魅力無窮的趙爽“弦圖”

高順華

[真題呈現(xiàn)]

例1（2020·湖南·婁底）由4個直角邊長分別為a，b的直角三角形圍成的趙爽“弦圖”如圖1所示，該圖根據(jù)大正方形的面積c2等于小正方形的面積（a - b）2與4個直角三角形的面積2ab的和證明了勾股定理a2 + b2 = c2，還可以用來證明結(jié)論：若a > 0，b > 0且a2 + b2為定值，則當a b時，ab取得最大值.

[追根溯源]

例2（八年級上冊第5頁“做一做”）為了計算圖2中大正方形的面積，小明對這個大正方形適當割補后得到圖3和圖4.（1）將所有三角形和正方形的面積用a，b，c的關(guān)系式表示出來;（2）圖3、圖4中正方形ABCD的面積分別是多少？你們有哪些表示方式？與同伴交流.（3）你能分別利用圖3、圖4驗證勾股定理嗎？（解答過程略）

[破解策略]

例1首先介紹了用趙爽“弦圖”來證明勾股定理的思路，然后提出了新問題：若a > 0，b > 0且a2 + b2為定值，問當a，b之間有什么樣的數(shù)量關(guān)系時，ab取得最大值.

由于a2 + b2為定值，我們不妨設(shè)a2 + b2為k，則c2 = a2 + b2 = k. 由趙爽“弦圖”可知，2ab = c2 - （a - b）2 = k - （a - b）2，即ab = [k-（a-b）22]. 很明顯，當a = b時，（a - b）2取最小值0，因此當a = b時，ab取得最大值，最大值為[k2]. 故應(yīng)填“ = ”.

由上可見，對于最大（?。┲档膯栴}，我們常常將其轉(zhuǎn)化為兩個數(shù)差的平方，再借助于完全平方數(shù)的非負性來處理.這里是利用代數(shù)方法來解決幾何問題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.

[原題延伸]

變式1：將趙爽“弦圖”的四個直角三角形重新擺放

例3 2002年8月，在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會會標取材于我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的《勾股圓方圖》，它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形（如圖5），且大正方形的面積是15，小正方形的面積是3，直角三角形的較短直角邊為a，較長直角邊為b. 如果將四個全等的直角三角形按如圖6的形式擺放，那么圖6中最大的正方形的面積為_________.

解析：如圖5，a2 + b2=15，（b - a）2=3，

∴15 - 2ab=3，即2ab=12;

如圖6，大正方形面積為（a + b）2，∴（a + b）2=a2 + 2ab + b2=27.

故應(yīng)填27.

變式2：將趙爽“弦圖”中直角三角形的斜邊部分隱藏

例4 用四塊大正方形地磚和一塊小正方形地磚拼成如圖7所示的實線圖案，每塊大正方形地磚面積為a，小正方形地磚面積為b，依次連接四塊大正方形地磚的中心得到正方形ABCD，則正方形ABCD的面積為_________.（用含a，b的代數(shù)式表示）

解析：聯(lián)想并補全趙爽“弦圖”，如圖8，正方形ABCD由四個直角三角形和一個小正方形組成，四個直角三角形的面積和等于大正方形的面積a，由此可知正方形ABCD的面積=a + b. 故應(yīng)填a + b.

變式3：將趙爽“弦圖”中的直角三角形加倍來構(gòu)圖

例5 我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”（如圖9），圖10由弦圖變化得到，它由八個全等的直角三角形拼接而成. 記圖中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面積分別為S1，S2，S3. 若正方形EFGH的邊長為2，求S1 + S2 + S3.

解析：設(shè)AH = a，HD = b，且a>b>0，則AD = a + b.

由題意可知AE = HT = HD = b，HM = HA = a，∴TM = HM - HT = a - b.

∵∠A = 90°，∴EH2 = AH2 + AE2 = a2 + b2 = 22 = 4，

∴S1 + S2 + S3 = AD2 + EH2 + TM2 =? （a + b）2 + （a2 + b2） + （a - b）2 = 3（a2 + b2） = 3 × 4 = 12.

同類演練

“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲. 如圖5所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形. 設(shè)直角三角形較短直角邊長為a，較長直角邊長為b，若（a + b）2 = 21，大正方形的面積為13，則小正方形的面積為_________.

答案：5