旋轉(zhuǎn)變換助你解題

雷添淇

旋轉(zhuǎn)是數(shù)學(xué)中一類常見的圖形變換，解題中如能巧妙利用旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)換線段、角等的位置，往往可以迅速發(fā)現(xiàn)已知與未知之間的聯(lián)系，快速解題，下面舉例介紹.

一、旋轉(zhuǎn)—腰

例1 如圖1，在△ABC中，AB = AC，點(diǎn)P為三角形內(nèi)一點(diǎn)，且[∠APB<∠APC]，求證：[PB> PC].

分析：待證結(jié)論[PB>PC]與已知條件[∠APB<∠APC]中四個(gè)元素是分散的，不在同一個(gè)三角形或四邊形中，故考慮通過變換將這四個(gè)元素集中.考慮到點(diǎn)[A]為不動(dòng)點(diǎn)，可作為旋轉(zhuǎn)中心，又因?yàn)閇AB=AC]，可將點(diǎn)[C]作為旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)[B]的對(duì)應(yīng)點(diǎn).

證明：如圖2，將△ABP繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△ACP′位置，

則有[AP=AP']，[BP=CP']，[∠APB=∠AP'C].

連接[PP']，

∵[AP=AP']，

∴[∠APP'=∠AP'P].

∵[∠AP'C=∠APB<∠APC]，

∴∠APC-∠APP′>∠AP′C-∠AP′P，

即[∠CPP'>∠CP'P]，

∴[CP'>CP]，

∴[BP>CP].

點(diǎn)評(píng)：若已知條件中出現(xiàn)共頂點(diǎn)的相等線段，則可考慮構(gòu)造旋轉(zhuǎn)變換，將分散的條件進(jìn)行集中.

二、旋轉(zhuǎn)60°

例2 如圖3，已知正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)E到A，B，C三點(diǎn)距離之和的最小值為[6+2]，求正方形邊長(zhǎng).

分析：雖然已知EA，EB，EC和的最小值，但這三條線段交于一點(diǎn)，需要通過圖形變換將這三條線段連接起來，并使之共線.

解：如圖3，將△BEA繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△BE′A'，

則有BE = BE′，∠EBE′ = 60°，EA = E′A′，

連接EE′，A'C.

∵BE = BE′，∠EBE′ = 60°，

∴△BEE′為等邊三角形，∴EE′ = BE.

又∵E′A' = EA，∴EA + EB + EC = A′E′ + E′E + EC.

∵點(diǎn)C，A′均為定點(diǎn)，

∴當(dāng)E，E′都在線段CA′上時(shí)，EA + EB + EC取最小值[6+2].

過點(diǎn)A′作A′F⊥CB，交CB，延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，則∠A′FB = 90°，

由旋轉(zhuǎn)變換可知∠ABA′ = 60°，BA′ = BA，

又∵∠ABF = 90°，∴∠A′BF = 30°.

設(shè)正方形邊長(zhǎng)為a（a > 0），則有FA′ = [12a]，F(xiàn)B = [32a]，

在Rt△A′FC中有A′F2 + FC2 = A′C2，

∵FA′ = [12a]，[FC=] [32a] + [a]，[A'C=6+2]，

∴[12a2+32a+a2=6+22] ，得a = 2.

即正方形邊長(zhǎng)為2.

點(diǎn)評(píng)：通過旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段轉(zhuǎn)移到同一條直線上是解題關(guān)鍵.

三、旋轉(zhuǎn)90°

例3 如圖4，已知正方形ABCD 內(nèi)一點(diǎn) E 到 A，B，C 的距離分別為[2]，1，2，求正方形的邊長(zhǎng).

分析：由上面例題受到啟發(fā)，可知應(yīng)通過旋轉(zhuǎn)變換將EA，EB，EC進(jìn)行集中.

解：如圖4，將△ABE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△BE'C，連接EE′.

則有CE′ =? AE = [2]，BE′ = BE = 1，∠EBE′ = 90°，

∵BE = BE′ = 1，∴EE′ = [2]，∠BEE′ = ∠BE′E = 45°.

∵E′C = EA = [2]，EC = 2，∴E′C2 + E′E2 = EC2，

∴△EE′C為等腰直角三角形，點(diǎn)E′為直角頂點(diǎn)，

∴∠E′EC = 45°，∴∠BEC = 90°，

∴BC = [BE2+EC2=5]，

即正方形邊長(zhǎng)為[5].

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于正方形或等腰直角三角形，常以其頂點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，作90°旋轉(zhuǎn)變換，使其一邊旋轉(zhuǎn)后與另一邊重合，這樣往往可以構(gòu)造出等腰直角三角形.