小學乘法運算的內容進階及教材編寫邏輯

劉加霞

北京教育學院初等教育學院院長，教育心理學博士，教授，教育部國培專家?guī)斐蓡T;提出“把握數(shù)學本質是一切教學法的根”“實證研究學生是有效教學的根本”“培訓實質是改變與創(chuàng)新”等觀點，以及“CARE伙伴式”校本研修模式;在《課程·教材·教法》《中國教育學刊》《中小學管理》《人民教育》《小學數(shù)學教師》《小學教學》等期刊發(fā)表論文百余篇，著作有《小學數(shù)學有效教學》《小學數(shù)學有效學習評價》《小學數(shù)學課堂教學設計》等。

小學階段運算的對象主要是自然數(shù)、分數(shù)與小數(shù)。各版本教材都是先編排自然數(shù)四則運算，不同的是分數(shù)、小數(shù)運算的編排順序：有的先學習分數(shù)運算，再學習小數(shù)運算，有的則反之。內容編排的順序不同，算法及解釋其算理的依據(jù)就不同，乘法運算教學的整體邏輯結構也就不同。

近期，筆者看到關于多位數(shù)乘法、小數(shù)與分數(shù)乘法單元教學的幾個案例，都特別強調“計數(shù)單位及其個數(shù)相乘”這一“原點”，有簡單問題復雜化之嫌。因此，我們有必要追問：作為“高級運算”的乘法，其算法算理的教學應該退回“原點”，還是利用“前階”內容通過推理獲得？小學階段所有乘法運算的內容進階及邏輯結構是什么？“退回原點”追問算理是否符合整套教材的編寫意圖？

一、乘法算理是否要退回到“計數(shù)單位及其個數(shù)相乘”

有教師讓學生以下述方式理解14×12的算法算理：“先拆后合”，即讓學生通過“列表格”（拆分為“10+4”與“10+2”相乘）解釋其乘積是2×4個“1”、2+4個“1×10=10”與1個“10×10=100”的和。這樣理解是否有必要？根據(jù)乘法意義將之拆為“14×2與14×10”是否更清楚？又如，0.2×0.3有必要按“0.2×0.3=2×0.1×3×0.1=2×3×（0.1×0.1）=6×0.01=0.06”的步驟計算嗎？分數(shù)乘法是否有必要這樣計算：[3/5×2/7=][3×1/5×2×1/7=3×2×（1/5×1/7）][=6×1/35][=6/35]。

如此而言，2×3是否也得回歸到“2×3=2×1×3×1=2×3×（1×1）=2×3×1=6”？那么，10×10=100、0.1×0.1=0.01、[1/5×1/7=1/35]等成立的理由又是什么呢？計數(shù)單位與計數(shù)單位相乘產(chǎn)生新計數(shù)單位的“算理”是否更讓人難以理解？

如果按照前述邏輯，教材編排就要先學習計數(shù)單位與計數(shù)單位相乘;為了解釋小數(shù)計數(shù)單位相乘，就要先學習分數(shù)乘法，再學習小數(shù)乘法;解釋“分數(shù)單位乘分數(shù)單位”就需要通過分數(shù)的意義（借助分數(shù)面積模型圖）求得結果。既然如此，我們?yōu)槭裁床恢苯咏柚謹?shù)的意義理解并歸納得到真分數(shù)乘真分數(shù)的計算法則呢？這不禁讓我們思考：哪個知識點作為乘法運算的邏輯起點合適？借助已經(jīng)學過的概念、性質與定律等，通過推理，概括乘法運算法則是否可行？

為此，筆者梳理了小學階段自然數(shù)、分數(shù)與小數(shù)乘法運算的內容進階及其邏輯結構，研究發(fā)現(xiàn)：大多數(shù)教材都沒有退回運算的“原點”，而是以“前階”內容作為教學乘法算法算理的起點。

二、自然數(shù)乘法教材編排順序及對算法算理的處理

運算的學習內容包括運算的現(xiàn)實意義、算法算理以及運算性質、定律等。乘法的現(xiàn)實意義最豐富，有多種現(xiàn)實模型，能解決各類問題，其內容編排順序為：二年級初步認識乘法，包括乘法的等量組聚集模型、實物或點子圖矩形模型;三年級學習乘法的倍數(shù)模型、配對模型以及長方形面積的矩形模型;四年級學習乘法的“速度—時間”模型、“單價—數(shù)量”模型;五、六年級學習乘法的“工效—工時”模型以及正比例關系等。自然數(shù)乘法的內容都安排在二至四年級，其學習進階及邏輯結構基本相同。

階段1：二年級（上）“乘法口訣”。根據(jù)乘法意義探究發(fā)現(xiàn)“口訣”，通過口訣快速得到一位數(shù)乘一位數(shù)的積，其算理強調乘法意義——幾個幾的和，或者理解為以某個因數(shù)為“單位”，強調單位的個數(shù)，而不是回歸到計數(shù)單位“一”“十”的個數(shù)。

階段2：三年級（上）“一位數(shù)乘整十、整百、整千等數(shù)”。根據(jù)乘法意義，通過探究發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得出口算法則——先轉化為乘法口訣，再看因數(shù)中有幾個“0”，積的末尾就添加幾個“0”。有的教材將其安排為1課時內容，有的則與“兩位數(shù)乘一位數(shù)不進位口算”合并作為1課時，但都沒有強調必須學習10×10、100×100等算式。

階段3：三年級（上）多位數(shù)乘一位數(shù)、0乘任何數(shù)。以“兩位數(shù)乘一位數(shù)”的筆算為主，研究其算法算理，然后遷移至多位數(shù)乘一位數(shù)。不同版本教材的處理方式不同：有的只介紹豎式筆算并解釋豎式中每一步的算理;有的則介紹多種算法，例如轉化為加法計算、借助矩形點子圖計算、轉化為乘法口訣和整十數(shù)乘一位數(shù)計算，然后介紹乘法豎式。

階段4：三年級（下）“因數(shù)末尾有0的口算乘法”。有的教材先研究一位數(shù)、兩位數(shù)乘10的口算法則，再探究兩個因數(shù)末尾都有0的乘法口算法則;有的教材通過探究幾組“有特點”的乘法算式的規(guī)律，發(fā)現(xiàn)因數(shù)末尾有0的乘法口算法則。例如，計算3×2、3×20、30×20;12×4、12×40、120×40。所有版本教材都沒有特別處理自然數(shù)計數(shù)單位乘計數(shù)單位的口算。

階段5：三年級（下）“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”。這個內容是筆算乘法的關鍵，不同版本教材的編寫差異較大。有的教材直接介紹豎式算法，能夠借助數(shù)的意義以及整十數(shù)乘兩位數(shù)理解“第二個部分積”的算理即可。而有的教材與學習兩位數(shù)乘一位數(shù)一樣，介紹多種算法，并把“表格法”作為新知識學習。筆者更贊同前者的處理。要求學生將直觀點子圖、表格法以及豎式的每一步計算之間都建立相應聯(lián)系的做法超出了課程標準的要求。

階段6：四年級“三位數(shù)乘兩位數(shù)”。課程標準只要求“能計算三位數(shù)乘兩位數(shù)”，不要求計算其他更多位數(shù)的乘法。

可以看出，第1階段、第2階段是基礎，第3階段、第4階段是關鍵，前4個階段內容構成了乘法計算的核心，其他多位數(shù)相乘都是根據(jù)數(shù)的意義（組成與分解）以及乘法分配律轉化為這4項內容。因此乘法計算的根本是口訣，該口算的口算，該筆算的筆算，能借助“前階”內容解釋“后階”的算理即可，不需要也不適合追根到“計數(shù)單位及其個數(shù)相乘”。

三、分數(shù)、小數(shù)乘法教材編排順序及對算法算理的處理

不同版本教材對于分數(shù)、小數(shù)乘法的編排順序（學習進階）不同。大陸各版本教材都是先學習小數(shù)乘法、再學習分數(shù)乘法，而臺灣的翰林版、南一版教材則是先學習分數(shù)乘法、再學習小數(shù)乘法。臺灣教材解釋小數(shù)乘法的算法與算理是將小數(shù)乘法轉化為分數(shù)乘法。

所有版本教材中分數(shù)乘法的內容進階及其算法算理都相同：先學習“分數(shù)乘整數(shù)”（緊扣乘法意義、分數(shù)意義得到計算結果并歸納計算法則），再學習“分數(shù)乘分數(shù)”（根據(jù)分數(shù)意義，借助分數(shù)的“面積模型”得到分數(shù)乘分數(shù)的結果，并歸納計算法則）。沒有任何版本教材用上文第一部分提到的方法計算分數(shù)乘分數(shù)。

不同版本教材對小數(shù)乘法算法算理的內容編排不完全相同，下面具體分析。

1.大陸教材小數(shù)乘法的內容編排及算法算理

人教版、北師大版、河北版等大多數(shù)教材都是按照小數(shù)乘整數(shù)、小數(shù)乘小數(shù)的順序編排，其算法與算理也基本相同：①依據(jù)小數(shù)的現(xiàn)實意義將其轉化為自然數(shù)（例如2.5元=25角），按照自然數(shù)乘法法則求積，再根據(jù)現(xiàn)實意義確定積的小數(shù)位數(shù);②通過將小數(shù)乘10、100等轉化為自然數(shù)，按照自然數(shù)乘法法則求積，再根據(jù)“積的變化規(guī)律”確定積的小數(shù)位數(shù)。在此基礎上，歸納得到小數(shù)乘法法則：轉化為自然數(shù)乘法進行計算后，再確定積的小數(shù)位數(shù)。

蘇教版教材對于小數(shù)乘整數(shù)的處理方式略有不同，緊扣小數(shù)意義計算，例如2.35×3（列豎式計算）是235個0.01乘3，積是705個0.01，就是7.05。這與臺灣教材對算法算理的處理相同。

2.臺灣翰林版小數(shù)乘法的內容編排及算法算理

臺灣翰林版教材仍然區(qū)分乘數(shù)、被乘數(shù)，因而小數(shù)乘法的編排較為“復雜”，其內容進階分三個階段。一是小數(shù)乘整數(shù)。四年級下學期學習一位小數(shù)、兩位小數(shù)乘整數(shù)，五年級下學期學習三位小數(shù)乘整數(shù)。二是整數(shù)乘小數(shù)。五年級下學期學習整數(shù)乘一位、兩位小數(shù)。三是小數(shù)乘小數(shù)。在五年級下學期學習，分為一位小數(shù)乘一位小數(shù)、兩位小數(shù)乘一位小數(shù)、兩位小數(shù)乘兩位小數(shù)。

小數(shù)乘整數(shù)的算法算理是乘法的倍數(shù)含義和小數(shù)含義，如圖1某例題所示。四年級沒有總結小數(shù)乘整數(shù)的計算規(guī)律和法則，五年級下學期通過對比35×5和35×0.5的豎式計算過程總結：“整數(shù)乘以小數(shù)和整數(shù)乘法的算法很像，但要注意積的小數(shù)位數(shù)和乘數(shù)的小數(shù)位數(shù)相同?！?/p>

為了探究、歸納小數(shù)乘小數(shù)的運算法則，這版教材一共編排了6道例題和9道習題。無論幾位小數(shù)相乘其算法算理都一樣：首先轉化為分數(shù)乘法計算得出結果，探究發(fā)現(xiàn)計算規(guī)律與法則，再通過練習驗證與鞏固計算法則。例如，教材引導學生將0.1×0.1、1.2×0.7分別轉化成分母為十、百的分數(shù)乘分數(shù)計算后，讓學生觀察0.1×0.1=0.01和1.2×0.7=0.84兩個算式，探究兩個因數(shù)的小數(shù)位數(shù)與積的小數(shù)位數(shù)之間的關系（相同），再做3道類似的豎式計算題來檢驗和鞏固這個發(fā)現(xiàn)。

3.對不同版本教材小數(shù)乘法編排邏輯的總結

小數(shù)乘整數(shù)、小數(shù)乘小數(shù)的算法算理主要有三類：根據(jù)小數(shù)的現(xiàn)實含義及乘法意義將小數(shù)乘法轉化為整數(shù)乘法，再根據(jù)積的現(xiàn)實意義確定小數(shù)點的位置;根據(jù)小數(shù)意義及乘法意義將小數(shù)乘法轉化為自然數(shù)乘法，再根據(jù)積的大小確定小數(shù)點的位置;利用“積的變化規(guī)律”將小數(shù)乘法轉化為自然數(shù)乘法，再將積縮小相應倍數(shù)確定小數(shù)點的位置。

筆者所查閱的各版本教材，只有臺灣南一版教材在解釋小數(shù)乘小數(shù)算理時用到如“0.2×0.3=2×0.1×3×0.1=2×3×（0.1×0.1）=6×0.01=0.06”這樣的方法，如圖2所示。

筆者認為，教材內容的整體編排順序決定著我們如何解釋算理。該教材在豎式中用小數(shù)意義、小數(shù)計數(shù)單位乘小數(shù)計數(shù)單位來解釋算理，學生很難理解。大陸各版本教材基本都是先學習“積的變化規(guī)律”，將小數(shù)乘法轉化為自然數(shù)乘法再計算，學生對此比較容易理解。

既然乘除法是比加減法“更高級”的運算，我們就可以運用已經(jīng)學過的數(shù)概念、運算性質和定律等，通過推理得出計算法則。是否“退回原點”解釋道理、解決問題，我們應該辯證地看待。

責任編輯? 劉佳