn)化為三角形問(wèn)題來(lái)解。

證明：（1）若有一個(gè)等于零，易證不等式成立。

（2）若a、b、c為正實(shí)數(shù)時(shí)，構(gòu)造△ABO，其中，設(shè)|OA|=a，|OB|=b，|OC|=c，∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，

這樣，，，

在△ABO中，由正弦定理：

∵∠ABO+∠BAO=60°

∴sin∠ABO+sin∠BAO=2sin30°·cos（∠ABO-∠BAO）/2≤1

，同理：

|AB|+|BC|+|CA|≥√3（|OA|+|OB|+|OC|）（當(dāng)且僅當(dāng)|OA|=|OB|=|OC|時(shí)成立）又a，b，c不全相等，所以不等式成立。

本例中，通過(guò)不斷地改變結(jié)論，引導(dǎo)學(xué)生思考，大大地提高學(xué)生解題思維的廣闊性。若教師在平時(shí)的教學(xué)中，適當(dāng)?shù)囟噙M(jìn)行變式的訓(xùn)練，我想學(xué)生的思維能力將得到全面發(fā)展。那么，對(duì)學(xué)生解決探索型問(wèn)題時(shí)，必將取得事半功倍的效果。

結(jié)束語(yǔ)

高中數(shù)學(xué)的探索型問(wèn)題應(yīng)力求在基礎(chǔ)中求深度，于尋常中創(chuàng)新意，要讓學(xué)生處于似曾相識(shí)的新情境中，乍看陌生，細(xì)想成竹在胸。

參考文獻(xiàn)

[1].馬忠林《數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論》廣西教育出版社1999年3月