應(yīng)用逆向思維創(chuàng)新中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的可行性分析

鄧國軍

摘 要：逆向思維是一種創(chuàng)造性思維，是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中表現(xiàn)出的創(chuàng)新能力，運(yùn)用逆向思維可以解答很多運(yùn)用正向思維無法解答的問題。因此，在中學(xué)數(shù)學(xué)課堂中，教師應(yīng)運(yùn)用逆向思維教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)逆向思維，指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用逆向思維解答數(shù)學(xué)問題。教師要在基礎(chǔ)教學(xué)中滲透逆向思維，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用逆向思維的興趣，使學(xué)生能夠運(yùn)用逆向思維解決多樣化問題。教師可以幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念的反問題、運(yùn)算定律的逆運(yùn)用、不等式、轉(zhuǎn)化分式方程以及逆否命題等數(shù)學(xué)概念，總結(jié)反證法與間接法等數(shù)學(xué)思想方法。教師在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，通過落實(shí)以上逆向思維的應(yīng)用，指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)具體情況，靈活運(yùn)用逆向思維分析和解答各類數(shù)學(xué)問題，能夠更好地培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維。

關(guān)鍵詞：逆向思維;高中數(shù)學(xué);基礎(chǔ)概念

中圖分類號(hào)：G633.6?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A?文章編號(hào)：2095-624X（2021）31-0057-02

與初中數(shù)學(xué)相比，高中數(shù)學(xué)無論是在難度上，還是數(shù)量上，都有了較大幅度的提升，對(duì)學(xué)生的認(rèn)知能力、思維能力和學(xué)習(xí)能力等提出了更高的要求。學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)很多數(shù)學(xué)題目無法通過正向思維解答，需要運(yùn)用逆向思維進(jìn)行分析與解決。根據(jù)哲學(xué)原理，事物都有正反兩面，很多時(shí)候解決問題無法從正面著手，這時(shí)候變換角度，從側(cè)面或者反面著手，往往能夠得到意想不到的效果。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)明確培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)逆向思維的重要意義，根據(jù)數(shù)學(xué)逆向思維的概念，結(jié)合具體的數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容與題目類型，指導(dǎo)學(xué)生如何應(yīng)用逆向思維解決數(shù)學(xué)問題，逐步引導(dǎo)學(xué)生形成數(shù)學(xué)逆向思維，提升學(xué)生的解題能力。

一、培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用逆向思維的興趣

興趣是促進(jìn)個(gè)人思考與學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，教師要在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)逆向思維，先應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用逆向思維的興趣[1]。教師可以根據(jù)數(shù)學(xué)課程的主題與主要內(nèi)容，引入一些經(jīng)典的例題，或者運(yùn)用生活化的事例，讓學(xué)生初步認(rèn)識(shí)逆向思維的概念和重要作用，再通過示范解答，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到運(yùn)用逆向思維解答問題的優(yōu)勢(shì)，以此為基礎(chǔ)在學(xué)生腦海中初步構(gòu)建逆向思維，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用逆向思維解題的興趣。

例如，這里有三個(gè)等式成立：①x-y=z;②2x2-2x+z=0;

③2y2-2y+z=0，求z的值。對(duì)于這道題目，教師可以先讓學(xué)生利用所學(xué)知識(shí)，根據(jù)題目試著自行解答。很多學(xué)生無法正確解答，或者用時(shí)比較長，主要是因?yàn)閷W(xué)生如果運(yùn)用正向思維解題，一般會(huì)用消元法求值，有三個(gè)未知數(shù)與三個(gè)等式，理論上能求出數(shù)值，但是由于未知數(shù)較多，運(yùn)用消元法求值過程十分煩瑣，學(xué)生很可能出錯(cuò)。因此，教師可以指導(dǎo)學(xué)生試著運(yùn)用逆向思維分析和解答問題：可以看出題目中的等式②與等式③除未知數(shù)不一，其余項(xiàng)目一致，通過逆向運(yùn)用一元二次方程定義，可將x與y看做二元一次方程2a2-2a+b=0的兩個(gè)解，結(jié)合韋達(dá)定理可以得出x+y=1，xy=z/2，再根據(jù)①式，以及（x-y）2=（x+y）2-4xy，代入相關(guān)數(shù)值，得到簡單的一元二次方程z2=1-2z，得出z=-1±2。教師通過演示講解，能讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到逆向運(yùn)用定義可以簡化求解過程并提高解題效率，能促進(jìn)學(xué)生運(yùn)用逆向思維解題。

二、在基礎(chǔ)規(guī)則教學(xué)中滲透逆向思維

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，為了提升逆向思維的教學(xué)效果，引導(dǎo)與促進(jìn)學(xué)生運(yùn)用逆向思維解答各類問題，教師還需要在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教學(xué)中滲透逆向思維[2]。高中數(shù)學(xué)知識(shí)中包含非常多的可逆定理、可逆法則等，教師充分利用這些資源，可以讓學(xué)生融會(huì)貫通各類知識(shí)，在逆向思維的引導(dǎo)下更好地解答各類問題。

例如，反證法是高中數(shù)學(xué)中常用的數(shù)學(xué)證明方法，一般是先否定命題的結(jié)論，將命題結(jié)論的否定假設(shè)為已知條件，之后通過正確而規(guī)范的邏輯推理，得出的結(jié)果與已知條件、數(shù)學(xué)公理法則相矛盾，如果出現(xiàn)類似的矛盾，則說明假設(shè)不成立，所以可以從反方向證明命題。教師可以先為學(xué)生講解反證法的運(yùn)用步驟：一是反設(shè)，是根據(jù)命題的結(jié)論做出相反假設(shè);二是歸謬，將上步的假設(shè)當(dāng)作條件，運(yùn)用正確而規(guī)范的邏輯推理，得出矛盾的結(jié)論;三是結(jié)論，說明假設(shè)不成立，得出原命題成立。通過運(yùn)用反證法，學(xué)生可以快速解答選擇題與判斷題，也可以解決應(yīng)用題。最后，教師可以出一些題目讓學(xué)生試著運(yùn)用逆向思維解答，比如，有實(shí)數(shù)a，a≠0且a≠1，函數(shù)y=（x-1）/（ax-1），x∈R且x≠1/a，請(qǐng)證明過此函數(shù)圖像任意兩個(gè)不同點(diǎn)的直線不平行于x軸。對(duì)于這個(gè)題目，學(xué)生運(yùn)用逆向思維，便可以先反設(shè)，即假設(shè)過此函數(shù)圖像任意兩個(gè)不同點(diǎn)的直線平行于x軸，之后根據(jù)平行的結(jié)論開展邏輯推理，推理出與數(shù)學(xué)公理或者是已知條件的矛盾之處，從而得出正確的結(jié)論。學(xué)生運(yùn)用逆向思維解答問題，可以簡單而快速地證明數(shù)學(xué)題目，提升解題的效率。

三、應(yīng)用逆向思維解決多樣化問題

通過以上分析我們可以明確，數(shù)學(xué)逆向思維的作用巨大，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生思維能力，提升學(xué)生的解題能力等具有重要的意義。為了讓學(xué)生更好地鞏固逆向思維，教師還可以根據(jù)高中數(shù)學(xué)知識(shí)，為學(xué)生提出多樣化問題，指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行鞏固練習(xí)[3]。

（一）數(shù)學(xué)概念的反問題

在高中數(shù)學(xué)中運(yùn)用逆向思維解決多樣化問題，先要解決與數(shù)學(xué)概念相關(guān)的反問題。如偶函數(shù)：若對(duì)于定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f（-x）=f（x），那么f（x）被稱為偶函數(shù)。根據(jù)這個(gè)概念，教師可以出示與偶函數(shù)相關(guān)的題目，讓學(xué)生試著結(jié)合偶函數(shù)的概念進(jìn)行逆運(yùn)用，解答問題：已知函數(shù)f（x）=（m-1）x2-mx+2為偶函數(shù)，請(qǐng)比較f（0.75）和f（a2-a+1）的大小。在學(xué)生自主解答后，教師再進(jìn)行講解。教師還可以出示與指數(shù)函數(shù)相關(guān)的題目，讓學(xué)生繼續(xù)運(yùn)用逆向思維解答：函數(shù)y=（a2-3a+3）ax為指數(shù)函數(shù)，那么a=？ 這道題目學(xué)生需要根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義解答，a2-3a+3=1，a>0且a≠1，因此a=2。

（二）運(yùn)算定律的逆運(yùn)用

高中數(shù)學(xué)包含很多運(yùn)算定律，教師通過教學(xué)生將運(yùn)算定律進(jìn)行逆運(yùn)用，將公式和題目條件進(jìn)行逆運(yùn)用，能夠強(qiáng)化學(xué)生的逆向思維，使學(xué)生可以更好地解答復(fù)雜的問題。比如，教師可以先指導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)對(duì)數(shù)的運(yùn)算定律，然后出示相關(guān)題目，讓學(xué)生利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算定律解答，如求值lg22+lg5lg2+lg5;還可以讓學(xué)生復(fù)習(xí)三角公式的概念，讓學(xué)生逆用三角公式解答相關(guān)題目，比如，將