基于像方誤差的線陣影像幾何定標(biāo)模型分析

李 凱，馮世德*

（1.軍事科學(xué)院系統(tǒng)工程研究院，北京 100071）

衛(wèi)星成像系統(tǒng)精確的幾何參數(shù)是遙感測(cè)繪衛(wèi)星發(fā)揮應(yīng)用價(jià)值、提供高精度地理信息產(chǎn)品的基礎(chǔ)[1]。法國(guó)空間中心利用分布于全球的20多個(gè)檢校場(chǎng)，將SPOT-5衛(wèi)星的幾何參數(shù)分為靜態(tài)參數(shù)和動(dòng)態(tài)參數(shù)分步檢校，實(shí)現(xiàn)了SPOT-5衛(wèi)星的高精度定位[2-3]。IKONOS衛(wèi)星建設(shè)了多處檢校場(chǎng)用于幾何定標(biāo)[4-5]。日本ALOS Prism衛(wèi)星利用地面定標(biāo)場(chǎng)控制點(diǎn)對(duì)線陣CCD進(jìn)行嚴(yán)格內(nèi)定標(biāo)[6-8]。美國(guó)OrbView3影像利用影像匹配得到的密集控制點(diǎn)對(duì)相機(jī)內(nèi)方位元素進(jìn)行標(biāo)定[9]。王建榮[10]等對(duì)我國(guó)天繪一號(hào)衛(wèi)星的內(nèi)外定標(biāo)參數(shù)進(jìn)行了整體標(biāo)定，定標(biāo)后影像無(wú)地面控制平面和高程定位精度分別達(dá)到了10.3 m 和5.7 m。孟偉燦[11]等分別對(duì)天繪衛(wèi)星高分辨率影像外部和內(nèi)部誤差進(jìn)行了補(bǔ)償，補(bǔ)償后影像定位精度均優(yōu)于2 m。

本文首先分析了線陣推掃式相機(jī)中外部和內(nèi)部定標(biāo)參數(shù)對(duì)像點(diǎn)定位誤差的影響；然后設(shè)計(jì)了不同參數(shù)的檢校方法，逐個(gè)解算各定標(biāo)參數(shù)的數(shù)值；最后利用多景影像對(duì)內(nèi)外定標(biāo)參數(shù)解算結(jié)果的可靠性與適用性進(jìn)行驗(yàn)證。

1 線陣影像在軌幾何定標(biāo)模型

根據(jù)參考文獻(xiàn)[12]、[13]，星載TDI CCD推掃式相機(jī)嚴(yán)格幾何模型可表示為：

式中，（X,Y,Z）為CGCS2000坐標(biāo)系下的地面點(diǎn)坐標(biāo)；（XGPS,YGPS,ZGPS）為CGCS2000坐標(biāo)系下的相機(jī)投影中心坐標(biāo)；（x,y,-f）為像點(diǎn)在相機(jī)坐標(biāo)系下的坐標(biāo)；f為相機(jī)主距；（dx,dy,dz）為衛(wèi)星本體坐標(biāo)系下相機(jī)投影中心與GPS相位中心的位置偏移；為相機(jī)在本體坐標(biāo)系中安裝角構(gòu)成的旋轉(zhuǎn)矩陣；為衛(wèi)星本體坐標(biāo)系到CGCS2000坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣；m為比例系數(shù)。

1.1 外定標(biāo)參數(shù)模型

對(duì)外部誤差進(jìn)行補(bǔ)償?shù)姆绞揭话惆▋煞N方式。

1）首先，將式（1）轉(zhuǎn)化為共線條件方程，即

然后，分別對(duì)外方位線元素（X,Y,Z）和角元素（ω,φ,κ）（ai,bi,ci,i=1,2,3為ω,φ,κ的函數(shù)）進(jìn)行建模。

2）引入偏置矩陣Roffset對(duì)外部誤差統(tǒng)一補(bǔ)償，即

式中，ω、φ、κ為X-Y-Z轉(zhuǎn)角系統(tǒng)的3個(gè)旋轉(zhuǎn)角。

3個(gè)旋轉(zhuǎn)角隨時(shí)間變化還存在一階和二階誤差，因此對(duì)3個(gè)旋轉(zhuǎn)角進(jìn)行拓展，則有：

式中，line為線陣影像掃描行號(hào)，代表時(shí)間；ω0、φ0、κ0為角元素常差項(xiàng)；ω1、φ1、κ1為角元素一階項(xiàng)；ω2、φ2、κ2為角元素二階項(xiàng)。

1.2 內(nèi)定標(biāo)參數(shù)模型

根據(jù)相機(jī)內(nèi)部誤差各項(xiàng)參數(shù)的物理含義構(gòu)建線陣影像內(nèi)定標(biāo)模型，即

式中，（Δx0,Δy0）為主點(diǎn)偏移和CCD平移；k1、k2為 鏡頭徑向畸變系數(shù)；P1、P2為鏡頭偏心畸變系數(shù)；θ為CCD線陣旋轉(zhuǎn)角；sy為CCD尺度變化因子；=x?x0；。

由于為常數(shù)，對(duì)式（6）進(jìn)行變換得到：

式中，為各像元沿陣列方向坐標(biāo)，是像元列號(hào)sample 的線性函數(shù)。

此外由于≈0，可建立線陣影像內(nèi)部畸變的指向角模型，即

2 線陣影像像點(diǎn)定位誤差分析

2.1 外定標(biāo)參數(shù)對(duì)像點(diǎn)定位的影響

圖1a中像空系的x軸指向沿軌方向，y軸指向垂軌方向，o為像主點(diǎn)。當(dāng)外定標(biāo)參數(shù)中僅存在繞沿軌方向的旋轉(zhuǎn)角ω時(shí)，線陣初始位置為圖1a中l(wèi)，實(shí)際位置應(yīng)為l'。將圖1a投影至s-yz平面 （圖1b）發(fā)現(xiàn)，ω僅造成像元列坐標(biāo)的變化，變化量為dyω=cosω×y+sinω×f-y≈sinω×f。當(dāng)ω中常差ω0=0、隨行號(hào)（時(shí)間）變化的一階項(xiàng)系數(shù)ω1=10-8時(shí)，可得到各行影像列坐標(biāo)誤差隨行號(hào)變化如圖2中實(shí)線所示；當(dāng)ω中ω0=ω1=0、隨行號(hào)（時(shí)間）變化的二階項(xiàng)系數(shù)ω2=5×10-13時(shí)，可得到各行影像列坐標(biāo)誤差隨行號(hào)變化如圖2中虛線所示。

圖1 外定標(biāo)參數(shù)中僅存在繞x軸旋轉(zhuǎn)角時(shí)的影響

圖2 ω存在一階和二階誤差時(shí)各行影像列坐標(biāo)誤差 隨行號(hào)變化曲線

當(dāng)外定標(biāo)參數(shù)中僅存在繞垂軌方向的旋轉(zhuǎn)角φ時(shí)，線陣初始位置為圖3a中l(wèi)，實(shí)際位置應(yīng)為l'，可以看出，φ僅造成像元行坐標(biāo)的變化，可計(jì)算得到各像元位置行坐標(biāo)變化量為dxφ=sinφ×f-x=sinφ×f。當(dāng)φ為φ0=2'的常差時(shí)，同一行影像上各像元行坐標(biāo)誤差約為1個(gè)像素。

當(dāng)外定標(biāo)參數(shù)中僅存在繞垂直于軌道平面的旋轉(zhuǎn)角κ時(shí)，線陣初始位置為圖3b中l(wèi)，實(shí)際位置應(yīng)為l'，可以看出，κ同時(shí)造成像元行、列坐標(biāo)的變化，可計(jì)算得到各像元位置行坐標(biāo)誤差（沿軌方向）為dxκ= -sinκ×y，列坐標(biāo)誤差（垂軌方向）為dxκ=-cosκ×y-y。由于κ角很小，因此dxκ≈0，可忽略不計(jì)。當(dāng)κ為κ0=0、κ0=2'的常差時(shí)，可得到同一行影像上各像元行誤差隨列號(hào)變化的曲線如圖4a所示；當(dāng)κ中常差κ0=0、κ1=10-8時(shí)，可得到各行影像行中1、6 000、12 000列像元的行坐標(biāo)誤差隨行號(hào)的變化如圖4b中實(shí)線所示；當(dāng)κ中κ0=κ1=0、κ2=5×10-13時(shí)，可得到各行影像中1、 6 000、12 000列像元的行坐標(biāo)誤差隨行號(hào)的變化如 圖4b中虛線所示，可以看出，當(dāng)κ存在一階誤差時(shí)，同一列像點(diǎn)的行坐標(biāo)將隨行號(hào)產(chǎn)生線性誤差，當(dāng)κ存在二階誤差時(shí)，同一列像點(diǎn)的行坐標(biāo)將隨行號(hào)產(chǎn)生非線性誤差。

圖3 外定標(biāo)參數(shù)中僅存在繞y軸或繞z軸旋轉(zhuǎn)角時(shí)的影響

圖4 κ存在常差、一階和二階誤差時(shí)的變化曲線

2.2 內(nèi)定標(biāo)參數(shù)對(duì)像點(diǎn)定位的影響

在式（6）中x≈0，θ很小，因此內(nèi)方位元素誤差在沿軌方向較??；且即使θ較大，其與κ造成的沿軌誤差是一致的，二者具有強(qiáng)相關(guān)性，在外定標(biāo)參數(shù)解算時(shí)該部分誤差已被改正。sy主要導(dǎo)致垂軌方向誤差，ds=sy×y，當(dāng)sy=3e-4時(shí)，可得到線陣各像元列誤差隨列號(hào)的變化（圖5）。

圖5 sy=3e-4時(shí)像元列坐標(biāo)誤差隨列號(hào)變化曲線

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

3.1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為3景天繪一號(hào)線陣傳感器正視影像，其中第一景為定標(biāo)景影像，編號(hào)為123；其余兩景影像編號(hào)為124、129。124號(hào)影像與定標(biāo)景影像相鄰，129號(hào)影像距離定標(biāo)景影像約為300 km。3景影像位于同一軌道，大小均為12 000×12 000像素，成像時(shí)間均為2012-02-21。在定標(biāo)景影像成像范圍內(nèi)，利用Google Earth高分辨率衛(wèi)星圖層采集了30個(gè)控制點(diǎn)。由于數(shù)據(jù)來(lái)源的限制，當(dāng)前尚未獲得高精度的實(shí)測(cè)控制點(diǎn)；但從Google Earth高分辨率衛(wèi)星圖層中采集的控制點(diǎn)具有較高的定位精度，可用于解算幾何定標(biāo)參數(shù)，如ZHANG Y J[14]等利用Google Earth獲取的控制點(diǎn)進(jìn)行幾何定標(biāo)，驗(yàn)證了定標(biāo)結(jié)果的有效性。像點(diǎn)坐標(biāo)為手工測(cè)量，誤差約為0.5～1個(gè)像元，控制點(diǎn)分布如圖6所示。其余兩景影像也采用同樣方法采集了少量控制點(diǎn)。

圖6 控制點(diǎn)在定標(biāo)景影像上的分布

3.2 初始像方誤差分析

本文計(jì)算了各控制點(diǎn)的初始像方誤差。控制點(diǎn)像方沿軌殘差和垂軌殘差隨線陣行坐標(biāo)（掃描時(shí)間）的變化如圖7a、7b所示；控制點(diǎn)像方沿軌殘差和垂軌殘差隨線陣列坐標(biāo)（像元編號(hào)）的變化如圖7c、7d所示。沿軌方向和垂軌方向像點(diǎn)坐標(biāo)的均方根誤差（RMS）如表1所示。

圖7 定標(biāo)景影像初始像方誤差

表1 對(duì)不同參數(shù)檢校后參數(shù)解算值、沿軌方向和垂軌方向的RMS

根據(jù)外定標(biāo)參數(shù)對(duì)像點(diǎn)定位的影響，可得到：

1）圖7a中沿軌方向在起始時(shí)刻約有103個(gè)像素的系統(tǒng)殘差，說(shuō)明外定標(biāo)參數(shù)中存在旋轉(zhuǎn)角φ，且常差φ0約為2'×(-103)=-206'。

2）圖7a中沿軌方向殘差隨行坐標(biāo)變化而變化，說(shuō)明參數(shù)φ存在一階項(xiàng)φ1。

3）圖7b中垂軌方向在起始時(shí)刻約有3個(gè)像素的系統(tǒng)殘差，說(shuō)明存在旋轉(zhuǎn)角ω，且常差ω0約為2'×3=6'。

4）圖7b中垂軌方向殘差隨行坐標(biāo)變化而變化，說(shuō)明參數(shù)ω中存在一階項(xiàng)ω1。

根據(jù)內(nèi)定標(biāo)參數(shù)對(duì)像點(diǎn)定位的影響可知，圖7d中垂軌方向殘差在列坐標(biāo)中間像元附近較小，偏離像元中心越遠(yuǎn)，殘差越大，且殘差異號(hào)，說(shuō)明內(nèi)定標(biāo)參數(shù)存在一階項(xiàng)s1。

3.3 先外后內(nèi)幾何定標(biāo)實(shí)驗(yàn)

3.3.1 外定標(biāo)參數(shù)解算

僅檢校φ0后沿軌殘差隨線陣行坐標(biāo)的變化如圖8a所示。表1中第2行列出了檢校得到的φ0的校正值以及檢校后沿軌方向和垂軌方向的RMS。由圖8a和表1第2行可知，檢校φ0后，沿軌方向RMS精度提升效果非常明顯，解算得到的φ0值與估計(jì)值也非常接近。同時(shí)對(duì)φ0和φ2進(jìn)行檢校，檢校后沿軌方向殘差隨著行坐標(biāo)（掃描時(shí)間）的變化如圖8b所示，此時(shí)沿軌方向殘差隨掃描時(shí)間的變化已不明顯。為了驗(yàn)證外定標(biāo)參數(shù)φ中是否存在二階誤差，同時(shí)對(duì)φ0、φ1和φ2進(jìn)行檢校，檢校后沿軌方向殘差隨著行坐標(biāo)（掃描時(shí)間）的變化如圖8c所示，φ0、φ1、φ2的檢校值和沿軌、垂軌方向RMS列于表1第4行。

圖8 對(duì)φ0、φ1、φ2檢校后重新計(jì)算沿軌殘差 隨線陣行坐標(biāo)的變化

在消除旋轉(zhuǎn)角φ造成的沿軌方向像方誤差后，重新給出像方沿軌殘差隨線陣列坐標(biāo)（像元編號(hào)）的變化，如圖9a所示，可以看出，在列坐標(biāo)中間像元（像元編號(hào)6000）處的沿軌方向誤差較小，距離中心像元越遠(yuǎn)、殘差越大，說(shuō)明外定標(biāo)參數(shù)κ中存在常數(shù)項(xiàng)κ0。本文在對(duì)φ0、φ1、φ2檢校的同時(shí)，分別對(duì)κ0、κ1、κ2進(jìn)行逐個(gè)檢校，檢校結(jié)果列于表1第5～7行，對(duì)應(yīng)的沿軌方向殘差分布如圖9b～9d所示。由表1和圖9可知，單獨(dú)對(duì)κ0檢校時(shí)，圖9b中沿軌方向殘差變化很小，RMS從1.075減小至1.07，改正效果不明顯；對(duì)κ0、κ1檢校后，圖9c中距離中心像元較遠(yuǎn)的沿軌方向殘差變小，整體沿軌殘差隨列均勻分布，RMS也從 1.07減小至0.91，改正效果明顯；對(duì)κ0、κ1、κ2檢校后，圖9d中沿軌方向殘差變化很小，RMS從0.91減小至0.89，說(shuō)明κ2對(duì)像方殘差的影響很小。通過(guò)上述實(shí)驗(yàn)分析發(fā)現(xiàn)，外定標(biāo)參數(shù)κ的檢校中必須包含一階 項(xiàng)κ1，否則難以改正κ角對(duì)像方殘差的影響。另外需要注意的是，由于κ和φ之間的相關(guān)性（均造成沿軌殘差），在檢校κ時(shí)導(dǎo)致φ數(shù)值變化；同時(shí)由于κ0、κ1、κ2之間較強(qiáng)的相關(guān)性，在檢校κ2時(shí)也將導(dǎo)致κ0、κ1變化。

圖9 對(duì)φ、κ0、κ1、κ2分別檢校后沿軌殘差隨線陣列坐標(biāo)的變化

對(duì)φ和κ檢校后，沿軌方向的系統(tǒng)殘差已被消除。φ和κ檢校前后垂軌方向的RMS如表1所示，可以看出，對(duì)φ和κ的檢校均沒(méi)有改變垂軌方向殘差，這也驗(yàn)證了旋轉(zhuǎn)角φ和κ主要影響像元行坐標(biāo)的判斷。此時(shí)，剩余垂軌方向殘差仍如圖7b所示，其中系統(tǒng)殘差主要是由旋轉(zhuǎn)角ω造成的。分別對(duì)ω0、ω1、ω2進(jìn)行檢校，結(jié)果列于表1的第8～10行，可以看出，對(duì)ω角中常數(shù)項(xiàng)ω0和一階項(xiàng)ω1檢校后，垂軌方向RMS明顯減小，說(shuō)明ω角中存在較大的常差和一階項(xiàng)。ω角檢校完成后，垂軌方向殘差減小至1.39個(gè)像素，垂軌殘差隨線陣行坐標(biāo)的變化如圖10a所示，可以看出，對(duì)ω角改正后垂軌方向系統(tǒng)殘差已被消除，垂軌殘差隨掃描行的變化均勻分布；但垂軌殘差的數(shù)值仍較大，這主要是由內(nèi)定標(biāo)參數(shù)誤差造成的。垂軌殘差隨像元列坐標(biāo)的變化如圖10b所示，可以看出，垂軌方向殘差與圖7d非常類似，且隨列坐標(biāo)的變化規(guī)律更加明顯，因此下一步需要求解內(nèi)定標(biāo)參數(shù)標(biāo)定，以消除垂軌系統(tǒng)殘差。

3.3.2 內(nèi)定標(biāo)參數(shù)解算

根據(jù)內(nèi)定標(biāo)參數(shù)對(duì)像點(diǎn)定位的影響、對(duì)圖7d中垂軌方向殘差的分析以及圖10b中垂軌殘差隨像元列坐標(biāo)的變化可知，內(nèi)定標(biāo)參數(shù)中應(yīng)主要包括主點(diǎn)偏移、CCD尺度變化因子以及CCD排列旋轉(zhuǎn)角誤差。因此，本文在對(duì)外定標(biāo)參數(shù)檢校后，首先檢校與這些誤差相關(guān)的參數(shù)，即式（8）中的l0、l1、s0和s1。內(nèi)定標(biāo)參數(shù)解算結(jié)果與沿軌、垂軌RMS列于表2第1行，可以看出，對(duì)主點(diǎn)偏移、CCD尺度變化因子以及CCD排列旋轉(zhuǎn)角誤差標(biāo)定后，沿軌殘差和垂軌殘差均進(jìn)一步減小，其中垂軌方向RMS由1.39減小至0.89，效果明顯。然后，對(duì)式（8）中所有內(nèi)定標(biāo)參數(shù)進(jìn)行檢校，結(jié)果列于表2第2行，可以看出，沿軌方向RMS已不再變化，垂軌方向RMS由0.89減小至0.81，說(shuō)明CCD尺度變化因子是內(nèi)定標(biāo)參數(shù)中影響定位結(jié)果最主要的因素。垂軌殘差隨列坐標(biāo)的變化如圖11所示。對(duì)比 圖11和圖10b可知，內(nèi)定標(biāo)參數(shù)檢校后，垂軌方向殘差明顯減小，且殘差隨像元列坐標(biāo)均勻分布，系統(tǒng)性殘差被消除。

圖10 對(duì)外定標(biāo)參數(shù)改正后垂軌殘差隨線陣行、列坐標(biāo)的變化

圖11 所有內(nèi)、外定標(biāo)參數(shù)檢校后垂軌殘差隨列坐標(biāo)的變化

表2 內(nèi)定標(biāo)參數(shù)檢校后參數(shù)解算值、沿軌方向和垂軌方向的RMS

3.4 定標(biāo)參數(shù)適用性驗(yàn)證

本文利用定標(biāo)景影像和定標(biāo)景軌道上其他影像進(jìn)行定位實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。應(yīng)用定標(biāo)景影像內(nèi)外定標(biāo)參數(shù)前后該景影像檢查點(diǎn)的像方定位結(jié)果如表3所示，可以看出，利用內(nèi)定標(biāo)參數(shù)重新定位后，定標(biāo)景影像垂軌方向殘差明顯減?。焕媒馑愕玫降膬?nèi)外定標(biāo)參數(shù)再次對(duì)檢查點(diǎn)進(jìn)行定位，沿軌和垂軌方向的RMS均減小至1個(gè)像素左右；利用外定標(biāo)參數(shù)重新定位后，沿軌方向和垂軌方向RMS均得到了有效改善，驗(yàn)證了本文定標(biāo)參數(shù)的有效性。

表3 應(yīng)用于定標(biāo)景影像實(shí)驗(yàn)的內(nèi)、外定標(biāo)參數(shù)/像素

將內(nèi)定標(biāo)參數(shù)應(yīng)用于124號(hào)和129號(hào)影像，并利用少量控制點(diǎn)對(duì)外部誤差補(bǔ)償，再進(jìn)行像方定位實(shí)驗(yàn)，定位結(jié)果如表4所示，可以看出，124號(hào)和129號(hào)影像直接定位誤差均較大，且隨著時(shí)間的推移，垂軌方向RMS有變大的趨勢(shì)；利用內(nèi)定標(biāo)參數(shù)重新定位后，這兩景影像垂軌方向RMS均減小了約0.4～0.5個(gè) 像素，說(shuō)明內(nèi)定標(biāo)參數(shù)是有效的，也驗(yàn)證了航天相機(jī)內(nèi)部幾何結(jié)構(gòu)是穩(wěn)定的；利用少量控制點(diǎn)對(duì)兩景影像進(jìn)行外部誤差補(bǔ)償后，取得了與定標(biāo)景影像相當(dāng)?shù)亩ㄎ痪龋f(shuō)明內(nèi)定標(biāo)參數(shù)已基本補(bǔ)償了內(nèi)部 誤差。

表4 應(yīng)用于其他景影像實(shí)驗(yàn)的內(nèi)定標(biāo)參數(shù)/像素

4 結(jié) 語(yǔ)

本文基于像方誤差對(duì)內(nèi)外定標(biāo)參數(shù)進(jìn)行了分析，在此基礎(chǔ)上構(gòu)建并驗(yàn)證了線陣影像定標(biāo)模型。將計(jì)算得到的內(nèi)、外定標(biāo)參數(shù)應(yīng)用于定標(biāo)景影像檢查點(diǎn)取得了較好的定位結(jié)果；將內(nèi)定標(biāo)參數(shù)應(yīng)用于其他景影像時(shí)，達(dá)到了與定標(biāo)景影像相當(dāng)?shù)亩ㄎ痪取ｒ?yàn)證實(shí)驗(yàn)表明，本文采用的定標(biāo)模型可計(jì)算出有效的內(nèi)、外定標(biāo)參數(shù)，同時(shí)驗(yàn)證了航天攝影測(cè)量相機(jī)內(nèi)部幾何結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性。