多維關(guān)聯(lián)啟發(fā)，應(yīng)用替換突破

謝永

摘 要：為了能夠最大限度提升高中數(shù)學(xué)不等式的教學(xué)實(shí)效性，本文通過對高中數(shù)學(xué)不等式的教學(xué)案例進(jìn)行分析，充分發(fā)揮多維關(guān)聯(lián)啟發(fā)的作用，讓學(xué)生的思維能夠在應(yīng)用替換的過程中得到突破，有效提升高中學(xué)生的數(shù)學(xué)水平。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);不等式;教學(xué)案例

在高中數(shù)學(xué)不等式的教學(xué)過程中，教師應(yīng)該緊密結(jié)合教學(xué)內(nèi)容選取合理的教學(xué)方法，充分激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)不等式內(nèi)容的興趣，引導(dǎo)學(xué)生打破常規(guī)的教學(xué)思想，全面踐行新課程深化改革的要求，從而達(dá)到強(qiáng)化高中數(shù)學(xué)不等式教學(xué)實(shí)效性的目的。

一、明確課程改革標(biāo)準(zhǔn)，準(zhǔn)確把握三維目標(biāo)

不等式的教學(xué)內(nèi)容是高中數(shù)學(xué)課程教學(xué)中的重要組成部分，所以強(qiáng)化高中數(shù)學(xué)不等式教學(xué)具有重要的意義。其中，因?yàn)椴坏仁浇虒W(xué)中所涉及的證明法具有靈活多變性，需要學(xué)生在掌握的過程中準(zhǔn)確把握相關(guān)的技巧性，所以導(dǎo)致部分學(xué)生在后續(xù)的學(xué)習(xí)過程中無法將掌握的技巧應(yīng)用到解題過程中。為了能夠更好地解決這個(gè)問題，教師便可以在日常的教學(xué)過程中明確課程改革標(biāo)準(zhǔn)，準(zhǔn)確把握三維目標(biāo)，將不等式內(nèi)容所具備的“淡化特殊技巧，強(qiáng)調(diào)通式通法”的特點(diǎn)充分凸顯出來，合理的設(shè)計(jì)一些具有較強(qiáng)技巧性的不等式恒等變性的案例，有效拓展學(xué)生的學(xué)習(xí)思路，促使學(xué)生準(zhǔn)確把握不等式的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，讓學(xué)生明白不等式與我們實(shí)際生活的聯(lián)系，從而為強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)水平奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

二、尊重學(xué)生的主體地位，加強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識

當(dāng)前高中數(shù)學(xué)新課程深化改革背景下積極倡導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)、勇于探索的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力在自主探究的過程中得到提升，有效增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識。因此，在高中數(shù)學(xué)不等式內(nèi)容的教學(xué)過程中，教師應(yīng)該積極轉(zhuǎn)變傳統(tǒng)的教學(xué)方法，充分凸顯出教師“導(dǎo)課”的精準(zhǔn)性，更好地體現(xiàn)出學(xué)生“學(xué)”的顯效性，從而最終實(shí)現(xiàn)教學(xué)相長的目的。同時(shí)，由于高中數(shù)學(xué)既是基礎(chǔ)教育的重要組成部分，又是引導(dǎo)學(xué)生向高等教育學(xué)習(xí)過渡的重要階段，所以課程教學(xué)內(nèi)容在設(shè)置的過程中必須充分展現(xiàn)出教學(xué)內(nèi)容的基礎(chǔ)性和發(fā)展性。例如：在“兩個(gè)正數(shù)的均值不等式”這節(jié)內(nèi)容的教學(xué)過程中，教師可引導(dǎo)學(xué)生采取類比分類的方法進(jìn)行歸納，自主猜想三個(gè)證書的均值不等式和n個(gè)正數(shù)的均值不等式主要表達(dá)的形式是怎么樣的呢？通過采取設(shè)問的方式來引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)投入到數(shù)學(xué)課堂中，充分凸顯出學(xué)生在數(shù)學(xué)不等式課堂學(xué)習(xí)中的主體地位，有效增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識。這種方法在應(yīng)用的過程中不但能夠降低教師的教學(xué)負(fù)擔(dān)，而且還能夠讓學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力得到提升，促使學(xué)生深入感受到數(shù)學(xué)知識點(diǎn)的魅力。尤其是部分在數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)過程中感覺困難的學(xué)生，教師便可以指導(dǎo)他們在數(shù)學(xué)課堂中積極思考：“我能在數(shù)學(xué)課堂中學(xué)習(xí)到所需要的數(shù)學(xué)知識嗎？我的數(shù)學(xué)素養(yǎng)是否能夠通過數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)得到發(fā)展呢？數(shù)學(xué)對于我們的實(shí)際生活是否有價(jià)值呢？”老師在選取教學(xué)內(nèi)容的過程中需盡量為學(xué)生構(gòu)建共同的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，適當(dāng)在課堂教學(xué)中留白，讓學(xué)生能夠根據(jù)自己的實(shí)際情況去選取數(shù)學(xué)知識進(jìn)行探究，為提升學(xué)生的數(shù)學(xué)水平創(chuàng)造良好的條件。

三、指導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真觀察，大膽進(jìn)行假設(shè)

在高中數(shù)學(xué)不等式內(nèi)容的教學(xué)過程中，教師可合理的使用教學(xué)語言來引導(dǎo)學(xué)生表達(dá)情緒，促使學(xué)生將注意力快速集中到數(shù)學(xué)課堂中，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)情緒在釋放時(shí)能夠與教師的教學(xué)內(nèi)容形成共鳴，以此調(diào)動(dòng)起學(xué)生學(xué)習(xí)不等式內(nèi)容的積極性和主動(dòng)性。同時(shí)，教師通過指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行典型例題分析，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真觀察題干所設(shè)計(jì)的條件和問題，讓學(xué)生大膽的進(jìn)行猜測，以便能夠找到不等式內(nèi)容的解答思路。

例如：已知，請學(xué)生們通過證明是否存在。

例題解析：這道例題在解答過程中的難點(diǎn)并不是不等號左側(cè)第三項(xiàng)，可根據(jù)題干的條件，明確了解和均大于0，而第三項(xiàng)大于0.因此，在解答的過程中只需要證明前兩項(xiàng)的和大于第三項(xiàng)絕對值，便能夠得出答案。

因此，可將的證明替換為，并采取通分、化簡、消除分母的形式演變?yōu)樽C明。當(dāng)證明到這一步的時(shí)候，學(xué)生便能夠輕松的開展下面的證明過程。根據(jù)這個(gè)題型的解答過程，能夠清晰地發(fā)現(xiàn)仔細(xì)觀察各項(xiàng)之間的關(guān)系，便能夠在原有不等式較為復(fù)雜的情況下采取簡單化的方式進(jìn)行原本復(fù)雜的論證，并通過結(jié)果替換來進(jìn)行更加容易理解的證明關(guān)系，從而得出解答結(jié)果。

四、立足于基本不等式，指導(dǎo)學(xué)生掌握解答技巧

在當(dāng)前高中數(shù)學(xué)不等式內(nèi)容的教學(xué)過程中，其基本不等式的內(nèi)容較容易出現(xiàn)，這也是當(dāng)前高考中主要涉及的知識，如定義域、值域、面積等。因此，高中學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂的學(xué)習(xí)過程中必須準(zhǔn)確掌握基本不等式的特點(diǎn)，這樣才能夠避免在解題的過程中出現(xiàn)問題。例如：在解答基本不等式，已知實(shí)數(shù)，則的最大值為多少？我們應(yīng)該令得，。

所以

當(dāng)且僅當(dāng)即a=b時(shí)取等號。所以最大值為。

通常學(xué)生在解答上述不等式案例的過程中存在著一定的難度性，其主要原因是這個(gè)練習(xí)題的重要就是讓學(xué)生學(xué)會處理齊次分式的處理方式，以及基本不等式在解決最值問題中對于核心之一“積定和有最小值;和定積有最大值”的理解及構(gòu)造轉(zhuǎn)化。因此，學(xué)生在解答這個(gè)題目的過程中，可通過分析題干中的條件將分母進(jìn)行整體的代換、拆分，從而構(gòu)造出積定的形式求出最大值。其中，整體代換（換元）是這種類型練習(xí)題解答過程中較為常見的方法，一是引導(dǎo)學(xué)生思考齊次分式的結(jié)構(gòu)形式可以進(jìn)行如何的改變，再以此作為基礎(chǔ)實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)形式的變化得到積定的形式;二是設(shè)置目標(biāo)函數(shù)的最值的求解基于基本不等式，讓練習(xí)題的針對性和探索性的特點(diǎn)能夠充分凸顯出來，并在解答的過程中以分式的相關(guān)知識點(diǎn)作為主要的切入口，明確基本不等式在解決最值問題中的基本結(jié)構(gòu)，這樣便能夠非常快速的得出結(jié)果。

五、合理應(yīng)用計(jì)算公式，對應(yīng)采取換元策略

在高中數(shù)學(xué)不等式內(nèi)容的教學(xué)過程中，當(dāng)教師在進(jìn)行上一個(gè)題型的總結(jié)之后，便可以靈活的采取教學(xué)語言來回顧固定的公式，尤其是自變量或者是因變量存在的約束條件的公式，讓已學(xué)內(nèi)容能夠與現(xiàn)學(xué)的內(nèi)容之間建立起一定的關(guān)聯(lián)性。同時(shí)，教師還可以緊密結(jié)合教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生的實(shí)際情況引出經(jīng)典的例題，指導(dǎo)學(xué)生深入分析一些公式存在的相似之處，再進(jìn)行對應(yīng)換元，便能夠幫助學(xué)生更好地掌握這種類型題目的解答方法。

例如：已知有實(shí)數(shù)x，y，存在，如果x+y+m>0這個(gè)不等式恒成立，試求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

針對這個(gè)例題在解析的過程中，學(xué)生可通過題干的條件明確m值的取值范圍，再準(zhǔn)確進(jìn)行x和y的取值范圍，并通過掌握x，y之間的關(guān)系，這樣如果直接進(jìn)行求解的難度性較大。因此，當(dāng)暫時(shí)無法找到對應(yīng)的公式時(shí)，則可以適當(dāng)?shù)貙⑸鲜龅墓竭M(jìn)行變形：

上述的式子在通過變形之后便能夠得出兩個(gè)數(shù)的平方的和等于1，便能夠?qū)⒙?lián)合起來，再設(shè)。這樣便能夠根據(jù)正弦值、余弦值的取值范圍為[-1，1]，從而求出x，y的取值范圍。

本題的解答過程非常明確，即學(xué)生通過對問題進(jìn)行觀察分析，建立靈活的思維方式，再無法從以往公式的關(guān)系中找出對應(yīng)的公式時(shí)，則需要將對應(yīng)的公式進(jìn)行變形。同時(shí)，還需要充分利用公式對變量的約束條件來進(jìn)行題干求解，讓整個(gè)數(shù)學(xué)的求解過程能夠更加的簡化，以此幫助學(xué)生在正確解題的過程中掌握不等式的相關(guān)知識點(diǎn)。

六、巧妙引入不等式求解數(shù)學(xué)思想，增強(qiáng)學(xué)生的解題能力

在高中數(shù)學(xué)課程的教學(xué)過程中，函數(shù)、不等式、數(shù)列、集合都是非常重要的組成部分，而數(shù)學(xué)思想則主要涉及分類討論、函數(shù)和方程思想等內(nèi)容;數(shù)學(xué)方法則主要包括了換元法、歸納法和反證法等內(nèi)容。當(dāng)學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂的學(xué)習(xí)過程中，在初步理解了相關(guān)數(shù)學(xué)知識點(diǎn)之后，再根據(jù)解題的實(shí)際需求選取合理的數(shù)學(xué)思想和方法，這樣便能夠讓學(xué)生更好地解決數(shù)學(xué)問題。

例如：假設(shè)函數(shù)，當(dāng)a>0時(shí)，試求：。

解析：，也就是，計(jì)算得出：，，這時(shí)常數(shù)a>0，便可以將原不等式轉(zhuǎn)變一下形式，得出：

∴當(dāng)0

得出：，當(dāng)a≥1是，其解集為{X|X≥0}

通過對這個(gè)數(shù)學(xué)問題的題干進(jìn)行分析之后，當(dāng)學(xué)生理解了題意時(shí)，便可以根據(jù)解題需要選取合適的數(shù)學(xué)思想和方法，有效提升高中數(shù)學(xué)不等式教學(xué)的實(shí)效性。尤其是現(xiàn)代信息教育技術(shù)快速發(fā)展的背景下，通過立足于不等式求解的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行解答，便能夠有效增強(qiáng)學(xué)生的不等式知識的運(yùn)用能力。

七、采取數(shù)形結(jié)合的方法，拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維

將數(shù)形結(jié)合的方法與傳統(tǒng)課堂教學(xué)方法相比較，更能夠吸引學(xué)生將注意力快速投入到課堂的學(xué)習(xí)過程中，對拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，鍛煉學(xué)生的發(fā)散思維具有重要的意義，能夠?yàn)閷W(xué)生后期學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。其中，當(dāng)學(xué)生在數(shù)學(xué)習(xí)題的解答過程中遇到問題或者是不會解答的題目時(shí)，可直接放棄或者是跳過，再采取數(shù)形結(jié)合的思維來進(jìn)行數(shù)學(xué)問題審視，以便學(xué)生能夠更加準(zhǔn)確的掌握數(shù)學(xué)知識，并在不斷學(xué)習(xí)的過程中逐步建立起完整的數(shù)學(xué)知識體系。

例題：在求解x2-x-2>0（x<0）時(shí)，其一元二次不等式x2-x-2>0（x<0）所對應(yīng)的一元二次方程x2-x-2=0，這樣方程式通過求解，便能夠得出x1=-1、x2=2。其中，一元二次方程式x2-x-2=0所對應(yīng)的二次函數(shù)x2-x-2>0（x<0）的圖象與x軸之間存在著兩個(gè)交點(diǎn)，即P1=（-1，0），P2=（-2，0）。這樣一元二次方程x2-x-2=0的方程根所對應(yīng)的函數(shù)圖像與x軸之間的交點(diǎn)橫坐標(biāo)。這樣在解答的過程中便可以根據(jù)函數(shù)y=x2-x-2的圖，而函數(shù)y=x2-x-2的圖像上的點(diǎn)M（x，y）的性質(zhì)如下：

根據(jù)解答之后，得出不等式x2-x-2>0（x<0）的解集為（）

通過采取數(shù)形結(jié)合的方法，能夠讓學(xué)生更加快速的得出答案，促使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維得到拓展，從而有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

結(jié)束語

在高中數(shù)學(xué)不等式內(nèi)容的教學(xué)過程中，通過指導(dǎo)學(xué)生建立多維度的解題思路，找到準(zhǔn)確、簡便的解答方法，總結(jié)和歸納不等式知識的解題方法和替換技巧，有利于提升高中數(shù)學(xué)不等式的教學(xué)實(shí)效性，有效增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

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