基于積分型模糊Lyapunov函數(shù)的T-S模糊系統(tǒng)H∞控制

王 東

（渤海大學(xué) 實(shí)驗(yàn)中心，遼寧 錦州121013）

0 引言

眾所周知，在實(shí)際工業(yè)過(guò)程中，絕大多數(shù)系統(tǒng)都是非線(xiàn)性的.因此，有關(guān)于非線(xiàn)性系統(tǒng)的研究一直是控制領(lǐng)域的熱點(diǎn)、重點(diǎn)以及難點(diǎn)．T-S模糊模型方法作為處理復(fù)雜非線(xiàn)性系統(tǒng)建模與控制問(wèn)題的有效手段之一，受到了控制領(lǐng)域國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注.文獻(xiàn)［1-4］基于傳統(tǒng)的二次型Lyapunov函數(shù)研究了T-S模糊系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析與控制綜合問(wèn)題.為了克服傳統(tǒng)的二次型Lyapunov函數(shù)帶來(lái)的保守性，文獻(xiàn)［5-8］基于模糊Lyapunov函數(shù)研究了T-S模糊系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析與控制綜合問(wèn)題.文獻(xiàn)［9］提出了一種新的積分型模糊Lyapunov函數(shù)，有效地避免了在連續(xù)T-S模糊系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析條件中出現(xiàn)隸屬度函數(shù)的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，大大簡(jiǎn)化相應(yīng)的分析過(guò)程.基于積分型模糊Lyapunov函數(shù)，文獻(xiàn)［10-17］分別考慮了不同情形下模糊系統(tǒng)的控制問(wèn)題.

考慮到現(xiàn)有利用積分型模糊Lyapunov函數(shù)研究T-S模糊系統(tǒng)H∞控制問(wèn)題的結(jié)果較少.本文將基于積分型模糊Lyapunov函數(shù)進(jìn)一步利用線(xiàn)性矩陣不等式技術(shù)研究連續(xù)T-S模糊系統(tǒng)的H∞狀態(tài)反饋控制器設(shè)計(jì)問(wèn)題.本文的主要貢獻(xiàn)在于通過(guò)增加松弛矩陣變量和積分型模糊Lyapunov函數(shù)，以線(xiàn)性矩陣不等式的形式給出了兩個(gè)充分設(shè)計(jì)條件，有效地解決了連續(xù)T-S模糊系統(tǒng)H∞狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計(jì)問(wèn)題.

1 問(wèn)題描述

考慮如下連續(xù)T-S模糊系統(tǒng)：

其中，x(t)∈Rn是狀態(tài)變量，u(t)∈Rm是控制輸入變量，ω(t)∈Rl是擾動(dòng)變量且能量有界，z(t)∈Rp是被控輸出變量，ξ(t)=[ ]ξ1(t)，ξ2(t)，…，ξp(t)，ξd(t)，d=1，2，…，p為前提變量；Mdi(d=1，2，…，p，i=1，2，…，r)為模糊集，并且r表示模糊規(guī)則數(shù)；Ai，Bi，Ci，Di，Ei是適當(dāng)維數(shù)的系統(tǒng)矩陣.hi(ξ(k))=是前提變量ξd(k)相對(duì)于模糊集合Mdi的隸屬度且滿(mǎn)足hi(ξ(k))≥

那么根據(jù)上述的闡述，系統(tǒng)（1）可以重新寫(xiě)為：

其中Λ(h)=hi(ξ(k))Λi，Λ=A，B，C，D，E.

考慮如下?tīng)顟B(tài)反饋模糊控制器，

由式（2）和式（3）可以得到如下的閉環(huán)控制系統(tǒng)：

至此，本文的目的可闡述為對(duì)于已經(jīng)給出的H∞性能指標(biāo)γ>0，設(shè)計(jì)（3）所示的模糊狀態(tài)反饋控制器使得以下兩個(gè)條件成立：

（1）當(dāng)ω(t)=0時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)（4）是漸近穩(wěn)定的；

（2）閉環(huán)系統(tǒng)（4）具有給定的H∞性能指標(biāo)γ，即在x(0)=0的條件下，對(duì)于任意的非零ω(t)，均能夠使被控輸出滿(mǎn)足

下面引理將會(huì)在后面的推導(dǎo)中用到.

引理1：文獻(xiàn)［4］的兩個(gè)結(jié)論是等價(jià)的.

（1）存在P>0滿(mǎn)足T+ATP+PA<0

（2）存在P>0，L和H滿(mǎn)足

引理2：文獻(xiàn)［10］假設(shè)Q是任意給定的正定矩陣，下面的兩個(gè)陳述是等價(jià)的.

（1）Φ+Γ+ΓT<0

2 主要結(jié)果

本節(jié)將分別依據(jù)引理1和引理2給出T-S模糊系統(tǒng)H∞控制器的存在條件和設(shè)計(jì)方法.

定理1：考慮閉環(huán)系統(tǒng)（4），其能夠在存在外部擾動(dòng)信號(hào)的情況下漸近穩(wěn)定并且滿(mǎn)足給定的H∞性能指標(biāo)γ>0，如果存在矩陣Nk>0，Ψ和使得下述線(xiàn)性矩陣不等式成立：

證明：考慮積分型模糊Lyapunov函數(shù)［9-10］，則其沿著系統(tǒng)的微分有

如果上面的式（6）小于0，即可根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定理論得出閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的且具有給定的H∞性能指標(biāo)γ>0.那么對(duì)于任意的只需要滿(mǎn)足

對(duì)上式應(yīng)用引理1則式（7）成立，如果存在矩陣G滿(mǎn)足

對(duì)上式應(yīng)用Schur補(bǔ)引理，可以得到

（3）煉化產(chǎn)業(yè)產(chǎn)能過(guò)剩存在地區(qū)不平衡。整體來(lái)看煉化產(chǎn)業(yè)已經(jīng)產(chǎn)能過(guò)剩，但從地區(qū)來(lái)看，在有些地區(qū)產(chǎn)能?chē)?yán)重過(guò)剩的情況下，部分地區(qū)的產(chǎn)能利用率在90%以上，存在產(chǎn)能不足，一定程度上反映煉化企業(yè)存在地區(qū)分布不均衡，產(chǎn)能過(guò)剩嚴(yán)重的地區(qū)集中在中國(guó)東部和西部，而中部整體過(guò)剩并不明顯。

類(lèi)似于定理1的推導(dǎo)過(guò)程，可以使用引理2得到如下的模糊控制器設(shè)計(jì)條件.

定理2：考慮閉環(huán)系統(tǒng)（4），其能夠在存在外部擾動(dòng)信號(hào)的情況下漸近穩(wěn)定并且滿(mǎn)足給定的H∞性能指標(biāo)γ>0，如果存在矩陣Nk>0，X1，W2，J1，J2和K?j使得下述線(xiàn)性矩陣不等式成立：

證明：類(lèi)似于定理1，可知閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的且具有給定的H∞性能指標(biāo)γ>0，如果不等式（7）成立.對(duì)不等式（7）應(yīng)用引理2，則式（7）成立，如果存在矩陣W和J滿(mǎn)足

對(duì)不等式（13）執(zhí)行同余變換，即左右分別乘以diag{I，I，P-1k，I，I}及其轉(zhuǎn)置，再通過(guò)運(yùn)用Schur補(bǔ)引理，可以得到

對(duì)不等式（14）執(zhí)行同余變換，即左右分別乘以diag{W-11，I，I，I，I，I}及其轉(zhuǎn)置，并結(jié)合可以得到

3 數(shù)值算例

為證明定理1的有效性，我們考慮形如（1）的連續(xù)T-S模糊模型，其相應(yīng)系統(tǒng)參數(shù)如下：選取隸屬度函數(shù)為h1(ξ(t))=1(1+exp(x1+0.5))，h2(ξ(t))=1-h1(ξ(t)).

運(yùn)用本文給出的定理1，通過(guò)MATLAB軟件的線(xiàn)性矩陣不等式（LMI）工具箱，得到控制器參數(shù)如下：

此時(shí)，控制性能指標(biāo)可優(yōu)化到的最小值為γmin=2.9481.

為證明定理2的有效性，我們考慮形如（1）的連續(xù)T-S模糊模型，其相應(yīng)系統(tǒng)參數(shù)如下：

選取隸屬度函數(shù)為h1(ξ(t))=1-1(1+exp(-3(x1-π2)))，h2(ξ(t))=1-h1(ξ(t)).

運(yùn)用本文提出的定理2，通過(guò)MATLAB軟件的線(xiàn)性矩陣不等式（LMI）工具箱，得到控制器參數(shù)如下：此時(shí)，控制性能指標(biāo)可優(yōu)化到的最小值為γmin=2.2193.

從仿真結(jié)果就能看出，本文提出的兩種方法都可以實(shí)現(xiàn)連續(xù)T-S模糊系統(tǒng)的H∞狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計(jì)，證明了所提出方法的有效性.

4 結(jié)論

本文基于積分型模糊Lyapunov函數(shù)研究了連續(xù)T-S模糊系統(tǒng)的H∞狀態(tài)反饋控制器設(shè)計(jì)問(wèn)題.通過(guò)兩個(gè)不同的矩陣不等式變換技術(shù)引入松弛變量，以線(xiàn)性矩陣不等式的形式給出了兩個(gè)H∞狀態(tài)反饋控制器存在的充分條件.該設(shè)計(jì)方法采用積分型模糊Lyapunov函數(shù)，有效地解決了以往在運(yùn)用模糊Lyapunov函數(shù)時(shí)產(chǎn)生的隸屬度函數(shù)導(dǎo)數(shù)項(xiàng).仿真結(jié)果表明，所提出的方法是可行且有效的.