一元二次方程趣題三則

于志洪

一、卡丹摘石榴問(wèn)題

卡丹是16世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家、醫(yī)生.卡丹對(duì)數(shù)學(xué)有特殊愛(ài)好，曾經(jīng)巧妙地解答了如下一道頗受歐洲人喜愛(ài)的數(shù)學(xué)題：

例1 一群人走進(jìn)果園去摘石榴，第一個(gè)人摘了1個(gè)石榴，第二個(gè)人摘了2個(gè)石榴，第三個(gè)人摘了3個(gè)石榴，以此類推，后進(jìn)果園的人都比他前面的那個(gè)人多摘了1個(gè)石榴，最后這群人剛好把果園的石榴全部摘完，如果平均分配，每個(gè)人可以分到6個(gè)石榴.共有多少個(gè)人去摘石榴？

解：設(shè)這群人共有[x]人，則有1 + 2 + 3 + … + [x] = [6x]. 根據(jù)高斯求和方法：1 + 2 + 3 +? … + [100=12×100×（100+1）]，知1 + 2 + 3 + … + [x] = [12x]（[x+1]），則原方程可變形為[12x]（x + 1）[=6x]，整理得[x2-11x=0]，故[x]（x - 11） = 0，解得[x1=0]，[x2=11]. 很明顯[x1=0]不合題意，應(yīng)舍去.

答：共有11個(gè)人去摘石榴.

二、卡丹幾何求根問(wèn)題

卡丹只要稍有閑暇便從事數(shù)學(xué)研究，他對(duì)方程的解法尤其感興趣.

除了用求根公式解一元二次方程外，他研究了用幾何方法求根. 請(qǐng)看他的例子和解法.

例2 試用幾何方法給出方程[x2+6x-91=0]的正根.

解：由圖中正方形和矩形面積關(guān)系可得：

[x2+2×3×x+3×3=x2+6x+9=（x+3）2].

由已知可得[x2+6x=91]，所以（[x+3]）2 [=100]，兩邊開(kāi)平方，得[x+3=±10].

解得[x=7]或[x=-13]（不合題意，舍去）.

他的解法巧妙、別致、新穎，令人贊嘆.

三、《三國(guó)演義》中周瑜的年壽

羅貫中的小說(shuō)《三國(guó)演義》中的周瑜人稱周郎，不僅才華橫溢，而且一表人才，風(fēng)流倜儻.有一年的中考數(shù)學(xué)試卷中，命題老師就以周瑜的年齡為題，編了一首數(shù)學(xué)詩(shī).

這道題借用蘇軾的詩(shī)詞《念奴嬌·赤壁懷古》的頭兩句“大江東去浪淘盡，千古風(fēng)流人物”烘托出追憶古人勛業(yè)的意境，強(qiáng)調(diào)對(duì)古文化的閱讀理解，貫通數(shù)學(xué)的應(yīng)用，激發(fā)學(xué)子孜孜以求、報(bào)效國(guó)家的志氣，確實(shí)是一道融文、史、數(shù)的跨學(xué)科綜合創(chuàng)新試題. 現(xiàn)介紹如下：

例3 讀詩(shī)詞解題，算出周瑜去世時(shí)的年齡.

大江東去浪淘盡，千古風(fēng)流數(shù)人物.而立之年督東吳，英年早逝兩位數(shù).

個(gè)位平方與壽符，十位恰小個(gè)位三.開(kāi)動(dòng)腦筋算一算，多少年華屬周郎？

詩(shī)的大意你一定能理解，“而立之年”是指30歲，就是說(shuō)周瑜在30歲時(shí)當(dāng)上了東吳的大都督，只可惜英年早逝，去世時(shí)的年齡也是一個(gè)兩位數(shù)，其中個(gè)位數(shù)的平方就等于他的年齡，并且十位上的數(shù)比個(gè)位上的數(shù)小3.

解法1：設(shè)周瑜逝世時(shí)的年齡的個(gè)位數(shù)字為x，則十位數(shù)字為x - 3，

故依詩(shī)意得[x2=10（x-3）+x]，即[x2-11x+30=0]，解得[x1=5]，[x2=6.]

當(dāng)x = 5時(shí)，周瑜的年齡為25歲，不到而立之年，不合題意，舍去;當(dāng)x = 6時(shí)，周瑜的年齡為36歲，符合題意.

答：周瑜逝世時(shí)的年齡為36歲.

解法2：設(shè)周瑜逝世時(shí)的年齡的十位數(shù)字為x，則個(gè)位數(shù)字為x + 3，

故依詩(shī)意得[（x+3）2=10x+x+3]，即[x2-5x+6=0]，解得[x1=2]，[x2=3.]當(dāng)x = 2時(shí)，周瑜的年齡為25歲，不到而立之年，不合題意，舍去;當(dāng)x = 3時(shí)，周瑜的年齡為36歲，符合題意.

答：周瑜逝世時(shí)的年齡為36歲.