彌散裂縫模型在盾構(gòu)管片非線性數(shù)值模擬中的適用性分析

謝家沖，王金昌，林志軍，李俊，陳頁開

（1.浙江大學(xué) 建筑工程學(xué)院，浙江 杭州 310058；2.中國電建集團(tuán)華東勘測設(shè)計研究院有限公司，浙江 杭州 311122；3.華南理工大學(xué) 土木與交通學(xué)院，廣東 廣州 510640）

0 引言

盾構(gòu)隧道是由預(yù)制混凝土管片以螺栓與防水墊層連接構(gòu)成的復(fù)雜地下結(jié)構(gòu)體，若將各個部件抽離開則可將各個管片視為獨立工作的扁平曲梁。相比普通混凝土梁結(jié)構(gòu)，盾構(gòu)管片具有獨特的結(jié)構(gòu)形式，同時也被賦予更高要求的工作性能。針對單片管片的承載力與結(jié)構(gòu)非線性響應(yīng)，國內(nèi)外眾多學(xué)者基于實際工程采用的各類管片展開足尺試驗研究，取得了一系列試驗成果。Meng等[1]針對鋼纖維混凝土管片開展承載力試驗研究，結(jié)果表明，鋼纖維的摻入能夠延遲開裂的影響并優(yōu)化應(yīng)力分布，有效提高開裂荷載和管片韌性。Cheng等[2]開展了四點循環(huán)加載的管片模型試驗，并基于試驗結(jié)果驗證了解析模型的有效性，據(jù)此能夠有效預(yù)測管片受彎力學(xué)特性。Abbas等[3]分別針對普通盾構(gòu)管片和鋼纖維混凝土管片開孔后的力學(xué)特性展開足尺試驗研究，結(jié)果顯示，普通盾構(gòu)管片擁有更高的極限荷載與開孔力學(xué)特性，而鋼纖維混凝土管片則具有更高的開裂荷載和更穩(wěn)定的后開裂階段。齊明山和柳獻(xiàn)[4]以上海地鐵通用管片為例展開力學(xué)性能試驗研究，結(jié)果表明，纖維混凝土混合配筋管片裂縫寬度達(dá)到0.20 mm時對應(yīng)彎矩、屈服彎矩、極限彎矩均明顯高于普通鋼筋混凝土管片的結(jié)果。周海鷹[5]針對不同支承條件下和不同配筋的管片展開了試驗研究，并證明了一般力學(xué)方法計算結(jié)果的一致性。

綜上所述，已有針對單片管片的力學(xué)特性研究主要通過足尺模型試驗方法，并對管片材料、約束和加固條件展開參數(shù)分析，獲得了管片在特定條件下精確的非線性行為。試驗結(jié)果的可貴之處在于為其他計算手段提供了驗證基礎(chǔ)，據(jù)此可以有效預(yù)測不同環(huán)境與荷載條件下的盾構(gòu)管片行為方式。已有部分研究基于管片試驗結(jié)果，建立了管片數(shù)值計算模型并開展參數(shù)分析：Zhou等[6]建立了三維有限元模型并賦予混凝土單元隨動強化彈塑性增量本構(gòu)，模擬結(jié)果與試驗結(jié)果一致性較好。楊雨冰和謝雄耀[7]基于斷裂力學(xué)的有限元方法對單個管片、縱向接頭以及整環(huán)襯砌結(jié)構(gòu)3個層次討論管片的破損機制，結(jié)果表明，單個管片承載力性能與約束條件關(guān)系較大。綜上所述，數(shù)值模型是預(yù)測結(jié)構(gòu)行為的有效手段，然而在針對管片非線性的研究中大多集中于管片承載力與撓度特點，忽略了裂縫擴(kuò)展的特點與屈服后的特定行為方式，因此適用于管片破壞全過程的非線性分析數(shù)值手段與裂縫模型亟待研究。不同于鋼筋較固定的行為方式，混凝土的開裂非線性行為更復(fù)雜，因此采用何種混凝土模型來準(zhǔn)確地描述管片的開裂行為是值得關(guān)注的問題。

考慮開裂的混凝土模型大致可分為離散裂縫模型與彌散裂縫模型2種，最早分別由Ngo等[8]和Rashid[9]提出。其中彌散裂縫模型能夠在連續(xù)介質(zhì)體系下模擬結(jié)構(gòu)內(nèi)部各個方向的開裂，被廣泛應(yīng)用于混凝土結(jié)構(gòu)非線性分析。本文基于Diana10.3有限元程序重點探討3種常用彌散裂縫模型在盾構(gòu)管片數(shù)值模擬中的適用性，分別為旋轉(zhuǎn)裂縫模型、固定裂縫模型和多向固定裂縫模型。另外，針對斷裂能展開參數(shù)分析，研究結(jié)果能夠為不同尺度的盾構(gòu)隧道結(jié)構(gòu)分析提供借鑒。

1 彌散裂縫模型介紹

1.1 總應(yīng)變裂縫模型

總應(yīng)變裂縫模型通過應(yīng)變的函數(shù)來描述應(yīng)力變化，同時能夠模擬受壓、受拉和受剪條件下混凝土的非線性力學(xué)行為。該模型基本思想是將彈性應(yīng)變εe與開裂應(yīng)變εcr合二為一考慮，并基于裂縫方向計算評估應(yīng)力大小。

根據(jù)裂縫方向是否隨著主應(yīng)力方向旋轉(zhuǎn)可將總應(yīng)變裂縫模型分為旋轉(zhuǎn)裂縫模型和固定裂縫模型，圖1給出2種模型裂縫應(yīng)變和方向與主應(yīng)力σ1和σ2之間的關(guān)系。

圖1 總應(yīng)變裂縫模型

從結(jié)構(gòu)開裂的物理力學(xué)本質(zhì)來講，固定裂縫模型思想更接近實際。而從彌散裂縫模型的使用過程來看，旋轉(zhuǎn)裂縫模型往往有更好的模擬效果而被廣泛采用[10]。旋轉(zhuǎn)裂縫模型中應(yīng)變轉(zhuǎn)換矩陣T由單元主應(yīng)力方向決定，即：

在固定裂縫模型中應(yīng)變轉(zhuǎn)換矩陣T與開裂坐標(biāo)系nst均由初期裂縫給出，并不隨主應(yīng)力的變化而發(fā)生改變。隨后根據(jù)開裂應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，并在開裂坐標(biāo)系nst和單元坐標(biāo)系xyz中得到應(yīng)力結(jié)果：

其中裂縫的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系可通過剛度矩陣D表達(dá)，即：

割線剛度矩陣D由材料剛度矩陣Dsecant得到：

1.2 多向固定裂縫模型

多向固定裂縫模型基于decomposed crack model（裂縫分解模型）思想，將應(yīng)變分解為彈性應(yīng)變εe與開裂應(yīng)變εcr，如式（6）所示：

多向固定裂縫模型允許在一個積分點產(chǎn)生多條裂縫，每個積分點的裂縫都有與之相對應(yīng)的應(yīng)變分量eicr和應(yīng)力分量sicr[10]。裂縫的數(shù)量則通過臨界角α控制，新裂縫萌生條件必須滿足主拉應(yīng)力超過混凝土抗拉強度且當(dāng)前主拉應(yīng)力方向與既有裂縫法向的夾角超過α。模型局部坐標(biāo)與臨界角α示意如圖2所示。

圖2 多向固定裂縫模型

當(dāng)裂縫的應(yīng)力向量與應(yīng)變向量存在式（7）關(guān)系時：

則每條裂縫的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系可以解耦地表達(dá)如下：

因此，在多向固定裂縫模型中，每條裂縫的開裂應(yīng)力僅與對應(yīng)的開裂應(yīng)變相關(guān)，簡化了不同裂縫間復(fù)雜的耦合影響。與總應(yīng)變裂縫模型相同，多向固定裂縫模型也遵守彌散開裂的斷裂能法則，考慮了拉伸截斷、受拉軟化和剪切保留的非線性行為。其裂縫旋轉(zhuǎn)方向與固定裂縫模型的一致，即開裂坐標(biāo)系nst均由初期裂縫決定，不隨主應(yīng)力變化而改變。

2 基于試驗的模型有效性驗證

2.1 試驗工況

本研究針對單片管片的數(shù)值模擬基于周海鷹[5]的試驗成果進(jìn)行。標(biāo)準(zhǔn)環(huán)尺寸和配筋如圖3所示。管片為中心角為67.5°的標(biāo)準(zhǔn)環(huán)，環(huán)寬1.2 m、內(nèi)徑2.7 m、外徑3.0 m。混凝土強度等級為C50，內(nèi)外側(cè)分別布置一排縱筋，保護(hù)層厚度分別為59、43 mm。

圖3 標(biāo)準(zhǔn)環(huán)尺寸及配筋示意

試驗采用三點加載，加載點位置如圖4所示，加載方向指向隧道圓心，同時在加載點位置安置橡膠墊片以防止混凝土局部壓碎。試驗設(shè)置2種支承條件Pzw1和Pzw2，分別為在管片兩端設(shè)置簡支梁支承和軸力支承的方式?；谠撛囼灚@得的跨中撓度曲線、材料應(yīng)變曲線和破壞模式，對混凝土裂縫模型的可靠性進(jìn)行研究。

圖4 加載和支承方式

2.2 數(shù)值模型

單個管片數(shù)值模型基于Diana10.3程序建立。模型為二維數(shù)值模型，混凝土單元和橡膠墊片均為CQ16M八節(jié)點四邊形實體單元。針對混凝土非線性分析的精度要求，初步設(shè)置單元尺寸為0.02 m，即在梁高度方向劃分15個單元，數(shù)值模型和網(wǎng)格劃分如圖5所示。試驗工況Pzw1為管片兩端底部設(shè)置鉸支座，Pzw2支承條件為約束管片兩端截面切向位移并設(shè)置軸力支承。非線性分析荷載步大小為10 kN，荷載步上限為200步。

圖5 數(shù)值模型和網(wǎng)格劃分

本節(jié)中混凝土采用旋轉(zhuǎn)裂縫模型，混凝土材料參數(shù)如表1所示。鋼筋模型采用嵌入式鋼筋單元模擬，該鋼筋單元不參與混凝土母體單元的網(wǎng)格劃分，通過與母體單元結(jié)合的方式貢獻(xiàn)剛度。在二維模型中，同一平面內(nèi)的縱筋和箍筋均被簡化為連續(xù)均質(zhì)的鋼筋網(wǎng)片，截面積之和作為網(wǎng)片單元幾何的輸入值。根據(jù)圖3的配筋計算得到上、下側(cè)縱筋和每環(huán)箍筋橫截面面積之和分別為2035、1608.5、226.2 mm2。鋼筋材料采用Von Mises塑性硬化模型，鋼筋參數(shù)如表2所示。

表1 混凝土材料參數(shù)

表2 鋼筋參數(shù)

2.3 模型驗證

試驗記錄了開裂荷載、屈服荷載和破壞荷載，為了與試驗結(jié)果對應(yīng)，在數(shù)值模型中這3個關(guān)鍵荷載的判定標(biāo)準(zhǔn)分別為：出現(xiàn)宏觀裂縫（最大裂縫寬度超過0.05 mm）、線性段結(jié)束點、荷載值最大點。管片的跨中撓度曲線如圖6所示。

圖6 管片的跨中撓度曲線

由圖6可知，支承條件對管片的承載力影響較大，Pzw2和Pzw1工況中管片分別在荷載為960 kN和160 kN達(dá)到屈服狀態(tài)，在破壞前均有明顯的水平直線段。Pzw2工況的屈服點更明顯，計算與試驗結(jié)果均在跨中撓度為20 mm左右達(dá)到屈服，但計算結(jié)果給出的屈服荷載稍小。

表3針對3個關(guān)鍵荷載給出了試驗值與計算值對比。

表3 關(guān)鍵荷載試驗值與計算值對比

由表3可見，數(shù)值計算得到的各項特征荷載與實測結(jié)果吻合良好，其中開裂荷載計算值與試驗值有一定差異，分析原因在于裂縫萌生初期難以觀測，第1條觀測得到的宏觀裂縫具有一定隨機性。綜上所述，基于管片承載能力角度，2個工況的計算值都能夠反映各自支承條件的管片位移響應(yīng)特性。

圖7以下排鋼筋跨中位置的應(yīng)變結(jié)果為例說明鋼筋單元的可靠性。

圖7 下排鋼筋應(yīng)變曲線

由圖7可知，在2個工況中，數(shù)值計算結(jié)果都能與試驗曲線吻合，屈服應(yīng)變拐點的出現(xiàn)位置一致。Von Mises塑性硬化模型中將鋼筋按多段直線簡化，而在屈服段，Pzw2工況出現(xiàn)了明顯的非線性段，計算應(yīng)變結(jié)果偏大，但在曲線特征點能夠與試驗值吻合良好，鋼筋單元到達(dá)屈服時的荷載P與實際一致。因此在二維數(shù)值模型中，嵌入式鋼筋網(wǎng)單元能夠以簡化的形式有效模擬實際鋼筋工作行為。

圖8給出了2個工況管片各自達(dá)到極限荷載值時裂縫寬度云圖與試驗結(jié)果的對比。

圖8 管片破壞特征對比

圖8結(jié)果表明，支承條件同時極大程度地影響管片裂縫的開展模式。從跨中裂縫形態(tài)來看，Pzw2工況中跨中兩側(cè)的裂縫呈拱形分布，而Pzw1工況的裂縫相互平行生長，同時裂縫間距更大。從裂縫分布的范圍來看，到達(dá)極限荷載時，在Pzw2工況中主要宏觀裂縫集中于跨中區(qū)域，同時頂部混凝土被壓潰，損傷區(qū)域擴(kuò)展至拱頂外側(cè)；而在Pzw1簡支工況中，沿曲梁的長度方向均有宏觀裂縫萌生，同時損傷深度更大，裂縫發(fā)展至外側(cè)鋼筋位置。Pzw2工況和Pzw1工況到達(dá)極限荷載時的最大裂縫寬度也差異較大，分別為5.77、9.42 mm。

根據(jù)與實測裂縫分布模式的對比可知，2個工況的計算結(jié)果與試驗結(jié)果基本一致，能夠較好地模擬各自到達(dá)極限荷載時的裂縫分布與損傷形態(tài)。Pzw2工況的破壞以跨中拱頂被壓潰為標(biāo)準(zhǔn)，損傷開裂較嚴(yán)重區(qū)域集中于跨中位置，整體損傷程度要小于Pzw1工況的結(jié)果，Pzw2工況中軸力支承條件也更接近于實際管片工作狀態(tài)。

3 計算結(jié)果與討論

本節(jié)基于工況Pzw2試驗結(jié)果進(jìn)行參數(shù)分析，3種彌散裂縫模型參數(shù)如表4所示。

表4 彌散裂縫模型參數(shù)

表4中β為剪切保留系數(shù)，當(dāng)β為常數(shù)時，剪切模量折減公式如式（9）所示；當(dāng)剪切模量基于損傷計算時，即考慮開裂狀態(tài)下泊松比的折減[11]，其公式如式（10）所示。

式中：Gcr——折減的剪切模量，MPa；

G——未考慮折減的剪切模量，MPa；

v'——考慮泊松比效應(yīng)折減后的泊松比。

3.1 彌散裂縫模型對位移響應(yīng)的影響

圖9和表5分別給出采用不同裂縫模型下管片跨中的撓度曲線以及破壞特征值。

圖9 不同彌散裂縫模型對管片跨中撓度曲線的影響

表5 破壞特征值試驗與計算結(jié)果對比

由圖9和表5可知，在加載前期，各種裂縫模型下的撓度曲線基本重合，當(dāng)撓度到達(dá)20 mm時，各條曲線走向產(chǎn)生分歧。旋轉(zhuǎn)裂縫模型的極限荷載最??；3條固定裂縫模型的跨中撓度曲線能達(dá)到更大的極限荷載，分別為1048、1050、1066 kN，更接近于試驗值，但其達(dá)到極限荷載時對應(yīng)的跨中撓度分別為23.8、24.8、24.3 mm，大于試驗值的21.0 mm；采用多向固定裂縫模型模擬的管片在計算過程中未發(fā)生明顯屈服，跨中撓度曲線基本呈線性增長，分析原因是其忽略了混凝土的開裂軟化性能，跨中頂部未達(dá)到壓潰狀態(tài)。

值得注意的是固定裂縫模型中對剪切保留系數(shù)β的參數(shù)分析，當(dāng)β越大，即開裂后的剪切模量越大，當(dāng)時撓度曲線達(dá)到屈服荷載后表現(xiàn)為有較長的水平屈服段，與試驗曲線接近。當(dāng)β系數(shù)折減基于損傷即與泊松比效應(yīng)關(guān)聯(lián)后，曲線屈服段消失，在達(dá)到極限荷載后承載力迅速降低。

3.2 彌散裂縫模型對裂縫形態(tài)的影響

圖10為應(yīng)用不同彌散裂縫模型對裂縫寬度云圖的影響。

圖10 不同裂縫模型對開裂云圖的影響

由圖10可見，與旋轉(zhuǎn)裂縫模型跨中呈“拱形”的裂縫相比，固定裂縫模型計算結(jié)果云圖中裂縫擴(kuò)展方向呈徑向，同時在跨中部位呈現(xiàn)密集的裂縫。當(dāng)剪力保留為基于損傷計算時，跨中出現(xiàn)一條主裂縫；當(dāng)β=0.1時，跨中的裂縫密集且無規(guī)則；當(dāng)β增加至0.5時，跨中的裂縫明顯減少且呈清晰的豎向裂縫，同時最大裂縫寬度由11.5 mm降至10.6 mm；多向固定裂縫模型結(jié)果的裂縫形態(tài)則與固定裂縫模型結(jié)果類似，但跨中頂部未出現(xiàn)開裂。

由表5中宏觀裂縫間距結(jié)果可知，多向固定裂縫模型計算獲得的裂縫間距最小，僅為60.0 mm；旋轉(zhuǎn)裂縫模型的裂縫間距最大，為130 mm，與試驗結(jié)果較一致；固定裂縫模型的結(jié)果介于兩者之間，且β的改變基本不影響裂縫間距的大小。因此綜合位移響應(yīng)和裂縫形態(tài)兩個角度，旋轉(zhuǎn)裂縫模型的計算能夠更好低與試驗結(jié)果吻合。

3.3 斷裂能的影響

在彌散裂縫模型中斷裂能是決定混凝土開裂行為最重要的因素之一，被定義為一條裂縫開裂全過程中單位面積所耗散的能量，即混凝土單軸拉應(yīng)力σ與裂縫寬度wcr的積分。斷裂能可分為拉伸斷裂能GfI和壓縮斷裂能Gc，分別在拉伸軟化與受壓軟化中控制應(yīng)力-應(yīng)變曲線。作為混凝土材料的一種固有屬性，一般通過試驗獲得參考的取值范圍，但取值具有較大波動性。同時各規(guī)范針對斷裂能的計算方法有所差異。以歐洲規(guī)范Fib Model Code 2010[12]為例，其拉伸斷裂能與壓縮斷裂能經(jīng)驗公式如式（11）、（12）所示。

式中：fcm——混凝土平均抗壓強度，fcm=fck+8，N/mm2；

fck——混凝土圓柱體抗壓強度，N/mm2。

立方體與圓柱體之間換算系數(shù)取0.84[13]。

另外，針對Gc和GfI的倍數(shù)關(guān)系，F(xiàn)eenstra[11]進(jìn)行了大量試驗，結(jié)果給出該倍數(shù)關(guān)系在50~100波動。綜上可知，在計算中斷裂能的取值存在較大主觀性，因此本節(jié)對管片混凝土的兩種斷裂能展開參數(shù)敏感性分析。

圖11為GfI和Gc對管片極限荷載的影響。

圖11 斷裂能對管片極限荷載的影響

由圖11可知，當(dāng)Gc=22 500 N/m時，隨著GfI的增加，極限荷載基本不變，GfI從140 N/m提升至160 N/m時，極限荷載僅提高了10.6 kN。隨著Gc的增大，GfI對極限承載力的影響顯著提升，當(dāng)Gc=37 500 N/m時，GfI從140 N/m提升至160 N/m，極限荷載增大了60.3 kN。若以GfI作為不變量，也可得到相似的結(jié)論，因此以管片承載力指標(biāo)分析，GfI和Gc對管片承載力計算結(jié)果都具有較高敏感性同時其敏感性又與彼此的大小呈正相關(guān)。

基于歐洲規(guī)范Fib Model Code 2010給出的2種斷裂能的計算公式與試件尺寸的換算系數(shù)，混凝土強度為C50時，GfI=147.6 N/m，對應(yīng)的Gc為36 900 N/m，通過內(nèi)插法計算得到此時管片的極限承載力約為1033.8 kN，與試驗獲得的1071 kN基本吻合。因此基于式（11）、式（12）的斷裂能計算方法，獲得的參數(shù)能夠有效應(yīng)用于鋼筋混凝土管片的非線性分析。

4 結(jié)論

（1）分別對2種支承條件下的管片承載力試驗進(jìn)行數(shù)值模擬分析，通過跨中撓度曲線、鋼筋應(yīng)變曲線和裂縫形態(tài)等方面比較分析計算與試驗結(jié)果，驗證了該模型的可靠性，同時說明約束條件對管片承載力特征值、破壞模式有較大影響。

（2）在工況Pzw2數(shù)值模型基礎(chǔ)上，研究不同混凝土彌散裂縫模型帶來的影響。計算結(jié)果表明：3種裂縫模型下?lián)隙惹€在各自達(dá)到屈服前基本重合；旋轉(zhuǎn)裂縫模型模擬效果較優(yōu)，跨中位移響應(yīng)、裂縫間距和跨中“拱形”裂縫形態(tài)均與實際吻合良好；固定裂縫模型結(jié)果裂縫形態(tài)以徑向裂縫為主，且在跨中部位更密集，剪力保留系數(shù)β對屈服后撓度曲線走向、跨中裂縫分布影響較大，但基本不影響極限承載力大??；多向固定裂縫模型在加載過程中未發(fā)生明顯屈服，撓度曲線基本呈線性發(fā)展。當(dāng)分析考慮屈服后行為和裂縫形態(tài)，則建議采用旋轉(zhuǎn)裂縫模型，若計算僅要求結(jié)構(gòu)屈服前行為并不要求裂縫分布的準(zhǔn)確性，則3種模型均可采用。

（3）通過雙因子參數(shù)分析可知，GfI和Gc對管片承載力計算結(jié)果都具有較高敏感性，同時其敏感性又與彼此的大小呈正相關(guān)，計算結(jié)果同時驗證了歐洲規(guī)范給出的2種斷裂能計算方法的適用性。